?MWS? komplex < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien I = [a, b] [mm] \subset \IR [/mm] ein kompaktes Intervall und f : I [mm] \to \IC [/mm] stetig auf I und differenzierbar auf (a,b). Zeigen Sie:
a) Es existiert ein [mm] \gamma \in [/mm] (a, b) mit
|f(b) - [mm] f(a)|^2= [/mm] Re ( [mm] (\overline{f(b)}-\overline{f(a)} )f'(\gamma)) [/mm] (b - a).
Hinweis: Verwenden Sie Re g' = (Re g)', wobei g(u) [mm] :=Re(\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f(u)
[/mm]
|
also für sieht das dem mittelwertsatz ähnlich, aber den hinweis versteh ich nicht, nehmen wir an es soll eig heißen g(u) [mm] :=Re(\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f'(u)
[/mm]
dann könnte ich sagen : |f(b) - [mm] f(a)|^2= [/mm] Re ( [mm] g(\gamma)) [/mm] )(b - a).
nach dem hinweis müsste jetzt noch g abgeleitet werden, aber was soll das bringen? also wenn ich noch durch (b-a) teile müsste es eig so aussehen?
[mm] |\bruch{f(b) - f(a)}{(b-a)}|^2=(Re g(\gamma))'
[/mm]
nach mittelwertsatz könnte noch gelten
[mm] |f'(\delta)|^2=(Re g(\gamma))' [/mm]
[mm] \delta \in [/mm] I
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 So 20.09.2009 | | Autor: | cycore |
Hey,
> Es seien I = [a, b] [mm]\subset \IR[/mm] ein kompaktes Intervall und
> f : I [mm]\to \IC[/mm] stetig auf I und differenzierbar auf (a,b).
> Zeigen Sie:
> a) Es existiert ein [mm]\gamma \in[/mm] (a, b) mit
> |f(b) - [mm]f(a)|^2=[/mm] Re ( [mm](\overline{f(b)}-\overline{f(a)} )f'(\gamma))[/mm]
> (b - a).
> Hinweis: Verwenden Sie Re g' = (Re g)', wobei g(u)
> [mm]:=Re(\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f(u)[/mm]
>
> also für sieht das dem mittelwertsatz ähnlich, aber den
> hinweis versteh ich nicht,
lass dich von dem Hinweis nich verwirren
> nehmen wir an es soll eig
> heißen g(u) [mm]:=Re(\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f'(u)[/mm]
> dann könnte ich sagen : |f(b) - [mm]f(a)|^2=[/mm] Re ( [mm]g(\gamma))[/mm]
> )(b - a).
unwichtig, aber da hast du das g anders definiert als in der Aufgabe..
> nach dem hinweis müsste jetzt noch g abgeleitet werden,
> aber was soll das bringen? also wenn ich noch durch (b-a)
> teile müsste es eig so aussehen?
> [mm]|\bruch{f(b) - f(a)}{(b-a)}|^2=(Re g(\gamma))'[/mm]
nich ganz...ein (b-a) zu viel ;)
> nach
> mittelwertsatz könnte noch gelten
> [mm]|f'(\delta)|^2=(Re g(\gamma))'[/mm]
> [mm]\delta \in[/mm] I
Versuchs mal so:
Wähle [mm] \gamma [/mm] derart das [mm] f'(\gamma)=\bruch{f(b) - f(a)}{(b-a)} [/mm] und setz das mal in die rechte seite ein...da passiert was schönes...
hoffe das hilft dir
|
|
|
| |
|
danke für die antwort, sicher bin ich mir aber nicht.hab ich das so jetzt richtig verstanden?
|f(b) - [mm]f(a)|^2=[/mm] Re ( [mm](\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f'(\gamma))[/mm] (b - a)
=Re ( [mm] \bruch{\overline{f(b)}-\overline{f(a)}}{(b - a)} f'(\gamma))(b [/mm] - [mm] a)^2
[/mm]
=Re [mm] (\overline{f'(\gamma)} f'(\gamma)) [/mm] (b - [mm] a)^2 [/mm] (dann müsste das eine [mm] \gamma [/mm] schon so gegeben sein )
[mm] \gdw \bruch{|f(b) - f(a)|^2}{(b - a)^2}=|f'(\gamma)|^2=Re (\overline{f'(\gamma)} f'(\gamma))
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 20.09.2009 | | Autor: | cycore |
> danke für die antwort, sicher bin ich mir aber nicht.hab
> ich das so jetzt richtig verstanden?
