Mächtigkeit von Mengen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 11.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | | Satz: Sei [mm] M [/mm] eine endliche Menge und [mm] N [/mm] eine echte Teilmenge, so ist auch [mm] N [/mm] endlich und [mm] |N|<|M| [/mm]. |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich brauche mal wieder eure Hilfe. Den obigen Satz haben wir in der Vorlesung durch Induktion bewiesen. Ich hatte mich nun gefragt, ob ich den Satz nicht auch anders beweisen könnte und habe mir dazu folgendes überlegt:
Satz: [mm] |M|< \infty \wedge N \subset M \Rightarrow |N|< \infty \wedge |N|<|M| [/mm].
Beweis:
M endlich bedeutet, dass es eine Bijektion [mm] f:M \to \{1, 2, \cdots ,m \} [/mm] gibt, so dass [mm] |M|=m [/mm] eindeutig bestimmt ist.
[mm] N \subset M [/mm] bedeutet [mm] \exists a \in M : a \not\in N \Rightarrow a \in M-N = C_{M}(N) \not= \emptyset [/mm] und [mm] C_{M}(N) \cap N = \emptyset [/mm].
Weiter gilt [mm] M=C_{M}(N) \cup N [/mm] und somit [mm] |M|=|C_{M} \cup N| =m < \infty [/mm] also endlich. Somit folgt nun, dass [mm] |M|=|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N| = |C_{M}(N)|+|N|=m[/mm]. Somit ist [mm] |C_{M}(N)|< \infty [/mm] und [mm] |N|< \infty [/mm].
** Ist das bis hierhin erst einmal o.k.? **
Somit gibt es jeweils eine Bijektion [mm] g: N \to \{1, 2, \cdots , n \} [/mm] mit [mm]|N|=m[/mm] und [mm] h: C_{M}(N) \to \{1, 2, \cdots , r \} [/mm] mit [mm] |C_{M}(N)| = r [/mm].
** Nun hatte ich zwei Ideen **
** 1. **
[mm] M = C_{M}(N) \cup N [/mm] mit [mm] C_{M}(N) \cap N = \emptyset \Rightarrow |M|=| C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N|=n+r-0=m \Rightarrow n
** 2. **
** Hier weiß ich aber nicht, wie ich meine Idee richtig formulieren kann. **
** Meine Idee lautet: **
Ausgehend von den Bijektionen [mm] g: N \to \{1, 2, \cdots , n \} [/mm] und [mm] h: C_{M}(N) \to \{1, 2, \cdots , r \} [/mm]
und dem Wissen, dass [mm] M = C_{M}(N) \cup N [/mm] und [mm] C_{M}(N) \cap N = \emptyset [/mm] kann man die Elemente neu durchzählen und erhält die Bijektionen [mm] g: N \to \{1, 2, \cdots , n \} [/mm] und [mm] h: C_{M}(N) \to \{n+1, n+2, \cdots , n+r \} [/mm] .
Somit erhält man [mm] m=|M|=|C_{M}(N) \cup N|=n+r \Rightarrow n
q.e.d.
Ich denke das der Beweis mit Induktion der elegantere Weg ist, aber wir haben nun mal die naive Mengenlehre und die Mächtigkeit von Mengen in der Vorlesung besprochen, so dass ich mir dachte, dass man damit den Satz evtl. auch beweisen könnte.
Ich hoffe ich habe nicht total Blödsinn geschrieben ...
Ich freue mich schon auf eure Anmerkungen und Anregungen und schon mal vielen lieben Dank dafür - Olli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Do 11.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Olli1968!
Vorweg zwei Rückfragen:
Arbeitet ihr mit den natürlichen Zahlen naiv oder sind bei euch die natürlichen Zahlen formal exakt durch die Peano-Axiome eingeführt?
Verwendet ihr für unendliche (d.h. nicht endliche) Mengen $A$ die Schreibweise [mm] $|A|=\infty$?
[/mm]
> Satz: [mm]|M|< \infty \wedge N \subset M \Rightarrow |N|< \infty \wedge |N|<|M| [/mm].
>
> Beweis:
> M endlich bedeutet, dass es eine Bijektion [mm]f:M \to \{1, 2, \cdots ,m \}[/mm]
> gibt, so dass [mm]|M|=m[/mm] eindeutig bestimmt ist.
Hier stolpere ich etwas über die Formulierung, aber du meinst offenbar das Richtige:
M endlich bedeutet, dass es eine natürliche Zahl [mm] $m\in\IN_0$ [/mm] und eine Bijektion [mm] $f\colon M\to\{1,2,\ldots,m\}$ [/mm] gibt.
Ihr habt nun vermutlich bereits gezeigt, dass es höchstens ein solches m geben kann.
