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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mi 05.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $R=K[x]/(1+x+x^{3})K[x]$ [/mm] mit [mm] $K=\mathbf{F}_{2}$
[/mm]
1. Zeige, dass $|R|=8$
2. Man berechne [mm] $x^{i} [/mm] (i=0,1,...,7)$ als [mm] $a+bx+cx^{2}$ [/mm] in [mm] $K+Kx+Kx^{2}$
[/mm]
3. Sei [mm] $y\ne [/mm] 0$ in $R$. Man zeige, dass [mm] $y^{7}=1$
[/mm]
4. Man zeige, dass $R$ ein Körper ist und $R [mm] \backslash \{0\}$ [/mm] zyklisch. |
Hallo!
1. Es sind [mm] \{ \widetilde{0}, \tilde{1}, \tilde{x},\widetilde{x+1}, \widetilde{x^{2}}, \widetilde{x^{2}+1},\widetilde{x^{2}+x},\widetilde{x^{2}+x+1} \} [/mm] die Elemente von $R$, und damit |R|=8.
2. Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht: wird hier verlangt ein Polynom 7.ten Grades durch ein Polynom 2.ten Grades in [mm] $\IF_{2}[x]$ [/mm] darzustellen? Wie geht das wenn der Körper sich nur auf die Koeffizienten auswirkt und nicht auf den Grad des Polynoms!
4. Mit einsetzen sieht man: [mm] (1+x^{2}+x^{3}) [/mm] ist nicht reduzibel, also ist es ein Integritätsring. Aus der Endlichkeit der Elemente folgt, dass es ein Körper ist. Dann zeigen, dass alle Elemente durch Potenzen von anderen dargestellt werden können, also zyklisch.
3. da zyklisch sind alle Elemente ausgenommen 0 Erzeuger und es kann durch alle Elemente 1 dargestellt werden, nachrechnen.
Stimmt das so weit, kann man bei 4. und 3. das auch anders zeigen als durch Nachrechnen?
Danke für jegliche Aufklärung!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Do 06.10.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]R=K[x]/(1+x+x^{3})K[x][/mm] mit [mm]K=\mathbf{F}_{2}[/mm]
>
> 1. Zeige, dass [mm]|R|=8[/mm]
>
> 2. Man berechne [mm]x^{i} (i=0,1,...,7)[/mm] als [mm]a+bx+cx^{2}[/mm] in
> [mm]K+Kx+Kx^{2}[/mm]
>
> 3. Sei [mm]y\ne 0[/mm] in [mm]R[/mm]. Man zeige, dass [mm]y^{7}=1[/mm]
>
> 4. Man zeige, dass [mm]R[/mm] ein Körper ist und [mm]R \backslash \{0\}[/mm]
> zyklisch.
> Hallo!
>
>
>
> 1. Es sind [mm]\{ \widetilde{0}, \tilde{1}, \tilde{x},\widetilde{x+1}, \widetilde{x^{2}}, \widetilde{x^{2}+1},\widetilde{x^{2}+x},\widetilde{x^{2}+x+1} \}[/mm]
> die Elemente von [mm]R[/mm], und damit |R|=8.
Das ist richtig; es koennte aber sein, dass Du das noch naeher begruenden sollst.
>
> 2. Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht: wird hier
> verlangt ein Polynom 7.ten Grades durch ein Polynom 2.ten
> Grades in [mm]\IF_{2}[x][/mm] darzustellen? Wie geht das wenn der
> Körper sich nur auf die Koeffizienten auswirkt und nicht
> auf den Grad des Polynoms!
Man koennte die Frage so formulieren: [mm] $\tilde{1}, \tilde{x},\widetilde{x^{2}}$ [/mm] bilden eine $K$-Basis von $R$. Stelle die Potenzen [mm] $\tilde{x}^{i}$, $i=0,\ldots, [/mm] 7$, bezueglich dieser Basis dar.
>
> 4. Mit einsetzen sieht man: [mm](1+x^{2}+x^{3})[/mm] ist nicht
> reduzibel, also ist es ein Integritätsring. Aus der
> Endlichkeit der Elemente
Endlichkeit der Anzahl der Elemente in $R$
> folgt, dass es ein Körper ist.
> Dann zeigen, dass alle Elemente durch Potenzen von anderen
> dargestellt werden können, also zyklisch.
>
O.K.
> 3. da zyklisch sind alle Elemente ausgenommen 0 Erzeuger
> und es kann durch alle Elemente 1 dargestellt werden,
> nachrechnen.
>
Das empfinde ich als etwas unverstaendlich: Man koennte durch direktes Nachrechnen zeigen, dass [mm] $y^{7}= [/mm] 1$ gilt, was vermutlich aufwendig ist, oder man argumentiert mit Saetzen über die multiplikative Gruppe der endlichen Koerper oder man zeigt, dass [mm] $x^{7}-1$ [/mm] von [mm] $1+x+x^{3}$ [/mm] geteilt wird...
