Lügner-Paradox, Kalkül < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Mathe-Asse,
es kann sein, dass ich grade auf dem Schlauch stehe bei einer ganz einfachen Frage: Warum schließen eigentlich Leute wir Russel, Tarski u.a. das Lügnerparadox aus? Was treibt sie dazu, Selbstreferenz in Kalkülen zu unterbinden?
Was passiert denn wenn man die Selbstreferenz zulässt? Dann kann man das Lügnerparadox eben im Kalkül behandeln und dann leiten sich aus dem Satz "Dieser Satz ist wahr" die beiden Sätze ab "Dieser Satz ist wahr" (als Implikation des Behauptens) und "Dieser Satz ist falsch" (Inhalt). Dann hat man eine Kontradiktion und kann sagen, das Lügnerparadox ist eben ein falscher Satz – so wie Arthur Prior das aufgelöst hat.
Oder war es den Theoretikern der alten formalen Logik, Russel, Tarski, ... , daran gelegen, nicht diese seltsame Implikation zu definieren, dass eben mit jeder Behauptung die Wahrheit der Behauptung impliziert ist?
Oder gibt es etwas, dass man zeigen kann, dass sich aus jedem Kalkül, das Selbstreferenz zulässt, sich dieses Lügnerparadox ableiten lässt? Irgendwas in die Richtung Unvollständigkeitssatz der Mathematik von Gödel? Der grobe Text auf Wikipedia klingt so...
Ich gestehe, dass ich von den erwähnten Sachen fast gar keine Ahnung habe. Ich bin nur auf der Suche nach einer Erklärung für diese Entwicklung der Typentheorie...
Viele Grüße, euer Detlef :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ein mathematischer Satz soll so formuliert werden, dass seine Aussage grundsätzlich als wahr oder falsch entschieden werden kann. Ein Satz wie "Das Wetter ist schön" gehört z.B. nicht dazu.
"Dieser Satz hat sechs Wörter" ist falsch, seine Verneinung "Dieser Satz hat nicht sechs Wörter" aber ebenfalls. Das liegt daran, dass der Satz eine Aussage über sich selber macht und daran, dass in unserer Sprache mit dem zusätzlichen Wort "nicht" negiert wird. "Dieser Satz hatnicht sechs Wörter" ist richtig - schade, dass es im Deutschen hatnicht als Wort nicht gibt. Die Engländer sind da besser dran.
Es gibt aber Sätze, die auch unabhängig von der Sprachstruktur logisch nicht auflösbar sind.
Der Staatsanwalt fragt den Angeklagten: "Lügen Sie eigentlich immer?" Der Angeklagte antwortet: "Eine dümmere Frage habe ich noch nie gehört." "Wieso?" "Wenn ich immer lüge, lüge ich auch jetzt und sage 'nein', wenn ich nie lüge, lüge ich auch jetzt nicht und sage 'nein'. Mit der Antwort können Sie doch gar nichts anfangen."
Der Satz "Ich lüge immer" kann leicht als falsch entlarvt werden: Wäre er richtig, würde jemand immer lügen, also wäre auch dieser Satz gelogen, und er würde nicht immer lügen. Wäre dieser Satz falsch, würde jemand nicht immer lügen, diesmal aber schon, un d der Satz bliebe falsch.
Das ganze ist jetzt wegen des Wortes immer relativierbar und damit als falsch erkennbar. Der Staatsanwalt könnte also kontern: "Sie sollen ja nicht mit 'ja' oder 'nein' antworten, sie können ja auch sagen: 'Ich lüge nur manchmal'."
Solche "unklaren Behauptungen" als falsch abzutun, ist aber kritisch. Betrachten wir mal die Russelsche Antinomie in etwas abgewandelter Form:
Wir bilden alle möglichen Mengen, die man mit den natürlichen Zahlen Bilden kann: {1},{1,2},{1,2,3},..., {2},{3},...,{1.3.5}.{3.5.7},... usw.
Um das Problem der Abzählbarkeit zu umgehen, nun die Abwandlung:
Jede dieser Mengen erhält noch irgendeine natürliche Zahl außer 1 als Etikett. Diese Etiketten dürfen sich auch wiederholen, es könnten z.B. alle Mengen die Zahl 2 als Etikett erhalten. Oder das Etikett ist immer das erste Element, falls dies nicht 1 heißt, sonst eine 2.
