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Forum "Funktionalanalysis" - Lp Raum
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Lp Raum: Produkt wieder in Lp?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Do 06.12.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Ich hab mal eine kurze Frage.

Wenn [mm] $f\in L^{\infty}(\Omega)$ [/mm] und [mm] $g\in L^p(\Omega)$, [/mm]

ist dann [mm] $fg\in L^p(\Omega)$? [/mm]


Also das fg messbar ist, ist klar, weil das Produkt messbarer Funktionen messbar ist.

Aber ist auch [mm] $\lvert fg\rvert^p$ [/mm] integrierbar?

        
Bezug
Lp Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Do 06.12.2012
Autor: dennis2

Hallo, mikexx!

Es ist doch [mm] $\lvert u(x)\rvert\leq\lVert u\rVert_{\infty}:=\operatorname{ess sup}\limits_{x\in\Omega}\lvert u(x)\rvert<\infty$ [/mm] für alle [mm] $u\in L^{\infty}(\Omega)$. [/mm]


Hilft das schon?

Bezug
                
Bezug
Lp Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Do 06.12.2012
Autor: mikexx

achso, dann hat man doch

[mm] $\lvert fg\rvert^p=(\lvert f\rvert \lvert g\rvert)^p=\lvert f\rvert^p \lvert g\rvert^p\leq\lVert f\rVert_{\infty}^p \lvert g\rvert^p$ [/mm]

also

[mm] $\int\limits_{\Omega}\lvert f(x)g(x)\rvert^p\, d\mu(x)=\int\limits_{\Omega}\lvert f(x)\rvert^p\lvert g(x)\rvert^p\, d\mu(x)\leq\underbrace{\lVert f\rVert_{\infty}^{p}}_{<\infty}\underbrace{\int\limits_{\Omega}\lvert g(x)\rvert^p\, d\mu(x)}_{<\infty}$ [/mm]


Also [mm] $fg\in L^{p}(\Omega)$. [/mm]

So korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Lp Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Do 06.12.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> So korrekt?

jop.

MFG,
Gono.


Bezug
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