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| Aufgabe | Es sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass es keine bijektive Abbildung
f: M-->P(M) geben kann. ( P(M):= Potenzmenge von M)
Hinweis: Betrachten Sie die Menge X:= {x [mm] \in [/mm] M| x [mm] \not\in [/mm] f(x)} |
Das sollte man durch einen indirekten Beweis zeigen.
Ich hab nur keine Idee wie ich anfangen soll, zudem finde ich den Hinweis sehr verwirrend.
ich hoffe mir kann jmd. weiterhelfen.
mfg
ConstantinJ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Es sei M eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass es keine
> bijektive Abbildung
> f: M-->P(M) geben kann. ( P(M):= Potenzmenge von M)
> Hinweis: Betrachten Sie die Menge X:= {x [mm]\in[/mm] M| x [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> f(x)}
> Das sollte man durch einen indirekten Beweis zeigen.
> Ich hab nur keine Idee wie ich anfangen soll, zudem finde
> ich den Hinweis sehr verwirrend.
>
> ich hoffe mir kann jmd. weiterhelfen.
>
> mfg
> ConstantinJ
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Angenommen, es gibt eine bijektive Abbildung f:M -> P(M).
Dann gibt es zu obiger Teilmenge X ein y\in M mit f(y)=X
Daraus kannst du einen Widerspruch konstruierten, indem du die zwei Fälle y\in X und y\not\in X betrachtest.
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Ich komm da nicht weiter :
Ich hab mir mal einfach ein Beispiel für eine Menge M gemacht:
M:= {0,1,2}
dann ist doch P(M) = { {},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2} }
aber was wäre dann X ?
und wie bringt mich das weiter ?
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Hallo ConstantinJ,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> M:= {0,1,2}
> dann ist doch P(M) = { {},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2} }
> aber was wäre dann X ?
X hängt doch von der Abbildung f ab, von der man annimmt, dass sie eine Bijektion von M nach [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] herstellt.
>
> und wie bringt mich das weiter ?
Das nicht, aber donquijotes Hinweis sollte dich weiterbringen. Versuche ihm mal zu verfolgen!
LG
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Ich überlege schon die ganze Zeit dran.
Aber ich versteh die Menge X nicht.
wie kann dann x [mm] \in [/mm] M aber nicht in f(x) sein ?
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> Ich überlege schon die ganze Zeit dran.
> Aber ich versteh die Menge X nicht.
>
> wie kann dann x [mm]\in[/mm] M aber nicht in f(x) sein ?
Du solltest dir das grundlegende Setup für f:M->P(M) nochmal deutlich machen:
x steht für ein Element der Menge M, während f(x) dann eine Teilmenge von M ist.
Diese Teilmenge muss x nicht als Element enthalten.
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Gibt es da nicht eine Möglichkeit, wie ich mir das an einem Beispiel verdeutlichen kann?
evtl mit der Menge, die ich oben angegeben habe?
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> Gibt es da nicht eine Möglichkeit, wie ich mir das an
> einem Beispiel verdeutlichen kann?
> evtl mit der Menge, die ich oben angegeben habe?
Eine abbildung M->P(M) wäre dann z.B. gegeben durch
f(0) = {1}
f(1) = {1,2} und
f(2) = {0,1}
Eine solche Abbildung kann aber niemals bijektiv sein, das ist ja gerade in der Aufgabe zu zeigen.
Im obigen Beispiel wäre X = {0,2}
1 gehört nicht dazu, da [mm] 1\in\{1,2\}=f(1)
[/mm]
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Ich hoffe es ist noch jmd da.
Hier mal mein Versuch:
f: M-->P(M)
X:= {x [mm] \in [/mm] M | x [mm] \not\in [/mm] f(x) }
Da P(M) := {A|A [mm] \subset [/mm] M} gilt : X [mm] \subset [/mm] M
Also gilt : Wenn f bij. dann: [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] M mit f(y) = X
1. Fall: y [mm] \in [/mm] X
=> y [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] y [mm] \not\in [/mm] f(y)
=> aus f(y)=X folgt: y [mm] \not\in [/mm] X (Widerspruch!)
2.Fall: y [mm] \not\in [/mm] X
=> y [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(y)
=> aus f(y) = X folgt: y [mm] \in [/mm] X (Widerspruch!)
somit f nicht bij.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich hoffe es ist noch jmd da.
> Hier mal mein Versuch:
>
> f: M-->P(M)
> X:= {x [mm]\in[/mm] M | x [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(x) }
>
> Da P(M) := {A|A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M} gilt : X [mm]\subset[/mm] M
>
> Also gilt : Wenn f bij. dann: [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] M mit f(y) = X
>
> 1. Fall: y [mm]\in[/mm] X
> => y [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] y [mm]\not\in[/mm] f(y)
> => aus f(y)=X folgt: y [mm]\not\in[/mm] X (Widerspruch!)
>
> 2.Fall: y [mm]\not\in[/mm] X
> => y [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] f(y)
> => aus f(y) = X folgt: y [mm]\in[/mm] X (Widerspruch!)
>
> somit f nicht bij.
jetzt passt es
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| Aufgabe | Es sei nun M eine Menge endilcher Mächtigkeit.
Zeigen Sie, dass |P(M)| = [mm] 2^{|M|}. [/mm] |
das ist noch ein weiter teil der aufgabe,
leider finde ich auch hier keinen ansatz
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Fr 11.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das geht sehr schön mit vollständiger Induktion.
Zwei Ideen dazu findest du unter folgenden Skripten (jeweils auf Seite 3)
http://www.gefilde.de/ashome/vorlesungen/arithalgebra/skript/kapitel03.pdf
http://www.mathe-seiten.de/unendlich.pdf
Marius
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