(Sonst würde die Schreibweise $|M|$ auch gar keinen Sinn ergeben.)
> [mm]N \subset M[/mm] bedeutet [mm]\exists a \in M : a \not\in N \Rightarrow a \in M-N = C_{M}(N) \not= \emptyset[/mm]
> und [mm]C_{M}(N) \cap N = \emptyset [/mm].
(Ich würde "impliziert" statt "bedeutet" schreiben, auch wenn die Formulierung hier nicht falsch ist.)
> Weiter gilt [mm]M=C_{M}(N) \cup N[/mm]
Ja.
> und somit [mm]|M|=|C_{M} \cup N| =m < \infty[/mm] also endlich.
Ja, $M$ ist endlich; damit ist wegen [mm] $M=C_M(N)\cup [/mm] N$ auch [mm] $C_M(N)\cup [/mm] N$ endlich.
> Somit folgt nun, dass [mm]|M|=|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N| = |C_{M}(N)|+|N|=m[/mm].
Hier liegt der Hase bei deinem Versuch begraben: Wer sagt dir, dass [mm] $|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap [/mm] N|$ gilt, wenn du noch nichts über die Endlichkeit von [mm] $C_M(N)$ [/mm] und $N$ weißt?
> Somit ist [mm]|C_{M}(N)|< \infty[/mm] und [mm]|N|< \infty [/mm].
>
> ** Ist das bis hierhin erst einmal o.k.? **
Nein. (Siehe die Stelle mit dem begrabenen Hasen...  )
> Somit gibt es jeweils eine Bijektion [mm]g: N \to \{1, 2, \cdots , n \}[/mm]
> mit [mm]|N|=m[/mm] und [mm]h: C_{M}(N) \to \{1, 2, \cdots , r \}[/mm] mit
> [mm]|C_{M}(N)| = r [/mm].
Folgerichtig.
Weil [mm] $C_{M}(N)\not=\emptyset$ [/mm] gilt, überlegt man sich [mm] $r\not=0$.
[/mm]
> ** Nun hatte ich zwei Ideen **
> ** 1. **
> [mm]M = C_{M}(N) \cup N[/mm] mit [mm]C_{M}(N) \cap N = \emptyset \Rightarrow |M|=| C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N|=n+r-0=m \Rightarrow n
Folgerichtig, wenn ihr schon wisst, dass für alle endlichen Mengen $A$ und $B$ auch [mm] $A\cup [/mm] B$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ endlich sind und [mm] $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap [/mm] B|$.
(Es würde auch das etwas schwächere Wissen genügen, dass für endliche Mengen $A$ und $B$, für die auch [mm] $A\cup [/mm] B$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ endlich sind, die Gleichheit [mm] $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap [/mm] B|$ gilt.)
Weiter benutzt du, dass $n+r=m$ für ein [mm] $r\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] die Ungleichung $n<m$ folgt.
Habt ihr dies schon gezeigt (oder $<$ sogar durch diese Eigenschaft definiert)?
> ** 2. **
> ** Hier weiß ich aber nicht, wie ich meine Idee richtig
> formulieren kann. **
> ** Meine Idee lautet: **
> Ausgehend von den Bijektionen [mm]g: N \to \{1, 2, \cdots , n \}[/mm]
> und [mm]h: C_{M}(N) \to \{1, 2, \cdots , r \}[/mm]
> und dem Wissen, dass [mm]M = C_{M}(N) \cup N[/mm] und [mm]C_{M}(N) \cap N = \emptyset[/mm]
> kann man die Elemente neu durchzählen und erhält die
> Bijektionen [mm]g: N \to \{1, 2, \cdots , n \}[/mm] und [mm]h: C_{M}(N) \to \{n+1, n+2, \cdots , n+r \}[/mm]
> .
> Somit erhält man [mm]m=|M|=|C_{M}(N) \cup N|=n+r \Rightarrow n
>
> q.e.d.
Die Idee ist wieder folgerichtig.
Du ahmst hier den Beweis von folgendem Zusammnhang nach:
Seien A und B endliche Mengen mit [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm] Dann ist auch [mm] $A\cup [/mm] B$ endlich und es gilt [mm] $|A\cup [/mm] B|=|A|+|B|$.
(In deinem Fall [mm] $A:=C_M(N)$ [/mm] und $B:=N$.)
Wie funktioniert dieser Beweis im Einzelnen?
Sei [mm] $g\colon B\to\{1,2,\ldots,|B|\}$ [/mm] eine Bijektion und [mm] $h\colon A\to\{1,2\ldots,|A|\}$ [/mm] eine Bijektion.
