matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAlgebraMächtigkeit von Faktorgruppen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Algebra" - Mächtigkeit von Faktorgruppen
Mächtigkeit von Faktorgruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Mächtigkeit von Faktorgruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Fr 29.05.2020
Autor: sina10

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Seien $H_{2} \subseteq H_{1}$ Untergruppen einer Gruppe $G$.

Dann gilt $\vert G / H_{2} \vert  = \vert G / H_{1} \vert \cdot \vert H_{1} / H_{2} \vert$.

Mittag,

ich habe mich heute morgen mit den Beweis des obigen Satzes beschäftigt.

Mir ist ein kleiner Absatz nicht klar und würde mich freuen, wenn jemand mir da kurz helfen könnte :-)

Ich poste nur den relevanten Teil des Beweises und nicht den ganzen.





Beweis :



Wähle einen Vertreter $x_{i}$ für jede Äquivalenzklasse $[x_{i}] = x_{1} H_{1} $ in $G /H_{1}$ und einen Vertreter $y_{j}$ für jede Äquivalenzklasse $[y_{j}] = y_{j} H_{2} $ in $H_{1} /H_{2}$ .


Behauptung 1:

Es gilt $[x_{i} y_{j} ] \neq  [x_{k} y_{l} ] $ in $G /H_{2}\quad \forall (i, j) \neq (k, l)$.


Beweis:

Angenommen, es gilt $[x_{i} y_{j}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l}]$.

Dann ist $x_{i} y_{j} \in x_{k} y_{l} H_{2}$, d.h. \exists h_{2} \in H_{2}: x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j}$.


Durch Umformen sieht man schnell

$x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j} \Leftrightarrow y_{l} h_{2} = x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j}$.

Da $y_{l} \in H_{1}$ und $h_{2} \in H_{2}$, ist $y_{l} h_{2} \in H_{1}$.


Also ist auch $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}$.


Da $H_{1}$ eine Gruppe ist, ist $y_{l}^{- 1} \in H_{1}$.

Da $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}$ und $y_{l}^{- 1} \in H_{1}$, ist auch $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} y_{l}^{- 1} = x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}$, da $H_{1}$ abgeschlossen ist.


Und weil  $x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}$ gilt, ist $x_{k} \in x_{i} H_{1} = \{ g \in G\; \vert \; g \sim x_{i} : \Leftrightarrow g^{- 1} x_{i} \in H_{1} \}$


Insgesamt gilt also $[x_{i}] = x_{i} H_{1} = x_{k} H_{1} = [x_{k}]$.



Daraus folgt, dass $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl der $x_{m}$.


Aus $[x_{i} y_{j}}] =  x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ]$ folgt dann durch Kürzen $y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}$ und nach Wahl der $y_{n}$ damit $y_{j} = y_{l}$




Der Großteil des Beweises ist mir klar, außer folgendes:



"Daraus folgt, dass $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl der $x_{m}$.


Aus $[x_{i} y_{j}}] =  x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ]$ folgt dann durch Kürzen $y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}$ und nach Wahl der $y_{n}$ damit $y_{j} = y_{l}$"


Warum gilt $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl von $x_{m}$ ? Wie soll ich mir das vorstellen ?

Genau das gleiche frage ich mich auch bei   $y_{j} = y_{l}$.



Und wo ist dann gezeigt, dass Behauptung 1 stimmt ?



Ich bedanke mich im Voraus.




        
Bezug
Mächtigkeit von Faktorgruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 Mo 01.06.2020
Autor: statler


> Seien [mm]H_{2} \subseteq H_{1}[/mm] Untergruppen einer Gruppe [mm]G[/mm].
>  
> Dann gilt [mm]\vert G / H_{2} \vert = \vert G / H_{1} \vert \cdot \vert H_{1} / H_{2} \vert[/mm].
>  

Guten Morgen!