"Was drauf steht, ist auch drin." Wir schauen nun auf jede Menge, ob das Etikett auch in dieser Menge drin ist. Wenn es irgendeine Menge gibt, bei der das Etikett nicht drin ist, schreiben wir das Etikett auf.
Nun fassen wir alle aufgeschriebenen Etiketten in einer Menge M zusammen. Diese bekommt das Etikett 1.
Diese Menge enthält keine 1, weil keines der aufgeschriebenen Etiketten 1 heißen könnte. Jetzt hat aber M selber eine 1 als Etikett, ohne dass M eine 1 enthält. Also müssen wir - weil M ja auch so eine der oben beschriebenen Mengen ist, die 1 hineinschreiben. Dann ist M aber nicht mehr so eine Menge mit falschem Etikett, und wir müssen die 1 wieder austragen. Dann... usw.usw.
Was jetzt? Ist M eine "falsche Menge"? Eine Lüge? Nicht existent? Sinn gibt das letzte: M ist eine "sinnlose Menge", und die Sinnlosigkeit geschieht durch den Selbstbezug. Um die Mengenlehre zu retten, muss man also soche Selbstbezüge ausschließen.
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Hallo!
ich bedanke mich sehr für die Antwort. Du sagst, es liege an diesem Selbstbezug. Ich habe mich inzwischen etwas umgesehen nach Lösungen dieses Lügnerparadoxons und da gibt es drei verschiedene Antworten, die jeweils unterschiedlich damit umgehen und nur eine sieht den Fehler in dem Selbstbezug.
Eine wesentliche Rolle spielt, auf welcher Ebene die Implikation gemacht wird, dass jeder Satz als wahr behauptet werden muss. Man muss hier von Sprachebenen oder Sprachstufen reden, weil alle Lösungen dies ins Auge fassen, dass man den Selbstbezug dadurch elimieniert, indem man die Satzteile auf verschiedene Stufen stellt (Prior grenzt sich jedenfalls davon ab) und sagt: es gibt doch einen Unterschied, deshalb kann es nicht dasselbe sein. Der Selbstbezug wird also zerstört bei diesen Lösungen, tatsächlich irgendwie muss es an ihm liegen.
Es gibt eine Lösung von Arthur Prior (1958), der die Inferenz von "Dieser Satz ist wahr." auf derselben Sprachstufe einführt – kann man bei jedem Satz tun. Dann folgt aus dem Lügnerparadox einmal die Aussage "Dieser Satz ist wahr." und einmal "Dieser Satz ist falsch." und beide ergeben eine Kontradiktion und das Kalkül sondert ihn als einen sinnlosen Satz aus.
Aber andere Theoretiker haben sich dieses Priortheorem offenbar nicht denken wollen. Für Tarski und Carnap ist es wichtig, dass Wahrheit niemals auf derselben Sprachstufe definiert werden kann. Und hier scheiden sich wieder die Geister: Tarski hat beschlossen, dass man sämtliche Selbstbezüge aus der neuen formalen Wissenschaftssprache ausschließen muss; jeder selbstbezügliche Satz ist unsinnig, und gerade das stiftet nach Tarski die größten Probleme und Verwirrungen der natürlichen Sprachen, dass sie das nicht verbieten; folgerichtig hat Tarski diese Sprachstufungstheorie in die Welt gesetzt, in der solche Paradoxe auseinanderdefiniert werden, sogar so weit, dass eine unendliche Stapelung solcher Sprachstufen möglich sein soll.
Carnap sieht hingegen (in meinem vorliegenden Buch "Logische Syntax der Sprache" bei der Typ II-Sprache) nicht den Selbstbezug im Allgemeinen als das Problem, sondern nur der Selbstbezug bei der Definition der Wahrheit in der Sprache; Carnap kommt zu dem Schluss, dass man nur nicht innerhalb einer und derselben konsequent analytisch verfahrenden Sprache definieren kann, was Widerspruch bzw. Wahrheit ist.
Aber, mir wird immer noch nicht so richtig deutlich, warum das Lügnerparadoxon eine solche Entwicklung dieser Sprachebenen angestoßen hat. Ich stelle mir immer vor: Was ist daran so schlimm, wenn man einen widersprüchlichen Satz formulieren kann? Man kann ja sagen, dass er falsch ist. Und wenn ich mir diese Entwicklung bis hin zu Carnap ansehe, dann finde ich Carnaps Lösung geradezu willkürlich, einfach eine Sorte von Definitionen auf eine andere Ebene zu heben, damit genau das, was er zeigen möchte, nicht mehr auftritt.