Nun betrachten wir die Abbildung
[mm] $k\colon A\cup B\to\{1,2,\ldots,|B|\}\cup\{|B|+1,|B|+2,\ldots,|B|+|A|\}$
[/mm]
definiert durch $k(a):=|B|+h(a)$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und $k(b):=g(b)$ für alle [mm] $b\in [/mm] B$.
Man prüft dann nach, dass man tatsächlich eine wohldefinierte Abbildung $k$ erhält, dass sie injektiv und surjektiv ist, und dass [mm] $\{1,2,\ldots,|B|\}\cup\{|B|+1,|B|+2,\ldots,|B|+|A|\}=\{1,2,\ldots,|B|+|A|\}$ [/mm] gilt.
Somit folgt tatsächlich die Endlichkeit von [mm] $A\cup [/mm] B$ und die Gültigkeit von [mm] $|A\cup [/mm] B|=|B|+|A|=|A|+|B|$.
> Ich denke das der Beweis mit Induktion der elegantere Weg
> ist, aber wir haben nun mal die naive Mengenlehre und die
> Mächtigkeit von Mengen in der Vorlesung besprochen, so
> dass ich mir dachte, dass man damit den Satz evtl. auch
> beweisen könnte.
Ich glaube nicht, dass ein formaler Beweis ohne (explizite oder implizite) Induktion möglich ist.
> Ich hoffe ich habe nicht total Blödsinn geschrieben ...
Totalen Blödsinn nicht. Nur an einer Stelle (mit dem begrabenen Hasen) geht dein Beweisversuch schief.
Abschließend noch eine Bitte: Gib bitte auf Antworten auf deine Fragen eine (kurze) Rückmeldung, ob sie deine Fragen geklärt haben.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Fr 12.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
Hallo Tobias,
danke das du so schnell reagiert hast.
> Hallo Olli1968!
>
>
> Vorweg zwei Rückfragen:
>
> Arbeitet ihr mit den natürlichen Zahlen naiv oder sind bei
> euch die natürlichen Zahlen formal exakt durch die
> Peano-Axiome eingeführt?
>
Die natürlichen Zahlen wurden Anfangs naiv benutzt, wurden dann später mit den Peano-Axiome dann "definiert". Wir beginnen mit der 1 
> Verwendet ihr für unendliche (d.h. nicht endliche) Mengen
> [mm]A[/mm] die Schreibweise [mm]|A|=\infty[/mm]?
>
Ja, so hatten wir das definiert.
>
> > Satz: [mm]|M|< \infty \wedge N \subset M \Rightarrow |N|< \infty \wedge |N|<|M| [/mm].
>
> >
> > Beweis:
> > M endlich bedeutet, dass es eine Bijektion [mm]f:M \to \{1, 2, \cdots ,m \}[/mm]
> > gibt, so dass [mm]|M|=m[/mm] eindeutig bestimmt ist.
> Hier stolpere ich etwas über die Formulierung, aber du
> meinst offenbar das Richtige:
> M endlich bedeutet, dass es eine natürliche Zahl
> [mm]m\in\IN_0[/mm] und eine Bijektion [mm]f\colon M\to\{1,2,\ldots,m\}[/mm]
> gibt.
> Ihr habt nun vermutlich bereits gezeigt, dass es
> höchstens ein solches m geben kann.
> (Sonst würde die Schreibweise [mm]|M|[/mm] auch gar keinen Sinn
> ergeben.)
>
Genau ...
> > [mm]N \subset M[/mm] bedeutet [mm]\exists a \in M : a \not\in N \Rightarrow a \in M-N = C_{M}(N) \not= \emptyset[/mm]
> > und [mm]C_{M}(N) \cap N = \emptyset [/mm].
> (Ich würde
> "impliziert" statt "bedeutet" schreiben, auch wenn die
> Formulierung hier nicht falsch ist.)
>
>
> > Weiter gilt [mm]M=C_{M}(N) \cup N[/mm]
> Ja.
>
>
> > und somit [mm]|M|=|C_{M} \cup N| =m < \infty[/mm] also endlich.
> Ja, [mm]M[/mm] ist endlich; damit ist wegen [mm]M=C_M(N)\cup N[/mm] auch
> [mm]C_M(N)\cup N[/mm] endlich.
>
>
> > Somit folgt nun, dass [mm]|M|=|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N| = |C_{M}(N)|+|N|=m[/mm].
>
> Hier liegt der Hase bei deinem Versuch begraben: Wer sagt
> dir, dass [mm]|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N|[/mm]
> gilt, wenn du noch nichts über die Endlichkeit von [mm]C_M(N)[/mm]
> und [mm]N[/mm] weißt?
