Mächtigkeit, Abzählbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 15.11.2007 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | 1) Sind die Mengen (0,1) und IR gelichmächtig?
2) Gilt dasselbe auch für (0,1) und [1,0]?
3) Seien M und N endliche Mengen, card M=m und card N=n. Wie viele injektive Abbildungen M [mm] \arrow [/mm] right N gibt es?
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ad 1) Ich hab mir folgendes überlegt: man kann ja zeigen, dass (0,1) überabzählbar ist und [mm] \IR [/mm] ist ja auch überabzählbar, deren Mächtigkeit ist somit [mm] \infty.
[/mm]
Klar es gibt unterschiedliche Qualitäten des Unendlichen, es ist ja keine reelle Zahl. Aber wie sieht es dann mit einer Bijektion aus? Kann ich vom Faktum, dass beide Mangen überabzählbar sind auf deren funktionalen Beziehung schließen? Gilt grundsätzlich dass zwei überabzählbare Mengen nicht gleichmächtig sind oder ist genau dies zu zeigen?
ad 2) Hier geht es ja prinzipiell um die gleiche Frage, denn auch hier sind beide Mengen/Intervalle (0,1) und [0,1] überabzählbar. Somit stellt sich auch hier die Frage, ob die Abbildung zweier überabzählbarer Mengen bijektiv gelingen kann, d.h. sind diese gleichmächtig sind.
ad 3) Ist n=m so sind beide Mengen gleichmächtig, also bijektiv und dann natürlich auch surjektiv und injektiv. Ich hab mir hier eine kleine Skizze angefertigt für zwei, drei und vier elementige Mengen und hoffe daraus eine Gesetzmäßigkeit herauszufinden. Evtl. hat das doch was mit Kombinatorik zu tun, etwas mit der Anordnung von Objekten.
Ist n<m ist f nicht injektiv. Da es für jedes Element aus M ein Element geben muss mit f(m)=n (da ja f Abbildung), die Anzahl der Elemente von N aber geringer ist, muss mindestens bei einem Element von N mehr als ein Pfeil ankommen. Das bedeutet es gibt keine injektive Abbildungen für n<m.
Bleibt noch n>m. Dann ist aber f surjektiv, da von jedem Element aus M nur Pfeil ausgehen darf (da ja f Abb.) und dann Elemente aus N nicht zur Bildmenge gehören (card Im f < card N). Jetzt ist wohl zu unterscheiden, ob n=m+1 oder n=n+2,
ist und dann gibt es wohl eine bestimmte Menge möglicher Abbildung. Das Ganze hängt natürlich dann auch von n und m selber ab
Wie kann ich dies am besten (evtl. kombinatorisch?) lösen?
Bitte helft mir auf die Sprünge.
Viele Grüße
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> 1) Sind die Mengen (0,1) und IR gelichmächtig?
> 2) Gilt dasselbe auch für (0,1) und [1,0]?
> 3) Seien M und N endliche Mengen, card M=m und card N=n.
> Wie viele injektive Abbildungen M [mm]\arrow[/mm] right N gibt es?
Hallo,
zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen beiden gibt, und die benötigst Du.
Lies hierzu Gilgas Antwort im anderen Thread, und dieskutiere bitte auch weitere Fragen zu 1) und 2) dort. Das ist ökonomischer...
Gruß v. Angela
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> 3) Seien M und N endliche Mengen, card M=m und card N=n.
> Wie viele injektive Abbildungen M [mm]\arrow[/mm] right N gibt es?
> ad 3) Ist n=m so sind beide Mengen gleichmächtig, also
> bijektiv
Hallo,
halloooooooo?
Mengen sind nicht bijektiv.
Allerdings können Abbildungen zwischen zwei Mengen bijektiv ein, und daß es solch eine bij. Abb. [mm] M\to [/mm] N im Falle der Gleichmächtigkeit gibt, hast Du anscheinend richtig erkannt.
Zur Anzahl der Bijektionen:
Überlege Dir, wieviele Möglichkeiten Du hast, das erste Element v. M abzubilden, wieviele dann noch fürs zweite usw.
> Ist n<m ist f nicht injektiv. Da es für jedes Element aus
> M ein Element geben muss mit f(m)=n (da ja f Abbildung),
> die Anzahl der Elemente von N aber geringer ist, muss
> mindestens bei einem Element von N mehr als ein Pfeil
> ankommen. Das bedeutet es gibt keine injektive Abbildungen
> für n<m.
Ja.
> Bleibt noch n>m. Dann ist aber f surjektiv,
Das wird aber gar nicht gut klappen... Wie sollen wir in N alle Elemente durch f: [mm] M\to [/mm] N "erwischen", wenn wir in M weniger Elemente zur Verfügung haben?
> da von jedem
> Element aus M nur Pfeil ausgehen darf (da ja f Abb.) und
> dann Elemente aus N nicht zur Bildmenge gehören (card Im f
> < card N).
Das stimmt nun wieder, bis auf daß das Wörtchen "da" fehl am Platze ist.
>Wie kann ich dies am besten (evtl.
> kombinatorisch?) lösen?
Mit derselben Überlegung, die ich Dir oben vorgestellt hatte.
Gruß v. Angela
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