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Macht von einem Test: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Sa 17.10.2015
Autor: f12

Aufgabe
Sei [mm] $X_1, \dots, X_n\sim N(\theta,1)$. [/mm] Wir haben den Test, [mm] $H_0:\theta [/mm] = 0$ gegen [mm] $H_1: \theta [/mm] = 1$. Der Ablehnungsbereich sei [mm] $R:=\{x^n := (x_1,\dots,x_n)| T(x^n) > c\}$ [/mm] wobei [mm] $T(x^n):=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$. [/mm]
1. Finde $c$ so dass der Test die Grösse [mm] $\alpha$ [/mm] hat.
2. Finde die Mächtigkeit unter [mm] $H_1$. [/mm]
3. Zeige dass [mm] $\beta(1)\to [/mm] 1 $ wenn [mm] $n\to\infty$ [/mm]


Ich arbeite mich selbständig durch das Buch von Larry Wasserman (all of Statistics). Nun löse ich obige Aufgabe und wollte sicher gehen, dass mein Weg richtig ist und ich habe auch noch eine Frage:

zu $1)$:Die Grösse ist definiert als [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta):=\sup_{\theta\in\Theta_0}P_\theta(X\in [/mm] R)$ wobei hier das Supremum wegfällt, da [mm] $\Theta_0=\{0\}$. [/mm] Daher
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] \beta(0)=P(T(X^n)>c|H_0)=1-P(T(X^n)\le c|H_0)$ [/mm]
Unter [mm] $H_0$ [/mm] ist [mm] $T(X^n)\sim N(0,\frac{1}{\sqrt{n}})$, [/mm] also
[mm] $1-P(T(X^n)\le c|H_0)= [/mm] 1- [mm] P(T(X^n)*\sqrt{n} \le c\sqrt{n})=P(Z\le c\sqrt{n})$ [/mm]
wobei $Z$ standard normalverteilt ist. Somit folgt:
$c = [mm] \frac{\Phi^{-1}(1-\alpha)}{\sqrt{n}}$ [/mm]

Ist dies korrekt?

Zu $2)$: die Mächtigkeit ist definiert als [mm] $\beta(1)$ [/mm] in diesem Falle. Wenn ich wieder oben folge, ändert sich nur das [mm] $T(X^n)\sim N(1,\frac{1}{\sqrt{n}}$, [/mm] also

$1- [mm] P((T(X^n)-1)\sqrt{n} \le (c-1)\sqrt{n})=1-P(Z\le(c-1)\sqrt{n})=1-\Phi((c-1)\sqrt{n})$ [/mm]

Stimmt dies soweit?

Nun zu $3)$. Ich bin mir nicht ganz sicher ob mein Argument richtig ist:
[mm] $\beta(1)=1-\Phi(\Phi^{-1}(1-\alpha)-\sqrt{n})$ [/mm]
Wenn [mm] $n\to\infty$ [/mm] geht der [mm] $\Phi^{-1}(1-\alpha)-\sqrt{n}$ [/mm] nach [mm] $-\infty$ [/mm] und dann wäre [mm] $\Phi(-\infty)=0$, [/mm] somit [mm] $\lim_n\beta(1)=1-\lim_n\dots=1$. [/mm] Wobei ich verwendet habe, dass [mm] $\lim_{x\to -\infty} [/mm] F(x)=0$ für alle verteilungsfunktionen.

        
Bezug
Macht von einem Test: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Mi 04.11.2015
Autor: luis52


>   und ich
> habe auch noch eine Frage:

Moin, ich erkenne mindestens zwei Fragen ... ;-)

*Ich* kann keinen Fehler entdecken.



Bezug
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