>
>
Meine Überlegung war halt die, das, wenn man zwei beliebige Mengen [mm] \subset IN [/mm] vereinigt und daraus eine endliche Menge entsteht, die einzelnen Mengen dann auch endlich sein müssen. Wäre eine Menge unendlich, so wäre die durch Vereinigung entstehende Menge ja auch unendlich, was M aber nicht ist, nach Voraussetzung.
Beispiel: Sei [mm] M=\{1,2,3,4,5\} [/mm] somit wird die Vereinigung mit IN zu [mm] M \cup IN = IN [/mm].
> > Somit ist [mm]|C_{M}(N)|< \infty[/mm] und [mm]|N|< \infty [/mm].
> >
> > ** Ist das bis hierhin erst einmal o.k.? **
> Nein. (Siehe die Stelle mit dem begrabenen Hasen... )
>
>
> > Somit gibt es jeweils eine Bijektion [mm]g: N \to \{1, 2, \cdots , n \}[/mm]
> > mit [mm]|N|=m[/mm] und [mm]h: C_{M}(N) \to \{1, 2, \cdots , r \}[/mm] mit
> > [mm]|C_{M}(N)| = r [/mm].
> Folgerichtig.
>
> Weil [mm]C_{M}(N)\not=\emptyset[/mm] gilt, überlegt man sich
> [mm]r\not=0[/mm].
>
>
> > ** Nun hatte ich zwei Ideen **
> > ** 1. **
> > [mm]M = C_{M}(N) \cup N[/mm] mit [mm]C_{M}(N) \cap N = \emptyset \Rightarrow |M|=| C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N|=n+r-0=m \Rightarrow n
>
> Folgerichtig, wenn ihr schon wisst, dass für alle
> endlichen Mengen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] auch [mm]A\cup B[/mm] und [mm]A\cap B[/mm] endlich
> sind und [mm]|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|[/mm].
> (Es würde auch das
> etwas schwächere Wissen genügen, dass für endliche
> Mengen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], für die auch [mm]A\cup B[/mm] und [mm]A\cap B[/mm] endlich
> sind, die Gleichheit [mm]|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|[/mm] gilt.)
>
> Weiter benutzt du, dass [mm]n+r=m[/mm] für ein
> [mm]r\in\IN\setminus\{0\}[/mm] die Ungleichung [mm]n
> Habt ihr dies schon gezeigt (oder [mm]<[/mm] sogar durch diese
> Eigenschaft definiert)?
>
>
> > ** 2. **
> > ** Hier weiß ich aber nicht, wie ich meine Idee
> richtig
> > formulieren kann. **
> > ** Meine Idee lautet: **
> > Ausgehend von den Bijektionen [mm]g: N \to \{1, 2, \cdots , n \}[/mm]
> > und [mm]h: C_{M}(N) \to \{1, 2, \cdots , r \}[/mm]
> > und dem Wissen, dass [mm]M = C_{M}(N) \cup N[/mm] und [mm]C_{M}(N) \cap N = \emptyset[/mm]
> > kann man die Elemente neu durchzählen und erhält die
> > Bijektionen [mm]g: N \to \{1, 2, \cdots , n \}[/mm] und [mm]h: C_{M}(N) \to \{n+1, n+2, \cdots , n+r \}[/mm]
> > .
> > Somit erhält man [mm]m=|M|=|C_{M}(N) \cup N|=n+r \Rightarrow n
>
> >
> > q.e.d.
> Die Idee ist wieder folgerichtig.
>
> Du ahmst hier den Beweis von folgendem Zusammnhang nach:
> Seien A und B endliche Mengen mit [mm]A\cap B=\emptyset[/mm]. Dann
> ist auch [mm]A\cup B[/mm] endlich und es gilt [mm]|A\cup B|=|A|+|B|[/mm].
>
> (In deinem Fall [mm]A:=C_M(N)[/mm] und [mm]B:=N[/mm].)
>
> Wie funktioniert dieser Beweis im Einzelnen?
>
> Sei [mm]g\colon B\to\{1,2,\ldots,|B|\}[/mm] eine Bijektion und
> [mm]h\colon A\to\{1,2\ldots,|A|\}[/mm] eine Bijektion.
>
> Nun betrachten wir die Abbildung
>
> [mm]k\colon A\cup B\to\{1,2,\ldots,|B|\}\cup\{|B|+1,|B|+2,\ldots,|B|+|A|\}[/mm]
>
> definiert durch [mm]k(a):=|B|+h(a)[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm] und
> [mm]k(b):=g(b)[/mm] für alle [mm]b\in B[/mm].
>
> Man prüft dann nach, dass man tatsächlich eine
> wohldefinierte Abbildung [mm]k[/mm] erhält, dass sie injektiv und
> surjektiv ist, und dass
> [mm]\{1,2,\ldots,|B|\}\cup\{|B|+1,|B|+2,\ldots,|B|+|A|\}=\{1,2,\ldots,|B|+|A|\}[/mm]
> gilt.
