matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenMWS für vektorwertige Fkt.
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - MWS für vektorwertige Fkt.
MWS für vektorwertige Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

MWS für vektorwertige Fkt.: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Fr 01.08.2008
Autor: Irmchen

Guten Abend alle zusammen!

Ich vesuche zur Zeit den Mittelwertsatz für  vektorwertige Funktionen nachzuvollziehen. Leider bekomme ich irgendwie überhaupt keinen Zugang zum Satz, und verstehe nicht wirklich was damit ausgesagt wird. Da ich schon den Satz nicht verstehe, komme ich natürlich auch nicht weiter beim Beweis dazu. Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann, den Inhalt dieses Satzes zu verstehen.

SATZ :

Sei U offen in [mm] \mathbb R^n [/mm], und [mm] f: U \to \mathbb R^m [/mm] von der Klasse [mm] C^1 [/mm].
Seien [mm] x, \xi \in \mathbb R^n [/mm] so, dass die Verbindungsstrecke von x und [mm] x + \xi [/mm]  in U liegt.
Dann gibt es ein [mm] M \ge 0 [/mm] mit
[mm] \| Df ( x + t \xi ) \cdot v \| \le M \cdot \| v \| [/mm] für [mm] 0 \le t \le 1 , \ v \in \mathbb R^n [/mm].
Für jedes solche M gilt:
[mm] \| f(x + t \xi ) - f(x) \| \le M \| \xi \| [/mm].

Ich kenne den Mittelwertsatz und den verallgemeinerten Mittelwertsatz aus Analysis I , aber irgendwie kann ich nicht den Zusammenhang zu dieser version für vektorwertige Funktionen erkennen.


Vielen Dank im voraus!

Viele Grüße
Irmchen



        
Bezug
MWS für vektorwertige Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Sa 02.08.2008
Autor: Blech

Hi,

Auch wenn wir hier mit vektorwertigen Funktionen arbeiten, ist die Ableitung immer noch ein Maß dafür, wie sehr sich der output ändert [mm] ($\| [/mm] f(y ) - f(x) [mm] \|$), [/mm] wenn wir den input ändern [mm] ($\| [/mm] y-x [mm] \|$). [/mm]

Dein Satz sagt, daß die maximalen Schwankungen des outputs durch den maximalen Wert der Ableitung auf der Strecke zwischen den beiden Punkten beschränkt ist.

Für n=m=1 heißt das also z.B., daß wenn die Funktion zwischen 3 und 4 absolut höchstens die Steigung 2 hat, dann kann sich der Funktionswert auch maximal um 2 ändern. Für n,m>1 messen wir die Änderungen von input- und output-Wert mit einer Norm.


Im einzelnen:

> Sei U offen in [mm]\mathbb R^n [/mm], und [mm]f: U \to \mathbb R^m[/mm] von

Wir betrachten eine Funktion, die auf einer offenen Menge

> der Klasse [mm]C^1 [/mm].

halbwegs hübsch ist. Eine offene Menge, weil auf den Rändern dann schlimme Sachen passieren können, ohne daß es uns interessieren muß.

>  Seien [mm]x, \xi \in \mathbb R^n[/mm] so, dass die
> Verbindungsstrecke von x und [mm]x + \xi[/mm]  in U liegt.

Wir nehmen uns aus dieser offenen Menge zwei beliebige Punkte x und y, deren Verbindungsstrecke auch in der offenen Menge liegt (U könnte bananenförmig sein. Wenn wir auf dem Weg von x nach y aus U rausgetragen werden, kann dort die Funktion natürlich völlig wild aussehen, weil wir ja nichts über ihr Aussehen außerhalb von U gefordert haben. Also müssen wir in U bleiben).

Den Vektor von x nach y nennen wir [mm] $\xi [/mm] := y-x$.


>  Dann gibt es ein [mm]M \ge 0[/mm] mit
>  [mm]\| Df ( x + t \xi ) \cdot v \| \le M \cdot \| v \|[/mm] für [mm]0 \le t \le 1 , \ v \in \mathbb R^n [/mm].

Da wir in U bleiben, existiert Df auf jedem Punkt der Verbindungsstrecke zwischen x und y. D.h. für alle Konvexkombinationen von x und y: [mm] $(1-t)x+ty=x+t(y-x)=x+t\xi$, $0\leq t\leq [/mm] 1$

[mm] $\| [/mm] Df ( x + t [mm] \xi [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] v [mm] \|\le [/mm] M [mm] \cdot \| [/mm] v [mm] \|$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{\| Df ( x + t \xi ) \cdot v \|}{\|v\|}\le [/mm] M $
[mm] $\Leftrightarrow \| [/mm] Df ( x + t [mm] \xi [/mm] ) [mm] \cdot \frac{v}{\|v\|}\|\le [/mm] M $

$Df ( x + t [mm] \xi [/mm] ) [mm] \cdot \frac{v}{\|v\|}$ [/mm] ist die Richtungsableitung von f im Punkt [mm] $x+t\xi$ [/mm] in Richtung v. (bzw. die normierte Richtungsableitung. Man fordert nicht immer, daß der Vektor von Haus aus normiert sein muß).

Also:
1. Aussage des Satzes:
Wenn unser f auf der Verbindungsstrecke zwischen 2 Punkten x und y stetig diffbar ist, dann finden wir ein M, das die Richtungsableitung in jedem Punkt auf der Verbindungsstrecke und in jede Richtung beschränkt ist

(bezüglich unserer Vektornorm. Das entspricht der Aussage, daß Df beschränkt ist bezüglich der Operatornorm, die von unserer Vektornorm induziert wird durch [mm] $\| A\|_O [/mm] := [mm] \sup_{v\in\IR^n, \|v\|=1} \| Av\|$) [/mm]


  

> Für jedes solche M gilt:
>  [mm]\| f(x + t \xi ) - f(x) \| \le M \| \xi \| [/mm].

Sicher, daß da nicht ein t fehlt, bzw. zu viel ist?

[mm] $\frac{\| f(x + \xi ) - f(x) \|}{\|\xi\|}=\frac{\| f(y ) - f(x) \|}{\| y-x \|}\leq [/mm] M$

ist die "Steigung" (natürlich bzgl. der Normen) der Geraden durch die Punkte $(x;f(x))$ und $(y;f(y))$. Und diese Steigung ist durch die maximale Steigung M beschränkt.



ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
MWS für vektorwertige Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:38 Sa 02.08.2008
Autor: Irmchen

Hallo Stefan

Erstmal vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!
Jetzt kann ich mir ein Bild zu dem Satz vorstellen :-).
Und : Ja, ich habe da ein t zuviel... :-(.

Viele Grüße
Irmchen


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]