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| Aufgabe | Seien [mm] $a
Zeigen Sie:
[mm] \left(\int_a^b f(x)\, dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)}\, dy\right)\geq (b-a)^2 [/mm] |
Hallo,
ich möchte diese Abschätzung beweisen.
Als Hinweis ist gegeben, dass man zu erst zeigen soll, dass für alle [mm] $x,y\in[a,b]$ [/mm] gilt:
[mm] $\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}\geq [/mm] 2$
Dies ist ja eine bekannte Abschätzung die man stumpf nachrechnen kann und dann die zweite binomische Formel anwendet.
Zu der eigenen Aufgabe möchte ich den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden.
Demnach gibt es [mm] $\xi_1,\xi_2\in[a,b]$ [/mm] mit
[mm] \int_a^b f(x)\,dx=f(\xi_1)(b-a) [/mm] und [mm] \int_a^b \frac{1}{f(y)}\,dy=\frac{1}{f(\xi_2)}(b-a) [/mm]
Damit erhalte ich also bereits
[mm] $\left(\int_a^b f(x)\, dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)}\, dy\right)=\frac{f(\xi_1)}{f(\xi_2)}(b-a)^2$
[/mm]
Jetzt muss ich noch irgendwie zeigen, dass [mm] $\frac{f(\xi_1)}{f(\xi_2)}\geq [/mm] 1$ gilt.
Hier sollte ich dann wahrscheinlich irgendwie den Hinweis ausnutzen. Aber es gelingt mir nicht.
Über einen Tipp würde ich mich freuen.
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mo 15.02.2016 | | Autor: | fred97 |
1. Ich sehe auch nicht, wie Du $ [mm] \frac{f(\xi_1)}{f(\xi_2)}\geq [/mm] 1 $ zeigen kannst. Nach dem Hinweis gilt "nur"
$ [mm] \frac{f(\xi_1)}{f(\xi_2)}\geq [/mm] 1 $ oder $ [mm] \frac{f(\xi_2)}{f(\xi_1)}\geq [/mm] 1 $
(Vielleicht hab ich auch nur Tomaten auf den Augen).
2. Hier eine Möglichkeit über Integration im [mm] \IR^2:
[/mm]
Sei $Q:=[a,b] [mm] \times [/mm] [a,b]$ und $g(x,y):= [mm] \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)} [/mm] $ für $(x,y) [mm] \in [/mm] Q$
Mit dem Hinweis haben wir $g [mm] \ge [/mm] 2$ auf $Q$, also
[mm] $2*(b-a)^2=2*\lambda_2(Q)=\integral_{Q}^{}{2 d(x,y)} \le \integral_{Q}^{}{g(x,y) d(x,y)}=2*\integral_{Q}^{}{\frac{f(x)}{f(y)} d(x,y)}=2*\left(\int_a^b f(x)\, dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)}\, dy\right) [/mm] $
Das letzte "=" ist der Satz von Fubini.
3. Eine weitere Möglichkeit, die ohne den Hinweis auskommt:
Setze [mm] f_1(x):=\wurzel{f(x)} [/mm] und [mm] f_2:=\bruch{1}{f_1}. [/mm] Dann folgt mit der Cauchy-Schwarz- Ungleichung:
[mm] (b-a)^2=(\integral_{a}^{b}{f_1(x)f_2(x) dx})^2 \le (\integral_{a}^{b}{f_1(x)^2 dx})*(\integral_{a}^{b}{f_2(x)^2 dx}),
[/mm]
woraus die gewünschte Ungleichung resultiert.
FRED
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Vielen Dank. Deine Lösungen gefallen mir sehr.
Ich hätte aber noch eine Frage zum vorletzten Gleichheitszeichen aus deiner 2. Möglichkeit:
[mm] $\integral_{Q}^{}{g(x,y) d(x,y)}=2\cdot{}\integral_{Q}^{}{\frac{f(x)}{f(y)} d(x,y)}$
[/mm]
Wie genau kommt dies zustande?
Wenn ich noch einpaar Zwischenschritte einfüge, erhalte ich doch:
[mm] $\integral_{Q}^{}{g(x,y) d(x,y)}=\integral_{Q}^{} \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}\, [/mm] d(x,y)$
Jetzt kann man die Linearität ausnutzen, aber wie man auf das gewünschte kommt, sehe ich leider nicht.
Oder soll das Gleichheitszeichen eigentlich ein [mm] $\leq$ [/mm] sein?
Edit:
Die Frage hat sich mittlerweile geklärt.
Vielen Dank.
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Hiho,
auch wenn es letztendlich das gleiche ist, wie fred's Lösung, kann man das auch mit "normaler" [mm] $\IR^1$-Integration [/mm] lösen (und dadurch klärt sich auch deine Frage an fred):
Beginne mit der Ungleichung:
$ [mm] \frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)}\geq [/mm] 2 $
und Integriere beide Seiten erst nach x, dann nach y und du erhältst:
[mm] $\left(\int_a^b f(x) dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)} dy\right) [/mm] + [mm] \left(\int_a^b f(y) dy\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(x)} dx\right) \geq 2(b-a)^2$
[/mm]
Variablensubstitution auf der linken Seite liefert das Gewünschte.
Gruß,
Gono
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Hi,
was genau muss denn Substituiert werden? Ich sehe irgendwie keine Substitution die etwas ändern würde.
Ich möchte die beiden Integral-Produkte ja addieren, richtig?
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Hiho,
> was genau muss denn Substituiert werden? Ich sehe irgendwie
> keine Substitution die etwas ändern würde.
>
> Ich möchte die beiden Integral-Produkte ja addieren,
> richtig?
ja. Mach dir mal klar, dass man die Integrationsvariable nennen kann, wie man möchte (rein formal ist das eben eine Substitution), d.h. es ist völlig schnuppe, ob ich
[mm] $\left(\int_a^b f(x) dx\right)$ [/mm] oder [mm] $\left(\int_a^b f(y) dy\right)$ [/mm] schreibe.
Angewendet auf die linke Seite ergibt das also:
[mm] $\left(\int_a^b f(x) dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)} dy\right) [/mm] + [mm] \left(\int_a^b f(y) dy\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(x)} dx\right) [/mm] = [mm] \left(\int_a^b f(x) dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)} dy\right) [/mm] + [mm] \left(\int_a^b f(x) dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)} dy\right) [/mm] = [mm] 2\left(\left(\int_a^b f(x) dx\right)\left(\int_a^b \frac{1}{f(y)} dy\right)\right)
[/mm]
Und damit nach division durch 2 das Gewünschte.
Gruß,
Gono
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Vielen Dank. Damit hat sich meine Frage erledigt.
Jetzt wo du es sagst, ist es einleuchtend, dass es egal ist, was die Integrationsvariable ist, hat mich aber gerade etwas verwirrt. Ich werde es mir merken.
Vielen Dank euch für die Hilfe.
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