> ich habe mich heute morgen mit den Beweis des obigen Satzes
> beschäftigt.
>  
> Mir ist ein kleiner Absatz nicht klar und würde mich
> freuen, wenn jemand mir da kurz helfen könnte :-)
>  
> Ich poste nur den relevanten Teil des Beweises und nicht
> den ganzen.
>  
> Beweis :
>
> Wähle einen Vertreter [mm]x_{i}[/mm] für jede Äquivalenzklasse
> [mm][x_{i}] = x_{1} H_{1}[/mm] in [mm]G /H_{1}[/mm] und einen Vertreter [mm]y_{j}[/mm]
> für jede Äquivalenzklasse [mm][y_{j}] = y_{j} H_{2}[/mm] in [mm]H_{1} /H_{2}[/mm]
> .
>  
>
> Behauptung 1:
>  
> Es gilt [mm][x_{i} y_{j} ] \neq [x_{k} y_{l} ][/mm] in [mm]G /H_{2}\quad \forall (i, j) \neq (k, l)[/mm].
>  
>
> Beweis:
>  
> Angenommen, es gilt [mm][x_{i} y_{j}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l}][/mm].
>  
> Dann ist [mm]$x_{i} y_{j} \in x_{k} y_{l} H_{2}$,[/mm] d.h. [mm]\exists h_{2} \in H_{2}: x_{k} y_{l} h_{2}[/mm]
> = [mm]x_{i} y_{j}$.[/mm]
>  
>
> Durch Umformen sieht man schnell
>  
> [mm]x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j} \Leftrightarrow y_{l} h_{2} = x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j}[/mm].
>  
> Da [mm]y_{l} \in H_{1}[/mm] und [mm]h_{2} \in H_{2}[/mm], ist [mm]y_{l} h_{2} \in H_{1}[/mm].
>  
>  
>
> Also ist auch [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}[/mm].
>  
>
> Da [mm]H_{1}[/mm] eine Gruppe ist, ist [mm]y_{l}^{- 1} \in H_{1}[/mm].
>
> Da [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}[/mm] und [mm]y_{l}^{- 1} \in H_{1}[/mm],
> ist auch [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} y_{l}^{- 1} = x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}[/mm],
> da [mm]H_{1}[/mm] abgeschlossen ist.
>  
>
> Und weil  [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}[/mm] gilt, ist [mm]x_{k} \in x_{i} H_{1} = \{ g \in G\; \vert \; g \sim x_{i} : \Leftrightarrow g^{- 1} x_{i} \in H_{1} \}[/mm]
>  
>
> Insgesamt gilt also [mm][x_{i}] = x_{i} H_{1} = x_{k} H_{1} = [x_{k}][/mm].
>  
>
>
> Daraus folgt, dass [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl der [mm]x_{m}[/mm].
>  
>
> Aus [mm][x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ][/mm]
> folgt dann durch Kürzen [mm]y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}[/mm] und nach
> Wahl der [mm]y_{n}[/mm] damit [mm]y_{j} = y_{l}[/mm]
>  
>
>
>
> Der Großteil des Beweises ist mir klar, außer folgendes:
>  
>
>
> "Daraus folgt, dass [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl der [mm]x_{m}[/mm].
>  
> Aus [mm][x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ][/mm]
> folgt dann durch Kürzen [mm]y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}[/mm] und nach
> Wahl der [mm]y_{n}[/mm] damit [mm]y_{j} = y_{l}[/mm]"
>  
>
> Warum gilt [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl von [mm]x_{m}[/mm] ? Wie soll ich
> mir das vorstellen ?

Die [mm] x_{i} [/mm] sind ein Repräsentantensystem, für gleiche Klassen habe ich auch die gleichen Repräsentanten.

>
> Genau das gleiche frage ich mich auch bei   [mm]y_{j} = y_{l}[/mm].
>  

ditto

>
>
> Und wo ist dann gezeigt, dass Behauptung 1 stimmt ?

Die Behauptung 1 ist

$(i, j) [mm] \neq [/mm] (k, l) [mm] \Rightarrow [x_{i} y_{j} [/mm] ] [mm] \neq [x_{k} y_{l} [/mm] ]$

und gezeigt ist jetzt
[mm] $[x_{i} y_{j} [/mm] ] =  [mm] [x_{k} y_{l} [/mm] ] [mm] \Rightarrow [/mm] (i, j) = (k, l)$

Das ist logisch äquivalent, wie du hoffentlich weißt (Kontraposition).

Gruß Dieter

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]