>
> Somit folgt tatsächlich die Endlichkeit von [mm]A\cup B[/mm] und
> die Gültigkeit von [mm]|A\cup B|=|B|+|A|=|A|+|B|[/mm].
>
>
> > Ich denke das der Beweis mit Induktion der elegantere Weg
> > ist, aber wir haben nun mal die naive Mengenlehre und die
> > Mächtigkeit von Mengen in der Vorlesung besprochen, so
> > dass ich mir dachte, dass man damit den Satz evtl. auch
> > beweisen könnte.
> Ich glaube nicht, dass ein formaler Beweis ohne (explizite
> oder implizite) Induktion möglich ist.
>
Ein Versuch war es Wert - immerhin war es ja nicht total unsinnig (mal abgesehen vom begrabenen Hasen ).
>
> > Ich hoffe ich habe nicht total Blödsinn geschrieben ...
> Totalen Blödsinn nicht. Nur an einer Stelle (mit dem
> begrabenen Hasen) geht dein Beweisversuch schief.
>
>
> Abschließend noch eine Bitte: Gib bitte auf Antworten auf
> deine Fragen eine (kurze) Rückmeldung, ob sie deine Fragen
> geklärt haben.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Nochmals Danke ... ich werde mir das Ausdrucken und mit zu meinen Unterlagen nehmen.
LG Olli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Fr 12.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine Mitteilung!
> Die natürlichen Zahlen wurden Anfangs naiv benutzt, wurden
> dann später mit den Peano-Axiome dann "definiert". Wir
> beginnen mit der 1
Hm, dann muss man aber die Definition der Endlichkeit von Mengen irgendwie anpassen:
Die leere Menge sollte ja endlich sein.
Es gibt aber, wenn die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählt, keine natürliche Zahl n, für die es eine Bijektion [mm] $f\colon\emptyset\to\{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] gibt.
Interessehalber: Wärst du bereit, eure genaue Definition, wann eine Menge endlich heißt, zu posten?
> > > Somit folgt nun, dass [mm]|M|=|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N| = |C_{M}(N)|+|N|=m[/mm].
>
> >
> > Hier liegt der Hase bei deinem Versuch begraben: Wer sagt
> > dir, dass [mm]|C_{M}(N) \cup N|=|C_{M}(N)|+|N|-|C_{M}(N) \cap N|[/mm]
> > gilt, wenn du noch nichts über die Endlichkeit von [mm]C_M(N)[/mm]
> > und [mm]N[/mm] weißt?
> >
> >
>
> Meine Überlegung war halt die, das, wenn man zwei
> beliebige Mengen [mm]\subset IN[/mm] vereinigt und daraus eine
> endliche Menge entsteht, die einzelnen Mengen dann auch
> endlich sein müssen. Wäre eine Menge unendlich, so wäre
> die durch Vereinigung entstehende Menge ja auch unendlich,
> was M aber nicht ist, nach Voraussetzung.
Anschaulich völlig richtig.
Aber wie willst du formal begründen, dass die Vereinigung einer unendlichen Menge mit einer anderen Menge stets unendlich ist?
Gleichbedeutend damit ist, dass "Obermengen" unendlicher Mengen wieder unendlich sind.
Die Schwierigkeit besteht darin, dass wir eben noch nicht wissen, dass Teilmengen endlicher Mengen wieder endlich sind.
> Ein Versuch war es Wert - immerhin war es ja nicht total
> unsinnig (mal abgesehen vom begrabenen Hasen ).
Ja absolut!
Ich finde solche Versuche sehr hilfreich für das Verständnis.
(Sorry für meine etwas misslungene Formulierung, dass dein Versuch nicht total unsinnig gewesen sei. Ich meinte vielmehr: Deinen Versuch finde ich alles andere als unsinnig.)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Fr 12.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
Hi Tobias,
ich hatte dich schon richtig verstanden
Ich habe heute auch noch mal in der Übung mit unserer Übungsleiterin darüber gesprochen und sie sagte das sie die Beziehung [mm] |A \cup B|<\infty \Rightarrow |A|< \infty und |B|<\infty [/mm] so völlig in Ordnung fände, wollte ihr den Beweis nächste Woche mal vorlegen.