Ja, hast du...jetzt müsstest du es nur noch ordentlich aufziehen..
>
> |f(b) - [mm]f(a)|^2=[/mm] Re (
> [mm](\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f'(\gamma))[/mm] (b - a)
>
> =Re ( [mm]\bruch{\overline{f(b)}-\overline{f(a)}}{(b - a)} f'(\gamma))(b[/mm]
> - [mm]a)^2[/mm]
>
> =Re [mm](\overline{f'(\gamma)} f'(\gamma))[/mm] (b - [mm]a)^2[/mm] (dann
> müsste das eine [mm]\gamma[/mm] schon so gegeben sein )
>
> [mm]\gdw \bruch{|f(b) - f(a)|^2}{(b - a)^2}=|f'(\gamma)|^2=Re (\overline{f'(\gamma)} f'(\gamma))[/mm]
>
also ungefähr so:
[mm] Re((\overline{f(b)}-\overline{f(a)})f'(\gamma))(b-a)
[/mm]
[mm] =Re((\overline{f(b)}-\overline{f(a)})\bruch{(f(b)-f(a))}{b-a})(b-a)
[/mm]
[mm] =\overline{(f(b)-f(a))}(f(b)-f(a))=... [/mm] noch ein paar begründungen wie "das is eh reell..."
|
|
|
| |
|
hab noch was ähnliches in den unterlagen gefunden, das sähe dann etwa so aus:> Es seien I = [a, b] [mm]\subset \IR[/mm] ein kompaktes Intervall und
|f(b) - [mm] f(a)|^2=(mit [/mm] dem [mm] hinweis)=g(b)-g(a)=(mws)=g'(\gamma)(b-a)=
[/mm]
...
(kettenregel: [mm] g'(\gamma))=(f(b) [/mm] - [mm] f(a))f'(\gamma))
[/mm]
...
(f(b) - [mm] f(a))f'(\gamma)(b-a)
[/mm]
so jetzt hab ich erstens RE weggelassen, zweitens versteh ich die kettenregel mit g' nicht so ganz und drittens wäre das so im prinzip richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 20.09.2009 | | Autor: | cycore |
> hab noch was ähnliches in den unterlagen gefunden, das
> sähe dann etwa so aus:> Es seien I = [a, b] [mm]\subset \IR[/mm]
> ein kompaktes Intervall und
>
> |f(b) - [mm]f(a)|^2=(mit[/mm] dem
> [mm]hinweis)=g(b)-g(a)=(mws)=g'(\gamma)(b-a)=[/mm]
> ...
> (kettenregel: [mm]g'(\gamma))=(f(b)[/mm] - [mm]f(a))f'(\gamma))[/mm]
> ...
> (f(b) - [mm]f(a))f'(\gamma)(b-a)[/mm]
>
> so jetzt hab ich erstens RE weggelassen,
Jap...das darfst du, weil das eh reell is...
> zweitens versteh
> ich die kettenregel mit g' nicht so ganz
was das mit der kettenregel zu tun haben soll versteh ich auch nicht so recht,
also ich meine der zusatz sieht überflüssig aus
> und drittens wäre
> das so im prinzip richtig?
ich denke schon das man daraus was richtiges machen kann, aber war es nicht so, dass [mm] g(x)=(\overline{f}(b)-\overline{f}(a))f(x), [/mm] also frage ich mich..wo steckt die konjugation?
und ich meine das stimmt, aber je nach dem wo du das abgibst oder so sollte vielleicht noch der erste schritt gezeigt werden...
|
|
|
|
