Lukas-Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Die Lukas-Zahlen sind definiert durch [mm] L_1=1, [/mm] und [mm] L_2=3 [/mm] sowie
[mm] L_n=L_{n-1}+L_{n-2} [/mm] für [mm] n\ge3
[/mm]
Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für [mm] L_n. [/mm] |
Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe dran gehen muss? Was genau ist gemeint mit einem expliziten Ausdruck?
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Hallo,
> Die Lukas-Zahlen sind definiert durch [mm]L_1=1,[/mm] und [mm]L_2=3[/mm]
> sowie
>
> [mm]L_n=L_{n-1}+L_{n-2}[/mm] für [mm]n\ge3[/mm]
>
> Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für [mm]L_n.[/mm]
> Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe
> dran gehen muss? Was genau ist gemeint mit einem expliziten Ausdruck?
Eine explizite Berechnungsvorschrift, sowas wie [mm] a_n=\sqrt{n}.
[/mm]
Hast Du schon mal eine Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für die Fibonaccifolge gesehen?
Dort macht man den Ansatz [mm] L_n\approx \lambda^n, [/mm] berechnet die nichttrivialen Nullstellen von
[mm] \lambda^n=\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2},
[/mm]
und nennt diese [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2.
[/mm]
Es ist dann [mm] L_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n [/mm] mit [mm] c_1,c_2\in\IR,
[/mm]
diese Konstanten musst Du noch durch die Anfangsbedingungen bestimmen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Was ist denn mit nichtrivialen Nullstellen gemeint und was bringen mir die? Hab ich das richtig verstanden? Ich muss einen Ausdruck finden, mit dem ich jedes Folgeglied bestimmen kann oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Was ist denn mit nichtrivialen Nullstellen gemeint und was
> bringen mir die? Hab ich das richtig verstanden? Ich muss
> einen Ausdruck finden, mit dem ich jedes Folgeglied
> bestimmen kann oder wie?
Genau. Und nun tun wir so, als ob die [mm] $L_n$ [/mm] sich als [mm] $\lambda^n$ [/mm] darstellen ließen.
Die Rekursionsgleichung für [mm] $L_n$ [/mm] ergibt dann:
(1) [mm] $\lambda^{n+2}=\lambda^{n+1}+\lambda^n$.
[/mm]
Diese Gleichung ist für [mm] $\lambda=0$ [/mm] und [mm] $n\ge [/mm] 1$ "trivialerweise" erfüllt. Die "nichttrivialen" Lösungen sind die für [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$. Für [mm] $\lambda\ne [/mm] 0$ erhält man die quadratische Gleichung:
(1) [mm] $\gdw \lambda^2-\lambda [/mm] + 1 = 0$ (Division durch [mm] $\lambda^n\ne [/mm] 0$).
[mm] $\gdw \lambda\in\left\{ \bruch {1+\sqrt 5} 2,\;\bruch {1-\sqrt 5} 2\right\}$.
[/mm]
Das heißt [mm] $\lambda_1=\bruch {1+\sqrt 5} [/mm] 2$ und [mm] $\lambda_2=\bruch {1-\sqrt 5} [/mm] 2$ sind die beiden "nichttrivialen Nullstellen".
Damit erfüllen [mm] $\lambda_1^n$ [/mm] und [mm] $\lambda_2^n$ [/mm] die Rekursionsgleichung und ebenfalls die Zahlen
[mm] $c_1*\lambda_1^n+c_2*\lambda_2^n$ [/mm] für [mm] $c_1,\;c_2\in\IR$.
[/mm]
Aus den beiden Anfangsbedingungen kannst Du dann [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] bestimmen und nachrechnen, daß tatsächlich sowohl die Anfangsbedingungen als auch die Rekursionsgleichung von [mm] $L_n=c_1*\lambda_1^n [/mm] + [mm] c_2*\lambda_2^n$ [/mm] erfüllt werden. Damit hast Du einen "expliziten" Ausdruck gefunden.
Alles klar?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hubbel |
(1) $ [mm] \gdw \lambda^2-\lambda [/mm] + 1 = 0 $ (Division durch $ [mm] \lambda^n\ne [/mm] 0 $).
Das hat doch gar keine reelle Nullstelle, wie kommst du auf die:
$ [mm] \gdw \lambda\in\left\{ \bruch {1+\sqrt 5} 2,\;\bruch {1-\sqrt 5} 2\right\} [/mm] $
?
Sorry, falls ich nerve, aber das ist mir nicht ganz klar.
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Hallo hubbel,
> (1) [mm]\gdw \lambda^2-\lambda + 1 = 0[/mm] (Division durch
> [mm]\lambda^n\ne 0 [/mm]).
>
Es muss hier so lauten:
[mm]\lambda^2-\lambda \blue{-} 1 = 0[/mm]
> Das hat doch gar keine reelle Nullstelle, wie kommst du auf
> die:
>
> [mm]\gdw \lambda\in\left\{ \bruch {1+\sqrt 5} 2,\;\bruch {1-\sqrt 5} 2\right\}[/mm]
>
> ?