Die Antwort, die mir in etwa vorschwebt wäre: "Man wollte eine Wissenschaftssprache kreiren, die entsprechende Verbote enthielt, sodass nur noch sinnvolle Sätze gesagt werden können." Aber diese Definition der neuen Wissenschaftssprache kommt mir zu sehr nach einer petitio principii vor, dass man davon ausgeht, dass es keine Antinomien gibt und deshalb folgt dann letztendlich aus der gezielt so umgestalteten Behandlung des Lügnerparadoxons, dass es gar nicht paradox ist.
Gibt es etwas, was ich übersehen habe, bei meiner Frage nach diesem Motiv oder gibt es bessere Antworten?
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> Hallo!
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> ich bedanke mich sehr für die Antwort. Du sagst, es liege
> an diesem Selbstbezug. Ich habe mich inzwischen etwas
> umgesehen nach Lösungen dieses Lügnerparadoxons und da
> gibt es drei verschiedene Antworten, die jeweils
> unterschiedlich damit umgehen und nur eine sieht den Fehler
> in dem Selbstbezug.
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> Eine wesentliche Rolle spielt, auf welcher Ebene die
> Implikation gemacht wird, dass jeder Satz als wahr
> behauptet werden muss. Man muss hier von Sprachebenen oder
> Sprachstufen reden, weil alle Lösungen dies ins Auge
> fassen, dass man den Selbstbezug dadurch elimieniert, indem
> man die Satzteile auf verschiedene Stufen stellt (Prior
> grenzt sich jedenfalls davon ab) und sagt: es gibt doch
> einen Unterschied, deshalb kann es nicht dasselbe sein. Der
> Selbstbezug wird also zerstört bei diesen Lösungen,
> tatsächlich irgendwie muss es an ihm liegen.
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> Es gibt eine Lösung von Arthur Prior (1958), der die
> Inferenz von "Dieser Satz ist wahr." auf derselben
> Sprachstufe einführt – kann man bei jedem Satz tun. Dann
> folgt aus dem Lügnerparadox einmal die Aussage "Dieser
> Satz ist wahr." und einmal "Dieser Satz ist falsch." und
> beide ergeben eine Kontradiktion und das Kalkül sondert
> ihn als einen sinnlosen Satz aus.
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> Aber andere Theoretiker haben sich dieses Priortheorem
> offenbar nicht denken wollen. Für Tarski und Carnap ist es
> wichtig, dass Wahrheit niemals auf derselben Sprachstufe
> definiert werden kann. Und hier scheiden sich wieder die
> Geister: Tarski hat beschlossen, dass man sämtliche
> Selbstbezüge aus der neuen formalen Wissenschaftssprache
> ausschließen muss; jeder selbstbezügliche Satz ist
> unsinnig, und gerade das stiftet nach Tarski die größten
> Probleme und Verwirrungen der natürlichen Sprachen, dass
> sie das nicht verbieten; folgerichtig hat Tarski diese
> Sprachstufungstheorie in die Welt gesetzt, in der solche
> Paradoxe auseinanderdefiniert werden, sogar so weit, dass
> eine unendliche Stapelung solcher Sprachstufen möglich
> sein soll.
>
> Carnap sieht hingegen (in meinem vorliegenden Buch
> "Logische Syntax der Sprache" bei der Typ II-Sprache) nicht
> den Selbstbezug im Allgemeinen als das Problem, sondern nur
> der Selbstbezug bei der Definition der Wahrheit in der
> Sprache; Carnap kommt zu dem Schluss, dass man nur nicht
> innerhalb einer und derselben konsequent analytisch
> verfahrenden Sprache definieren kann, was Widerspruch bzw.
> Wahrheit ist.
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> Aber, mir wird immer noch nicht so richtig deutlich, warum
> das Lügnerparadoxon eine solche Entwicklung dieser
> Sprachebenen angestoßen hat. Ich stelle mir immer vor: Was
> ist daran so schlimm, wenn man einen widersprüchlichen
> Satz formulieren kann? Man kann ja sagen, dass er falsch
> ist.
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Nehmen wir noch mal den Satz: "Dieser Satz ist eine Lüge."
Jetzt sagen wir also, er ist falsch. Das heißt: Er sagt etwas Falsches aus. (Sonst hieße ein falscher Satz besser "unerlaubt" oder "böse".) Also stimmt nicht, was der Satz aussagt. Also gilt, dass dieser Satz keine Lüge ist. Dann stimmt also seine Aussage, und der Satz ist richtig! Man kann von diesem Satz also nicht einfach sagen, er sei falsch.
