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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Mi 25.04.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | a) [mm] L^\infty[a,b] \subset \bigcap_{p<\infty} L^p[a,b] [/mm] , und diese Inklusion ist echt.
b) Für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] gilt weder [mm] L^p(\IR) \subset L^\infty(\IR) [/mm] noch [mm] L^\infty(\IR) \subset L^p(\IR)
[/mm]
c) Für f [mm] \in [/mm] C[0,1] ist [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel _{\infty} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^\infty} [/mm] |
hallo leute!
Ich habe diese 2 Aufgaben zu lösen und habe einige Schwierigkeiten.
zu a) Die Lösung wäre da:
Für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty [/mm] ist g(t) := (ln [mm] \bruch{t}{c})^{-2} \in L^p [/mm] \ [mm] L^\infty [/mm] , also
[mm] L^\infty[a,b] \subset \bigcap_{p<\infty} L^p[a,b]
[/mm]
Doch ich verstehe diese Lösung nicht ganz. Wieso ist g(t) [mm] \not\in L^\infty?
[/mm]
zur b)
Für 1 [mm] \le [/mm] p < q [mm] \le \infty [/mm] ist f(t) := (1 + [mm] t)^{-\bruch {1}{p}} \in L^q [/mm] \ [mm] L^p
[/mm]
Für 1 [mm] \le [/mm] p < q < [mm] \infty [/mm] ist f(t) := [mm] t^{-\bruch{1}{q}} [/mm] * [mm] CHI_{[0,1]} \in L^p [/mm] \ [mm] L^q
[/mm]
Schließlich ist f(t) [mm] :\equiv [/mm] 1 [mm] \in L^\infty [/mm] \ [mm] L^p [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty
[/mm]
Passt das so?
und zur c) habe ich im Moment noch gar keine Idee...
Wäre dankbar für Tipps!
lg dena
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Hallo dena,
> a) [mm]L^\infty[a,b] \subset \bigcap_{p<\infty} L^p[a,b][/mm] , und
> diese Inklusion ist echt.
>
> b) Für 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm] gilt weder [mm]L^p(\IR) \subset L^\infty(\IR)[/mm]
> noch [mm]L^\infty(\IR) \subset L^p(\IR)[/mm]
>
> c) Für f [mm]\in[/mm] C[0,1] ist [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel _{\infty}[/mm] =
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{L^\infty}[/mm]
> hallo leute!
>
> Ich habe diese 2 Aufgaben zu lösen und habe einige
> Schwierigkeiten.
>
> zu a) Die Lösung wäre da:
> Für 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm] ist g(t) := (ln [mm]\bruch{t}{c})^{-2} \in L^p[/mm]
> \ [mm]L^\infty[/mm] , also
> [mm]L^\infty[a,b] \subset \bigcap_{p<\infty} L^p[a,b][/mm]
>
> Doch ich verstehe diese Lösung nicht ganz. Wieso ist g(t)
> [mm]\not\in L^\infty?[/mm]
kannst du mal erklaeren, was $c$ ist? ist [mm] $c\in [/mm] [a,b]$ oder nicht?
>
> zur b)
> Für 1 [mm]\le[/mm] p < q [mm]\le \infty[/mm] ist f(t) := (1 + [mm]t)^{-\bruch {1}{p}} \in L^q[/mm]
> \ [mm]L^p[/mm]
hmm, fehlt da nicht so etwas wie [mm] $\chi_{\mathbb{R}\backslash [-2,2]}$? [/mm] ich denke, der pol bei $-1$ macht probleme.
> Für 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm] ist f(t) := [mm]t^{-\bruch{1}{q}}[/mm] *
> [mm]CHI_{[0,1]} \in L^p[/mm] \ [mm]L^q[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
aber wozu brauchst du eigentlich die $q$s?
> Schließlich ist f(t) [mm]:\equiv[/mm] 1 [mm]\in L^\infty[/mm] \ [mm]L^p[/mm] für 1
> [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm]
ja!
>
> Passt das so?
>
>
> und zur c) habe ich im Moment noch gar keine Idee...
hmm, ist ja eigentlich klar.... die [mm] $C^0$-norm [/mm] ist das supremum, waehrend die [mm] $L^\infty$-norm [/mm] das essentielle supremum ist, d.h. unter nichtbeachtung von nullmengen. du musst argumentieren, dass sich das supremum einer stetigen funktion auf einem kompaktum nicht aendert, wenn du eine nullmenge wegnimmst.
VG
Matthias
>
> Wäre dankbar für Tipps!
>
> lg dena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Do 26.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo Matthias!
Zuerst möchte ich mich einmal für deine häufigen und schnellen Antworten bedanken, super! 
zur a)
Die Lösung wäre da:
> > Für 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm] ist g(t) := (ln [mm]\bruch{t}{c})^{-2} \in L^p[/mm]
> > \ [mm]L^\infty[/mm] , also
> > [mm]L^\infty[a,b] \subset \bigcap_{p<\infty} L^p[a,b][/mm]
> >
> > Doch ich verstehe diese Lösung nicht ganz. Wieso ist g(t)
> > [mm]\not\in L^\infty?[/mm]
> kannst du mal erklaeren, was [mm]c[/mm] ist?
> ist [mm]c\in [a,b][/mm] oder nicht?
Ich habe angenommen, dass c für eine Konstante steht... kapier ich es deswegen nicht? hm..
> >
> > zur b)
> > Für 1 [mm]\le[/mm] p < q [mm]\le \infty[/mm] ist f(t) := (1 + [mm]t)^{-\bruch {1}{p}} \in L^q[/mm]
> > \ [mm]L^p[/mm]
> hmm, fehlt da nicht so etwas wie
> [mm]\chi_{\mathbb{R}\backslash [-2,2]}[/mm]? ich denke, der pol bei
> [mm]-1[/mm] macht probleme.