>
Dann hat die korrigierte Gleichung auch diese Nullstellen.
> Sorry, falls ich nerve, aber das ist mir nicht ganz klar.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> (1) [mm]\gdw \lambda^2-\lambda + 1 = 0[/mm] (Division durch
> [mm]\lambda^n\ne 0 [/mm]).
>
> Das hat doch gar keine reelle Nullstelle, wie kommst du auf
> die:
>
> [mm]\gdw \lambda\in\left\{ \bruch {1+\sqrt 5} 2,\;\bruch {1-\sqrt 5} 2\right\}[/mm]
>
> ?
>
Tut mir leid, Tippfehler. Lies
$(1) [mm] \gdw \lambda^2-\lambda [/mm] - 1 = 0$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 08.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Das Schema ist also immer gleich? Ich Stelle eine Gleichung auf und bestimme die Nullstellen?
$ [mm] L_n=c_1\cdot{}\lambda_1^n [/mm] + [mm] c_2\cdot{}\lambda_2^n [/mm] $
Wie bekomme ich denn hiermit nun z.B. die 10 Zahl heraus? Ich setze für n=10 ein, aber ich verstehe nicht, was [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] sind.
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Hallo hubbel,
> Das Schema ist also immer gleich? Ich Stelle eine Gleichung
> auf und bestimme die Nullstellen?
>
Ja.
> [mm]L_n=c_1\cdot{}\lambda_1^n + c_2\cdot{}\lambda_2^n[/mm]
>
Die Lösung ergibt sich etwas anders, wenn [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}[/mm]
> Wie bekomme ich denn hiermit nun z.B. die 10 Zahl heraus?
> Ich setze für n=10 ein, aber ich verstehe nicht, was [mm]c_1[/mm]
> und [mm]c_2[/mm] sind.
>
[mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] bekommst Du heraus, wenn Du die Anfangsbedingungen einsetzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 08.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Die Anfangsbedignungen waren [mm] L_1=1 [/mm] und [mm] L_2=3.
[/mm]
Das heißt ich habe dann:
$ [mm] 1=c_1\cdot{}\lambda_1^n [/mm] + [mm] c_2\cdot{}\lambda_2^n [/mm] $
und
$ [mm] 3=c_1\cdot{}\lambda_1^n [/mm] + [mm] c_2\cdot{}\lambda_2^n [/mm] $
Und jetzt würde ich einfach noch [mm] \lambda_1^n=\lambda_2^n [/mm] einsetzen oder wie? Bzw. wieso muss ich das?
Sorry, aber ich tappe immernoch im dunkeln...
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Hallo hubbel,
> Die Anfangsbedignungen waren [mm]L_1=1[/mm] und [mm]L_2=3.[/mm]
>
> Das heißt ich habe dann:
>
> [mm]1=c_1\cdot{}\lambda_1^n + c_2\cdot{}\lambda_2^n[/mm]
>
> und
>
> [mm]3=c_1\cdot{}\lambda_1^n + c_2\cdot{}\lambda_2^n[/mm]
>
Die Gleichungen die Du brauchst lauten doch so:
[mm]L_{1}=1=c_{1}*\lambda_{1}^{\blue{1}}+c_{2}*\lambda_{2}^{\blue{1}}[/mm]
[mm]L_{2}=3=c_{1}*\lambda_{1}^{\blue{2}}+c_{2}*\lambda_{2}^{\blue{2}}[/mm]
> Und jetzt würde ich einfach noch [mm]\lambda_1^n=\lambda_2^n[/mm]
> einsetzen oder wie? Bzw. wieso muss ich das?
>
Jetzt muss Du obiges Gleichungssstem lösen,
damit Du eine explizite Darstellung der Lukas-Zahlen angeben kannst.
> Sorry, aber ich tappe immernoch im dunkeln...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Do 08.12.2011 | | Autor: | hubbel |
$ [mm] \gdw \lambda\in\left\{ \bruch {1+\sqrt 5} 2,\;\bruch {1-\sqrt 5} 2\right\} [/mm] $
Das heißt ich setze für das eine Lambda eben die eine Lösung ein, also 1+sqrt(5)/2 und für das andere setze ich 1-sqrt(5)/2 ein und löse noch c1 und c2 auf?
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Hallo hubbel,
> [mm]\gdw \lambda\in\left\{ \bruch {1+\sqrt 5} 2,\;\bruch {1-\sqrt 5} 2\right\}[/mm]
>
> Das heißt ich setze für das eine Lambda eben die eine
> Lösung ein, also 1+sqrt(5)/2 und für das andere setze ich
> 1-sqrt(5)/2 ein und löse noch c1 und c2 auf?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Do 08.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, vielen Dank euch.
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