>
>
> Stimmt das so weit, kann man bei 4. und 3. das auch anders
> zeigen als durch Nachrechnen?
>
Ich vermute, die Leute haben sich etwas dabei gedacht, als sie die Aufgaben in der obigen Reihenfolge gestellt haben, aber ich sehe keinen groben Fehler in Deiner Bearbeitung
>
> Danke für jegliche Aufklärung!
>
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Do 06.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Sei [mm]R=K[x]/(1+x+x^{3})K[x][/mm] mit [mm]K=\mathbf{F}_{2}[/mm]
> >
> > 1. Zeige, dass [mm]|R|=8[/mm]
> >
> > 2. Man berechne [mm]x^{i} (i=0,1,...,7)[/mm] als [mm]a+bx+cx^{2}[/mm] in
> > [mm]K+Kx+Kx^{2}[/mm]
> >
> > 3. Sei [mm]y\ne 0[/mm] in [mm]R[/mm]. Man zeige, dass [mm]y^{7}=1[/mm]
> >
> > 4. Man zeige, dass [mm]R[/mm] ein Körper ist und [mm]R \backslash \{0\}[/mm]
> > zyklisch.
> > Hallo!
> >
> >
> >
> > 1. Es sind [mm]\{ \widetilde{0}, \tilde{1}, \tilde{x},\widetilde{x+1}, \widetilde{x^{2}}, \widetilde{x^{2}+1},\widetilde{x^{2}+x},\widetilde{x^{2}+x+1} \}[/mm]
> > die Elemente von [mm]R[/mm], und damit |R|=8.
> Das ist richtig; es koennte aber sein, dass Du das noch
> naeher begruenden sollst.
>
> >
> > 2. Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht: wird hier
> > verlangt ein Polynom 7.ten Grades durch ein Polynom 2.ten
> > Grades in [mm]\IF_{2}[x][/mm] darzustellen? Wie geht das wenn der
> > Körper sich nur auf die Koeffizienten auswirkt und nicht
> > auf den Grad des Polynoms!
> Man koennte die Frage so formulieren: [mm]\tilde{1}, \tilde{x},\widetilde{x^{2}}[/mm]
> bilden eine [mm]K[/mm]-Basis von [mm]R[/mm]. Stelle die Potenzen
> [mm]\tilde{x}^{i}[/mm], [mm]i=0,\ldots, 7[/mm], bezueglich dieser Basis dar.
>
> >
> > 4. Mit einsetzen sieht man: [mm](1+x^{2}+x^{3})[/mm] ist nicht
> > reduzibel, also ist es ein Integritätsring. Aus der
> > Endlichkeit der Elemente
> Endlichkeit der Anzahl der Elemente in [mm]R[/mm]
>
> > folgt, dass es ein Körper ist.
> > Dann zeigen, dass alle Elemente durch Potenzen von anderen
> > dargestellt werden können, also zyklisch.
> >
> O.K.
> > 3. da zyklisch sind alle Elemente ausgenommen 0 Erzeuger
> > und es kann durch alle Elemente 1 dargestellt werden,
> > nachrechnen.
> >
> Das empfinde ich als etwas unverstaendlich: Man koennte
> durch direktes Nachrechnen zeigen, dass [mm]y^{7}= 1[/mm] gilt, was
> vermutlich aufwendig ist, oder man argumentiert mit Saetzen
> über die multiplikative Gruppe der endlichen Koerper oder
> man zeigt, dass [mm]x^{7}-1[/mm] von [mm]1+x+x^{3}[/mm] geteilt wird...
Man kann das auch etwas abkuerzen: man zeigt es erstmal fuer das Element $x$ (das wurde ja schon in der Teilaufgabe davor erledigt). Man sieht also [mm] $x^7 [/mm] = 1$ in $R$, und man sieht, dass jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ von der Form [mm] $x^i$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] i < 7$ ist. Damit kann man dann [mm] $y^7$ [/mm] sehr einfach bestimmen...
LG Felix
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Hippias und Felix!
> Das ist richtig; es koennte aber sein, dass Du das noch naeher begruenden sollst.
> Man koennte die Frage so formulieren: bilden eine -Basis von . Stelle die > > > Potenzen , , bezueglich dieser Basis dar.
Dann ist in $R$ : $x^{0} = 1+0x+ 0x^{2}} , x^{1}=0+ 1x + 0x^{2}, x^{2}= x^{2} , x^{3}= -x^{2}-1, x^{4}=x^{2}-x+1, x^{5}=x-1 ,x^{6}=x^{2}-x , x^{7} = 1$
> y^{7}=1
für jedes Element in R.
dan schreibe ichj $y^{7} = (x)^{7}$
und $y^{7}\cdot y^{7} = x^{7}x^{7} = (x^{2})^{7}$
und $y^{21} = (x^{3})^{7}$
und so weiter bis $y^{49}$
Wäre das so OK?
> hippias
> Felix
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 08.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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