Und wenn ich o.E.d.A. annehme, dass mein unbeschränktes Intervall I = [0, [mm] \infty[ [/mm] ist, dann brauch ich [mm] \chi_{\mathbb{R}\backslash [-2,2]} [/mm] nicht, oder? oder darf ich das nicht tun, weil ich [mm] \IR [/mm] vorgegeben habe?
>
>
> > Für 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm] ist f(t) := [mm]t^{-\bruch{1}{q}}[/mm] *
> > [mm]CHI_{[0,1]} \in L^p[/mm] \ [mm]L^q[/mm]
>
> aber wozu brauchst du eigentlich die [mm]q[/mm]s?
>
Habe einfach gedacht, q = [mm] \infty. [/mm] Was hier ja aber nicht stimmt.. dann kann ich also
"Für 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm] ist f(t) := [mm]t^{-\bruch{1}{q}}[/mm] * [mm]CHI_{[0,1]} \in L^p[/mm] \ [mm]L^q[/mm]" weglassen..
>
> > Schließlich ist f(t) [mm]:\equiv[/mm] 1 [mm]\in L^\infty[/mm] \ [mm]L^p[/mm] für 1
> > [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm]
> ja!
> >
> > Passt das so?
> >
> >
> > und zur c) habe ich im Moment noch gar keine Idee...
> hmm, ist ja eigentlich klar.... die [mm]C^0[/mm]-norm ist das
> supremum, waehrend die [mm]L^\infty[/mm]-norm das essentielle
> supremum ist, d.h. unter nichtbeachtung von nullmengen. du
> musst argumentieren, dass sich das supremum einer stetigen
> funktion auf einem kompaktum nicht aendert, wenn du eine
> nullmenge wegnimmst.
>
c) muss ich mir noch überlegen!
Danke nochmals und lg
dena
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> Hallo Matthias!
>
> Zuerst möchte ich mich einmal für deine häufigen und
> schnellen Antworten bedanken, super!
>
> zur a)
>
> Die Lösung wäre da:
> > > Für 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm] ist g(t) := (ln
> [mm]\bruch{t}{c})^{-2} \in L^p[/mm]
> > > \ [mm]L^\infty[/mm] , also
> > > [mm]L^\infty[a,b] \subset \bigcap_{p<\infty} L^p[a,b][/mm]
> > >
>
> > > Doch ich verstehe diese Lösung nicht ganz. Wieso ist g(t)
> > > [mm]\not\in L^\infty?[/mm]
> > kannst du mal erklaeren, was [mm]c[/mm]
> ist?
> > ist [mm]c\in [a,b][/mm] oder nicht?
>
>
> Ich habe angenommen, dass c für eine Konstante steht...
> kapier ich es deswegen nicht? hm..
naja, wenn [mm] $c\in[a,b]$ [/mm] ist, dann hat g an der stelle c einen pol, ist also nicht in [mm] $L^\infty$.
[/mm]
>
> > >
> > > zur b)
> > > Für 1 [mm]\le[/mm] p < q [mm]\le \infty[/mm] ist f(t) := (1 +
> [mm]t)^{-\bruch {1}{p}} \in L^q[/mm]
> > > \ [mm]L^p[/mm]
> > hmm, fehlt da nicht so etwas wie
> > [mm]\chi_{\mathbb{R}\backslash [-2,2]}[/mm]? ich denke, der pol bei
> > [mm]-1[/mm] macht probleme.
>
> Und wenn ich o.E.d.A. annehme, dass mein unbeschränktes
> Intervall I = [0, [mm]\infty[[/mm] ist, dann brauch ich
> [mm]\chi_{\mathbb{R}\backslash [-2,2]}[/mm] nicht, oder? oder darf
> ich das nicht tun, weil ich [mm]\IR[/mm] vorgegeben habe?
> >
> >
> > > Für 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm] ist f(t) := [mm]t^{-\bruch{1}{q}}[/mm] *
> > > [mm]CHI_{[0,1]} \in L^p[/mm] \ [mm]L^q[/mm]
> >
> > aber wozu brauchst du eigentlich die [mm]q[/mm]s?
> >
> Habe einfach gedacht, q = [mm]\infty.[/mm] Was hier ja aber nicht
> stimmt.. dann kann ich also
> "Für 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm] ist f(t) := [mm]t^{-\bruch{1}{q}}[/mm] *
> [mm]CHI_{[0,1]} \in L^p[/mm] \ [mm]L^q[/mm]" weglassen..
deine idee ist aber richtig, nimm funktionen die eine polstelle haben, aber trotzdem integrierbar sind (wie deine), und schneide sie ausserhalb eines kompaktums ab.
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> >
> > > Schließlich ist f(t) [mm]:\equiv[/mm] 1 [mm]\in L^\infty[/mm] \ [mm]L^p[/mm] für 1
> > > [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty[/mm]
> > ja!
> > >
> > > Passt das so?
> > >
> > >
> > > und zur c) habe ich im Moment noch gar keine Idee...
> > hmm, ist ja eigentlich klar.... die [mm]C^0[/mm]-norm ist das
> > supremum, waehrend die [mm]L^\infty[/mm]-norm das essentielle
> > supremum ist, d.h. unter nichtbeachtung von nullmengen. du
> > musst argumentieren, dass sich das supremum einer stetigen
> > funktion auf einem kompaktum nicht aendert, wenn du eine
> > nullmenge wegnimmst.
> >
> c) muss ich mir noch überlegen!
>
> Danke nochmals und lg
> dena
>
gruss 
Matthias
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