Das mit den natürlichen Zahlen ist so, dass wir beide Menge parallel benutzen, wíe wir es gerade brauchen. Ich sollte erwähnen das wir Lehramtsstudenten sind und keine "Diplomer"
Unsere Definition für "endliche Menge":
Eine Menge M heißt endlich, falls [mm] M=\emptyset [/mm] oder es eine natürliche Zahl gibt, so dass M und [mm] \{1,2, \cdots, n\} [/mm] gleichmächtig sind. (gleichmächtig wurde mit Hilfe einer Bijektion definiert)Wir schreiben dann [mm] |M| = n [/mm] bzw. [mm] | \emptyset | = 0 [/mm]. Um auszudrücken, dass M endlich ist, schreiben wir auch [mm] |M| < \infty [/mm]. Ist M nicht endlich, so heißt M unendlich. Schreibe dann [mm] |M| = \infty [/mm].
Ich würde den Beweis dann ohne [mm] |C_{M}(N) \cup N| = |C_{M}(N)| + |N| - |C_{M}(N) \cap B| [/mm] benutzen - hatte mir inzwischen überlegt, dass ich das gar nicht brauche.
Kann man denn die Regeln der naiven Mengenlehre für endliche bzw. unendliche Menge denn einfach so benutzen?
Vielen Dank für deine Bereitschaft mit mir hier zu diskutieren. Mir bringt das sehr viel. Danke.
LG Olli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:07 Sa 13.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe heute auch noch mal in der Übung mit unserer
> Übungsleiterin darüber gesprochen und sie sagte das sie
> die Beziehung [mm]|A \cup B|<\infty \Rightarrow |A|< \infty und |B|<\infty[/mm]
> so völlig in Ordnung fände, wollte ihr den Beweis
> nächste Woche mal vorlegen.
Ich finde die Verwendung dieser Beziehung auch völlig in Ordnung, sobald man bewiesen hat, dass Teilmengen endlicher Mengen wieder endlich sind.
Lediglich wenn man letzteren Zusammenhang erst noch beweisen will, sollte man ihn nicht schon voraussetzen.
> Das mit den natürlichen Zahlen ist so, dass wir beide
> Menge parallel benutzen, wíe wir es gerade brauchen.
Okay. Man kann ja auch z.B. [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IN_0$ [/mm] schreiben.
> Ich
> sollte erwähnen das wir Lehramtsstudenten sind und keine
> "Diplomer"
Interessehalber: Seid ihr "Lehrämtler" für Sekundarstufe I oder II ?
> Unsere Definition für "endliche Menge":
> Eine Menge M heißt endlich, falls [mm]M=\emptyset[/mm] oder es
> eine natürliche Zahl gibt, so dass M und [mm]\{1,2, \cdots, n\}[/mm]
> gleichmächtig sind. (gleichmächtig wurde mit Hilfe einer
> Bijektion definiert)Wir schreiben dann [mm]|M| = n[/mm] bzw. [mm]| \emptyset | = 0 [/mm].
> Um auszudrücken, dass M endlich ist, schreiben wir auch
> [mm]|M| < \infty [/mm]. Ist M nicht endlich, so heißt M unendlich.
> Schreibe dann [mm]|M| = \infty [/mm].
Danke für das Posten!
Tatsächlich habt ihr ja die leere Menge explizit gesondert behandelt.
Diese Vorgehensweise macht leider manche Beweise etwas umständlicher:
Wenn eine Menge $M$ endlich ist, wisst ihr nach eurer Definition also erst einmal nicht sicher, dass eine natürliche Zahl $n$ und eine Bijektion [mm] $M\to\{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] existiert; es könnte auch [mm] $M=\emptyset$ [/mm] gelten.
Da gefällt mir die sonst übliche Formulierung der Definition der Endlichkeit besser als eure.
Aber da kannst du ja natürlich nichts dafür...
> Kann man denn die Regeln der naiven Mengenlehre für
> endliche bzw. unendliche Menge denn einfach so benutzen?
Man kann auf unterschiedliche Weise mit Mengen umgehen:
1. Man arbeitet streng mit axiomatischer Mengenlehre.
2. Man arbeitet mit naiver Mengenlehre, aber mit exakten Endlichkeits- und Mächtigkeitsbegriffen.
(Mit der Mächtigkeit einer Menge M meine ich |M|.)
3. Man arbeitet mit naiver Mengenlehre und geht auch mit Endlichkeit und Mächtigkeit von Mengen naiv um.
Die meist verwendete Vorgehensweise im Rahmen einer einführenden Lineare-Algebra-Vorlesung ist 3.
In eurer Vorlesung wird offenbar mit 2. gearbeitet.
Die Variante 1. begegnet den meisten Mathematik-Studenten in ihrem Studium gar nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Fr 12.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
Hi Tobias ich wollte noch einmal separat auf deine Anmerkung eingehen
vorab noch eine Anmerkung: Ich meine wir betreiben die Mengenlehre nur in dem Rahmen, wie wir es für die Entwicklung der Linearen Algebra I benötigen ... aber ich studiere ja nicht um Prüfungen zu bestehen sondern für mich, weil ich Interesse und vor allem Spaß daran habe. Außerdem helfen wir solche Diskussionen dabei, die Zusammenhänge besser zu verstehen ...
