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Kann mir einer folgende Bemerkung erklären?
Sei n := |A| und m := |B. Dann ex. Bijektion f:A --> {1,...,n} mit g:B --> {n+1,...,n+m} (Muss das nicht heißen f:B --> {1,...,n}?). Sei h:A [mm] \cup [/mm] B -->{1,...,n+m} mit h(x)=f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A und h(x)=g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B.
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Hallo,
> Kann mir einer folgende Bemerkung erklären?
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> Sei n := |A| und m := |B. Dann ex. Bijektion f:A -->
> {1,...,n} mit g:B --> {n+1,...,n+m} (Muss das nicht heißen
> f:B --> {1,...,n}?). Sei h:A [mm]\cup[/mm] B -->{1,...,n+m} mit
> h(x)=f(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A und h(x)=g(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B.
Du meinst sicher $ f : B \to \{1,...,\color{red}{m}}\} $
Bei der Bijektion geht es um die Abzählbarkeit der Elemente. Die Menge
$ \{n+1, n+2,...,n+m\}$ ist gleichmächtig zu $ \{1,2,...,m\}$
LG,
ChopSuey
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Also ist es egal wie ich´s schreibe?
LG
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> Also ist es egal wie ich´s schreibe?
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> LG
Es spielt im Sinne der Mächtigkeit zunächst keine Rolle. Im Allgemeinen macht es aber sehr wohl einen Unterschied.
Per Definition sind zwei Mengen $ [mm] B_1, B_2 [/mm] $ gleichmächtig genau dann, wenn es eine Bijektion $ [mm] \phi [/mm] : [mm] B_1 \to B_2 [/mm] $ gibt. Endliche Mengen sind also genau dann gleichmächtig, wenn sie gleich viele Elemente haben.
Es existiert zu deiner Menge $ B $ mit Mächtigkeit $ m $ eine Bijektion $ [mm] \{n+1,n+2,...,n+m\}$ [/mm] gleichermaßen wie zur Menge $ [mm] \{1,2,...,m\}$ [/mm] für $ m [mm] \in \IN [/mm] $.
Es macht allerdings trotzdem einen Unterschied, welche Menge du wählst.
In deiner Frage ging es weiter um die Menge $ A [mm] \cup [/mm] B $ und diese hat für $ A [mm] =\{1,...,n\}$ [/mm] und $ B = [mm] \{1,...,m\}$ [/mm] die Mächtigkeit $ [mm] \vert [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \vert [/mm] = [mm] \max\{n,m\}$ [/mm]
Die Wahhl der Bijektion $ f: B [mm] \to \{n+1,...,n+m\}$ [/mm] stellt sicher dass die Mengen disjunkt sind und die Vereinigung $ A [mm] \cup [/mm] B $ die Mächtigkeit $ [mm] \vert A\vert [/mm] + [mm] \vert [/mm] B [mm] \vert [/mm] $ besitzt.
Ich nehme an, dass das im Folgenden für deine Aufgabe bzw deinen Beweis eine wesentliche Rolle spielt.
LG,
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mi 19.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DerPinguinagent!
> Kann mir einer folgende Bemerkung erklären?
Vielleicht solltest du uns den Kontext der Bemerkung nicht vorenthalten...
Meine Glaskugel hat mir aber in diesem Fall gute Dienste geleistet: Sie verriet mir, dass A und B als disjunkte endliche Mengen vorausgesetzt sind. Nun soll bewiesen werden, dass [mm] $|A\cup [/mm] B|=|A|+|B|$ gilt, stimmt's?
(Das ist übrigens eine meiner Lieblingsaussagen, weil man sie schon in der ersten Schulklasse laufend verwendet, wie das folgende Beispiel zeigt:
Fritz hat in seiner linken Hand 4 Murmeln und in der rechten Hand 3 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Fritz insgesamt in seinen Händen?
Schon die meisten Erstklässler wissen, dass sie 4+3=7 rechnen müssen.
Eine formale Begründung dazu: Sei A die Menge der Murmeln in der linken Hand und B die Menge der Murmeln in der rechten Hand. Dann sind A und B disjunkt und [mm] $A\cup [/mm] B$ ist die Menge aller Murmeln in den beiden Händen. Gegeben ist $|A|=4$ und $|B|=3$. Es folgt [mm] $|A\cup [/mm] B|=|A|+|B|=4+3=7$.)
> Sei n := |A| und m := |B.
Zu zeigen ist also [mm] $|A\cup [/mm] B|=n+m$.
Wir suchen also eine Bijektion [mm] $h\colon A\cup [/mm] B [mm] \to\{1,\ldots,n+m\}$.
[/mm]
> Dann ex. Bijektion f:A -->
> {1,...,n} mit g:B --> {n+1,...,n+m} (Muss das nicht heißen
> f:B --> {1,...,n}?).
Nach Definition von n=|A| und m=|B| existieren Bijektionen [mm] $f\colon A\to\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und [mm] $\tilde{g}\colon B\to\{1,\ldots,m\}$.
[/mm]
Der Urheber des von dir wiedergegebenen Textes argumentiert nun implizit damit, dass sich aus [mm] $\tilde{g}$ [/mm] eine Bijektion [mm] $g\colon B\to\{n+1,\ldots,n+m\}$ [/mm] basteln lässt. Ich schreibe dir eine solche hin:
[mm] $g\colon B\to\{n+1,\ldots,n+m\},\quad g(b)=\tilde{g}(b)+n$.
[/mm]
Ich überlasse es dir, dir anschaulich oder durch formalen Beweis klarzumachen, dass g tatsächlich eine wohldefinierte Bijektion darstellt.
> Sei h:A [mm]\cup[/mm] B -->{1,...,n+m} mit
> h(x)=f(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A und h(x)=g(x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] B.
Nun wird aus f und g tatsächlich die gesuchte Bijektion h gebastelt.
Wieder ist anschaulich oder formal zu verifizieren, dass h wirklich eine wohldefinierte Bijektion darstellt (dabei soll wohl vorausgesetzt werden dürfen, dass [mm] $\{1,\ldots,n+m\}=\{1,\ldots,n\}\cup\{n+1,\ldots,n+m\}$ [/mm] gilt und diese Vereinigung disjunkt ist).
Viele Grüße
Tobias
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