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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Mac Laurinsche Reihe der Funktion f(x)=cosh x:
a) auf direktem Wege nach der Mac Laurinschen Reihe.
b) aus den Potenzreihenentwicklungen von [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] unter der Berücksichtigung der Definitionsformel cosh [mm] x=\br{1}{2}*(e^x+e^{-x}) [/mm] |
Hallo,
a) habe ich soweit verstanden... Bei b) habe ich folgendes:
[mm] f(x)=e^x=1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}
[/mm]
[mm] f(x)=e^{-x}=1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!}
[/mm]
Im Lösungsbuch steht nun folgendes:
[mm] \br{1}{2}*[(1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})+(1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})]=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
Das habe ich auch verstanden...
Meine Frage: Kann ich auch mit den Summen weiterrechnen wie folgt:
[mm] f(x)=\br{1}{2}*[(\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!})+(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!})]=\br{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}+(-1)^n\br{x^n}{n!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!}
[/mm]
Hier weiss ich nicht weiter... Darf ich das so rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Di 29.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Mac Laurinsche Reihe der Funktion
> f(x)=cosh x:
>
> a) auf direktem Wege nach der Mac Laurinschen Reihe.
>
> b) aus den Potenzreihenentwicklungen von [mm]e^x[/mm] und [mm]e^{-x}[/mm]
> unter der Berücksichtigung der Definitionsformel cosh
> [mm]x=\br{1}{2}*(e^x+e^{-x})[/mm]
> Hallo,
>
> a) habe ich soweit verstanden... Bei b) habe ich
> folgendes:
>
> [mm]f(x)=e^x=1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}[/mm]
>
> [mm]f(x)=e^{-x}=1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!}[/mm]
>
> Im Lösungsbuch steht nun folgendes:
>
> [mm]\br{1}{2}*[(1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})+(1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})]=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Das habe ich auch verstanden...
>
> Meine Frage: Kann ich auch mit den Summen weiterrechnen wie
> folgt:
>
> [mm]f(x)=\br{1}{2}*[(\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!})+(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!})]=\br{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}+(-1)^n\br{x^n}{n!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!}[/mm]
>
> Hier weiss ich nicht weiter... Darf ich das so rechnen?
Ja.
Tipp: es ist
[mm] (-1)^n=1, [/mm] falls n gerade ist und =-1, falls n ungerade ist
Fred
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O.K. Es gilt also:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!}
[/mm]
Kann ich das auch berechnen oder ist das eher Erfahrung und Intuition?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Di 29.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch nur für [mm] (-1)^n) [/mm] gerade und ungerade Zahlen einsetzen, das hat nichts mir Intuition zu tun.
Grus leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 29.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> O.K. Es gilt also:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!}[/mm]
>
> Kann ich das auch berechnen oder ist das eher Erfahrung und
> Intuition?
Nein, das ist Gestank !
Ich glaube nichts stinkt mehr nach "Fallunterscheidung" als [mm] (-1)^n
[/mm]
FRED
>
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