> >
> > Meine Überlegung war halt die, das, wenn man zwei
> > beliebige Mengen [mm]\subset IN[/mm] vereinigt und daraus eine
> > endliche Menge entsteht, die einzelnen Mengen dann auch
> > endlich sein müssen. Wäre eine Menge unendlich, so wäre
> > die durch Vereinigung entstehende Menge ja auch unendlich,
> > was M aber nicht ist, nach Voraussetzung.
> Anschaulich völlig richtig.
> Aber wie willst du formal begründen, dass die Vereinigung
> einer unendlichen Menge mit einer anderen Menge stets
> unendlich ist?
> Gleichbedeutend damit ist, dass "Obermengen" unendlicher
> Mengen wieder unendlich sind.
> Die Schwierigkeit besteht darin, dass wir eben noch nicht
> wissen, dass Teilmengen endlicher Mengen wieder endlich
> sind.
>
>
Meine Idee:
Wir betrachten ja im Moment abzählbar unendliche Mengen wie die Natürlichen Zahlen und Teilmengen davon. Da wir im Rahmen der naiven Mengenlehre gezeigt haben, dass wenn [mm] M \subseteq A \Rightarrow M \cup A = A [/mm] ist, denke ich das es für alle und insbesodere für echte Teilmengen einer Menge gilt - oder darf man das so nicht sagen?
Da die Menge [mm] A \subseteq B \subseteq IN [/mm] mit [mm] |A| = \infty [/mm] bei uns im Moment zumindest abzählbar unendlich ist , müsste es dann doch eine Bijektion [mm] f: A \to IN [/mm] geben, und somit [mm] |A| = \infty [/mm] ?! (Idee des Durchzählens. Jedem Element von A wir der Reihe nach eine natürliche Zahl zugeordnet ...
A (echte) Teilmenge von B bedeutet doch, dass für alle [mm] a \in A [/mm] stets gilt [mm] a \in B [/mm]. Die Vereinigung der beiden Menge [mm] A \cup B := \{x| x \in A \vee x \in B\} [/mm]. Wenn nun [mm] A \subseteq B [/mm] ist ja jedes Element von A in B und wenn ich dann doch die Vereinigung von A und B bilde, erhalte ich doch dann B.
Eine weitere Idee ist die gerade beim Schreiben kam ist folgende Idee: da ja [mm] A \subseteq B [/mm] kann |A| nicht größer als |B| sein, da sonst die Menge A ja mehr Elemente als B enthalten würde und somit keine Teilmenge von B wäre. Somit könnte man ja zumindest |A| nach oben begrenzen. In unserem Fall wäre ja [mm] N \subset M [/mm]
und [mm] |M| < \infty [/mm] somit könnte man dann doch schließen, dass N nur endlich sein kann ... oder ????
Vielen Dank für deine Mühe ....
LG Olli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:34 Sa 13.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
> Ich meine wir betreiben die
> Mengenlehre nur in dem Rahmen, wie wir es für die
> Entwicklung der Linearen Algebra I benötigen ...
Für lineare Algebra I genügt es normalerweise, naiv mit der Endlichkeit und Mächtigkeit von Mengen umzugehen.
Dass ihr aber solche Zusammenhänge wie in deiner Ausgangsfrage explizit beweist, zeigt mir, dass ihr offenbar doch nicht naiv an diese Begriffe herangeht.
(Sicherheitshalber, auch wenn dir das wohl schon klar ist: Mit "naiv" meine ich keine Abwertung; der Begriff der Naivität ist hier im Gegensatz zum Alltagsgebrauch als völlig neutral zu verstehen.)
> aber ich
> studiere ja nicht um Prüfungen zu bestehen sondern für
> mich, weil ich Interesse und vor allem Spaß daran habe.
> Außerdem helfen wir solche Diskussionen dabei, die
> Zusammenhänge besser zu verstehen ...
Das freut mich beides!
> > > Meine Überlegung war halt die, das, wenn man zwei
> > > beliebige Mengen [mm]\subset IN[/mm] vereinigt und daraus eine
> > > endliche Menge entsteht, die einzelnen Mengen dann auch
> > > endlich sein müssen.
> > > Wäre eine Menge unendlich, so wäre
> > > die durch Vereinigung entstehende Menge ja auch unendlich,
> > > was M aber nicht ist, nach Voraussetzung.
Aus naiver Sicht völlig richtig.