Man könnte nun sagen: Dieser Satz ist widersprüchlich, wie die Aussage "Das Haus steht in Köln und es steht nicht in Köln." Der Vergleich ist aber nicht möglich, denn von letzterem Satz kann man anhand der Wahrheitstafel sagen, dass er falsch ist (steht das Haus in Köln, ist nicht in Köln falsch und umgekehrt, und die Verbindung mit und sorgt dafür, dass immer falsch herauskommt, egal, wo das Haus steht). Dieser Satz enthält keinen Selbstbezug. Du kannst also annehmen, dass das Haus in Köln steht und aus der Wahrheitstafel sehen, dass der Satz falsch wird, und dann annehmen, dass das Haus nicht in Köln steht und dann wieder sehen, dass der Satz falsch wird.
Bei der Aussage "Dieser Satz ist falsch." kannst du mal annehmen, dass der Satz falsch ist. Nach der Wahrheitstafel ist die Aussage dann - ja, was eigentlich: Falsch, weil das deine Annahme ist oder richtig, weil der Satz genau besagt, was du annimmst? Und es gibt hier keine weitere Verknüpfung, die dich retten könnte. Aber egal, was du nun ankreuzt, falsch oder richtig, du bekommst in beiden Fällen einen Widerspruch. Sagst du: Die Aussage stimmt mit der Annahme überein, also ist sie richtig, dann ist der Satz falsch, und damit die Aussage. Also gilt damit "Dieser Satz ist nicht falsch". Also ist der Satz richtig.
Das ist wie beim Indirekten Beweis für [mm] "\wurzel{2} [/mm] ist irrational": Du nimmst an, dass es ein durchgekürzter Bruch ist und zeigst dann, dass Zähler und Nenner beide gerade sind, der Bruch also doch nicht durchgekürzt war. Also war die Annahme falsch.
Wenn du nun annimmst, dass die Aussage [mm] "\wurzel{2} [/mm] ist ein Bruch" stimmt, sagst du ja nicht einfach: "stimmt", sondern arbeitest damit weiter und überlegst, was daraus folgt, von "ich kürze den Bruch durch" bis hin zu: "... dann sind Zähler und Nenner trotzdem beide gerade."
Angewandt auf "Dieser Satz ist falsch." erhältst du so die Aussage, dass der Satz richtig sein muss und damit wieder die Aussage, dass er falsch sein muss usw.
Während du also über den widersprüchlichen Satz mit dem Haus sagen kannst, dass er falsch ist, kannst du das über den ebenfalls widersprüchlichen Satz "Dieser Satz ist falsch." eben nicht, weil sich die Aussage des Satzes gerade auf ein solches Urteil über sich selbst bezieht.
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Ein Krokodil fängt einen Fuchs und will ihn fressen. Dieser bittet um Gnade. Zynisch sagt das Krokodil "Nein, aber du kannst selber deine Todesart aussuchen. Sag mir, was ich als nächstes mit dir machen werde. Stimmt es, so zerreiße ich dich, bevor ich dich fresse, stimmt es nicht, so fresse ich dich am Stück." Sagt der Fuchs: "Du wirst mich am Stück fressen." Jetzt hat das Krokodil ein Problem, denn es hat den Selbstbezug nicht gemerkt: Frisst es den Fuchs am Stück, so stimmt die Aussage des Fuchses, und es müsste ihn vorher zerreißen. Zerreißt es ihn vorher, so stimmt die Aussage des Fuchses nicht, und es müsste ihn am Stück fressen. Im Märchen ist das Krokodil paralysiert und lässt den Fuchs laufen. (Verschwiegen wird, dass die Aussage des Fuchses nun nicht mehr stimmt und das Krokodil noch Jahre lang nach ihm sucht, um ihn am Stück zu fressen.) Tatsächlich frisst das Krokodil den Fuchs sofort mit einem Happs auf und sagt: "War gelogen - ich lass mich doch nicht verarschen."
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> Und wenn ich mir diese Entwicklung bis hin zu Carnap
> ansehe, dann finde ich Carnaps Lösung geradezu
> willkürlich, einfach eine Sorte von Definitionen auf eine
> andere Ebene zu heben, damit genau das, was er zeigen
> möchte, nicht mehr auftritt.
