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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mo 25.11.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | Sei $ D:= {(x,y) [mm] \in \IR^2 \medspace [/mm] | [mm] \medspace x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}y^2 [/mm] = 1 } [mm] \cup [/mm] { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] \medspace [/mm] x+y > 3 } $
a) Skizziere D.
b) Zeige, dass D nicht abgeschlossen ist. |
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) hier die Skizze der Menge
Zeige, dass D weder abgeschlossen noch beschränkt ist.
1) Nicht abgeschlossen:
In der Beispiellösung sagt der Prof: Wir zeigen, dass $ [mm] \overline{D} \neq [/mm] D $ (also D nicht abgeschlossen)
$ (2,1) [mm] \neq [/mm] D $, denn $ 2+1=3 $ und $ [mm] 2^2+\bruch{1}{4}*1^2 [/mm] > 1 $
Hab ich verstanden. (2,1) liegt auf dem Rand. Da " > 1" gehört der Rand nicht zu M.
Dann:
$ (2,1) [mm] \in \overline{D}, [/mm] $ denn $ [mm] U_\epsilon((2,1)) \cap \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y > 3 \medspace \} \neq \emptyset \medspace [/mm] $,$ [mm] \forall\epsilon [/mm] > 0 $
Zwei Sachen verstehe ich nicht: Warum geht er über den Schnitt?
Und warum ist der Schnitt der Epsilon-Umgebung von (2,1) mit x+y > 3 nicht leer?
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> Sei [mm]D:= {(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x^2 + \bruch{1}{4}y^2 = 1 } \cup { (x,y) \in \IR^2 | \medspace x+y > 3 }[/mm]
>
Ich vermute, dass das $$ D:= [mm] \{(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x^2 + \bruch{1}{4}y^2 = 1 \} \cup \{ (x,y) \in \IR^2 | \medspace x+y > 3 \}$$
[/mm]
heißen soll.
> a) Skizziere D.
>
> b) Zeige, dass D nicht abgeschlossen ist.
> Hallo,
>
> hier die Skizze der Menge
>
> Zeige, dass D weder abgeschlossen noch beschränkt ist.
>
> 1) Nicht abgeschlossen:
>
> In der Beispiellösung sagt der Prof: Wir zeigen, dass
> [mm]\overline{D} \neq D[/mm] (also D nicht abgeschlossen)
>
> [mm](2,1) \neq D [/mm], denn [mm]2+1=3[/mm] und [mm]2^2+\bruch{1}{4}*1^2 > 1 [/mm]
Das soll vermutlich $(2,1) [mm] \not\in [/mm] D$ heißen.
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> Hab ich verstanden. (2,1) liegt auf dem Rand. Da " > 1"
> gehört der Rand nicht zu M.
Was ist $M$? Du meinst $D$, oder?
>
>
> Dann:
> [mm](2,1) \in \overline{D},[/mm] denn [mm]U_\epsilon((2,1)) \cap \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y > 3 \medspace \} \neq \emptyset \medspace [/mm],[mm] \forall\epsilon > 0 [/mm]
>
> Zwei Sachen verstehe ich nicht: Warum geht er über den
> Schnitt?
Er zeigt eigentlich bloß, dass $(2,1) [mm] \in \partial [/mm] D$ gilt.
Ist $M$ eine Teilmenge eines top. Raumes $X$, so gilt
[mm] $\overline{M} [/mm] = [mm] \partial [/mm] M [mm] \cup M^\circ [/mm] \ \ [mm] (\*)$
[/mm]
wobei mit $ [mm] M^\circ$ [/mm] das Innere von $M$ gemeint ist. Daraus folgt dass [mm] $\partial [/mm] M = [mm] \overline{M} \setminus M^\circ [/mm] $.
Wie du richtig erkannt hast, ist $(2,1)$ ein Randpunkt von $D$. Daraus folgt wegen [mm] $(\*)$ [/mm] bereits $(2,1) [mm] \in \overline{D}$. [/mm] Nun ist ganz offenbar $(2,1) [mm] \not\in [/mm] D$. Daraus folgt schließlich [mm] $\overline{D} \not= [/mm] D$.
>
> Und warum ist der Schnitt der Epsilon-Umgebung von (2,1)
> mit x+y > 3 nicht leer?
>
Betrachten wir $A = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y > 3 \medspace \}$. [/mm] Dann ist [mm] $\partial [/mm] A = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y = 3 \medspace \}$. [/mm] Für alle $(x,y) [mm] \in \partial [/mm] A$ gilt, dass jede Umgebung $U = [mm] U_\varepsilon(x,y)$ [/mm] stets Punkte aus [mm] $\partial [/mm] A$ sowie Punkte aus dem Komplement von [mm] $\partial [/mm] A$ enthält. Das ist eine wesentliche Eigenschaft von Randpunkten.
LG,
ChopSuey
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![[]](https://www.bilder-upload.eu/bild-69e6e5-1574688448.png.html){kind=small}
hier die Skizze der Menge