Aus nicht naiver Sicht müsstest du hingegen, solange noch nicht bewiesen ist, dass Teilmengen endlicher Mengen wieder endlich sind, erst noch begründen, dass die Vereinigung einer unendlichen Menge mit einer weiteren Menge stets wieder unendlich ist.
> > Aber wie willst du formal begründen, dass die
> Vereinigung
> > einer unendlichen Menge mit einer anderen Menge stets
> > unendlich ist?
> > Gleichbedeutend damit ist, dass "Obermengen"
> unendlicher
> > Mengen wieder unendlich sind.
> > Die Schwierigkeit besteht darin, dass wir eben noch
> nicht
> > wissen, dass Teilmengen endlicher Mengen wieder endlich
> > sind.
> >
> >
> Meine Idee:
>
> Wir betrachten ja im Moment abzählbar unendliche Mengen
> wie die Natürlichen Zahlen und Teilmengen davon.
Das stellt natürlich eine gewisse Einschränkung dar, aber okay, betrachten wir zunächst also diesen Spezialfall.
> Da wir im
> Rahmen der naiven Mengenlehre gezeigt haben, dass wenn [mm]M \subseteq A \Rightarrow M \cup A = A[/mm]
> ist, denke ich das es für alle und insbesodere für echte
> Teilmengen einer Menge gilt - oder darf man das so nicht
> sagen?
Doch, das ist völlig okay.
> Da die Menge [mm]A \subseteq B \subseteq IN[/mm] mit [mm]|A| = \infty[/mm]
> bei uns im Moment zumindest abzählbar unendlich ist ,
> müsste es dann doch eine Bijektion [mm]f: A \to IN[/mm] geben, und
> somit [mm]|A| = \infty[/mm] ?! (Idee des Durchzählens. Jedem
> Element von A wir der Reihe nach eine natürliche Zahl
> zugeordnet ...
Ja, man kann mit dieser Idee zeigen, dass für jede unendliche Teilmenge [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] eine Bijektion [mm] $f\colon A\to\IN$ [/mm] existiert.
> A (echte) Teilmenge von B bedeutet doch, dass für alle [mm]a \in A[/mm]
> stets gilt [mm]a \in B [/mm].
Ja (wenn du das Wort "echte" streichst).
> Die Vereinigung der beiden Menge [mm]A \cup B := \{x| x \in A \vee x \in B\} [/mm].
> Wenn nun [mm]A \subseteq B[/mm] ist ja jedes Element von A in B und
> wenn ich dann doch die Vereinigung von A und B bilde,
> erhalte ich doch dann B.
Ja.
Und wie argumentierst du jetzt, dass B unendlich ist?
> Eine weitere Idee ist die gerade beim Schreiben kam ist
> folgende Idee: da ja [mm]A \subseteq B[/mm] kann |A| nicht größer
> als |B| sein, da sonst die Menge A ja mehr Elemente als B
> enthalten würde und somit keine Teilmenge von B wäre.
Naiv wieder völlig richtig.
Formal ist die Folgerung "$|A|>|B|$ => A keine Teilmenge von B" zu beweisen, solange man noch nicht weiß (oder naiv voraussetzt), dass der Satz aus deinem Ausgangspost zutrifft.
(Hierbei gelte per Definitionem [mm] $\infty>n$ [/mm] für jede natürliche Zahl $n$, aber für jedes [mm] $n\in\IN\cup\{\infty\}$ [/mm] gelte NICHT [mm] $n>\infty$.)
[/mm]
> Somit könnte man ja zumindest |A| nach oben begrenzen. In
> unserem Fall wäre ja [mm]N \subset M[/mm]
> und [mm]|M| < \infty[/mm] somit
> könnte man dann doch schließen, dass N nur endlich sein
> kann ... oder ????
Folgerichtig.
Fazit:
Wenn du naiv vorgehen möchtest oder den Satz aus dem Ausgangspost einmal als bewiesen ansiehst, funktioniert alles wunderbar.
Wenn du hingegen den Satz aus dem Ausgangspost beweisen möchtest, musst du formal exakt vorgehen:
Schließlich bringt es ja nichts, einen Satz zu beweisen unter der Annahme, dass er selbst schon gelte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Sa 13.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
Hi Tobias,
ich glaube so langsam habe ich verstanden. Da wir ja die Endlichkeit einer Teilmenge einer endlichen Menge beweisen wollen, können wir nicht [mm] |A|< \infty [/mm] schreiben, da wir dies ja bis dato gar nicht wissen, ob dies so ist und gerade das beweisen wollen ...
Also bleibt nur der Beweis per Induktion.
Nur schade das meine Übungsleiterin das so nicht gesehen hat und mir das sagen konnten :-(
Nochmals vielen lieben Dank ... Du hast mir wirklich weiter geholfen.
Noch ein schönes Wochenende
Olli
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