> Die Antwort, die mir in etwa vorschwebt wäre: "Man wollte
> eine Wissenschaftssprache kreiren, die entsprechende
> Verbote enthielt, sodass nur noch sinnvolle Sätze gesagt
> werden können." Aber diese Definition der neuen
> Wissenschaftssprache kommt mir zu sehr nach einer petitio
> principii vor, dass man davon ausgeht, dass es keine
> Antinomien gibt und deshalb folgt dann letztendlich aus der
> gezielt so umgestalteten Behandlung des Lügnerparadoxons,
> dass es gar nicht paradox ist.
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> Gibt es etwas, was ich übersehen habe, bei meiner Frage
> nach diesem Motiv oder gibt es bessere Antworten?
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Hallo,
leider hilft mir diese Antwort nicht so richtig weiter. Ich kann anhand deiner Ausführungen nichts finden, was mich bei meiner Frage weiter bringt. Ich will verstehen, was die historischen Gründe bei der Entwicklung der analytischen Sprachen gewesen sind. Es hilft mir dabei wenig, wenn wir bereits davon ausgehen, dass etwas falsch ist, weil es sich widerspricht oder weil das Krokodil den Selbstbezug nicht gemerkt hat, und dieser Selbstbezug dann das falsche sein soll. Das ist viel zu beispielhaft und setzt viel mehr voraus, als zu Anfang der Entwicklung dieser formalen Sprache gegeben war, man musste ja erst einmal ein theoretisches Modell erfinden, um den Selbstbezug vermeiden zu können (Tarski). Und dann musste man zurückrudern (Carnap), weil man durchaus alle Arten von Selbstbezüglichkeiten zulassen kann außer eine, wenn es um die Definition der Wahrheit und Falschheit in der Sprache geht. Die Frage ist in der
Tat ziemlich historisch angedacht.
Also nocheinmal, was hat es für einen Grund, dass das Lügnerparadoxon so problematisch für eine formale Sprache macht, wenn man es dort ausdrücken kann?
Vielen Dank für deine Bemühungen trotzdem,
Detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 15.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Di 10.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ein mathematischer Satz soll so formuliert werden, dass
> seine Aussage grundsätzlich als wahr oder falsch
> entschieden werden kann. Ein Satz wie "Das Wetter ist
> schön" gehört z.B. nicht dazu.
>
> "Dieser Satz hat sechs Wörter" ist falsch, seine
> Verneinung "Dieser Satz hat nicht sechs Wörter" aber
> ebenfalls. Das liegt daran, dass der Satz eine Aussage
> über sich selber macht und daran, dass in unserer Sprache
> mit dem zusätzlichen Wort "nicht" negiert wird. "Dieser
> Satz hatnicht sechs Wörter" ist richtig - schade, dass es
> im Deutschen hatnicht als Wort nicht gibt. Die Engländer
> sind da besser dran.
>
> Es gibt aber Sätze, die auch unabhängig von der
> Sprachstruktur logisch nicht auflösbar sind.
>
> Der Staatsanwalt fragt den Angeklagten: "Lügen Sie
> eigentlich immer?" Der Angeklagte antwortet: "Eine dümmere
> Frage habe ich noch nie gehört." "Wieso?" "Wenn ich immer
> lüge, lüge ich auch jetzt und sage 'nein', wenn ich nie
> lüge, lüge ich auch jetzt nicht und sage 'nein'. Mit der
> Antwort können Sie doch gar nichts anfangen."
das ist aber kein geschickter Angeklagter. Die Verneinung von "Ich lüge
immer" ist doch nicht "Ich lüge nie.", sondern nur: Es gibt Situationen,
in denen ich nicht gelogen habe/lügen werde.
Und die Logik ist doch eigentlich die: Wenn er immer lügt, muss er jetzt
lügen und 'nein' sagen:
'Ja' kann er nicht sagen, denn dann würde er jetzt ja eben nicht mehr
lügen.
Sagen wir nun, er lügt immer und antwortet mit 'nein': Wenn er immer lügt,
ist das aber eine Lüge.
Jetzt nehmen wir an, er würde nicht immer lügen: Beantwortet er dann
die Frage mit 'ja', so hat er gelogen.
Beantwortet er sie mit nein, so sagt er die Wahrheit.
Auf sowas in der Art wolltest Du wohl hinaus, denke ich.
P.S. Irgendwie ist das bei mir auch durcheinander, wenn ich morgen wieder
etwas wacher bin, korrigiere ich das ggf. nach.
Gruß,
Marcel
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