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Mächtigkeit von Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:47 Mi 21.11.2018
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe folgende Fragen:

1,) Kann man zeigen, dass die Intervalle ]a,b[ und ]c,d[ gleich mächtig sind, in dem man eine Gerade durch die Punkte (a,c) und (b,d) legt und zeigt, dass es sich hierbei um eine bijektve Funktion handelt ?

2.) Kann man zeigen, dass [mm] \IR [/mm] und das Intervall ]-1,1[ gleich mächtig ist, in dem ich eine Tangensfunktion bestimme, die bei x =-1 und x = 1 senkrechte Asymptoten hat und daher eine bijektive Abbildung darstellt ?

3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[ X ]0,1[ gleichmächtig ?
Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso nicht ?

vielen Dank für eure Rückmeldungen.

Grüße
Rubi

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Mächtigkeit von Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Do 22.11.2018
Autor: Chris84


> Hallo zusammen,

Hallo

>
> ich habe folgende Fragen:
>  
> 1,) Kann man zeigen, dass die Intervalle ]a,b[ und ]c,d[
> gleich mächtig sind, in dem man eine Gerade durch die
> Punkte (a,c) und (b,d) legt und zeigt, dass es sich hierbei
> um eine bijektve Funktion handelt ?

Klingt gut :)

>
> 2.) Kann man zeigen, dass [mm]\IR[/mm] und das Intervall ]-1,1[
> gleich mächtig ist, in dem ich eine Tangensfunktion
> bestimme, die bei x =-1 und x = 1 senkrechte Asymptoten hat
> und daher eine bijektive Abbildung darstellt ?

Klingt ebenso gut.

>
> 3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[
> X ]0,1[ gleichmächtig ?
> Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso
> nicht ?

Ich erinnere mich an eine Diskussion aus einer Matheuebung, dass [mm] $\IR$ [/mm] and [mm] $\IC$ [/mm] gleichmaechtig seien. Da [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] isomorph sind, muessen auch [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IR^2$ [/mm] gleichmaechtig sein (es ist auch nicht schwierig, eine Bijektion, von [mm] $\IC$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] zu finden). Das suggeriert zumindest, dass auch $(0,1)$ und $(0,1) [mm] \times [/mm] (0,1)$ gleichmaechtig sind. Leider kann ich gerade keine solche Funktion angeben.

>  
> vielen Dank für eure Rückmeldungen.
>
> Grüße
>  Rubi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  


Gruss,
Chris

Bezug
        
Bezug
Mächtigkeit von Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Do 22.11.2018
Autor: HJKweseleit


> 3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[
> X ]0,1[ gleichmächtig ?
> Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso
> nicht ?

Ja.

Jede Zahl x aus ]0|1[ lässt sich eindeutig als (ggf. unendlich lange) Dezimalzahl [mm] x=0,a_1a_2a_3.... (a_i [/mm] jeweils Ziffern) schreiben.

Damit lässt sich jedes Element [mm] (0,a_1a_2a_3...|0,b_1b_2b_3...) \in [/mm] ]0|1[ x ]0|1[ eindeutig abbilden auf [mm] 0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3... \in [/mm]  ]0|1[ abbilden. Man mischt also die Ziffern abwechselnd in die neue Zahl ein. Die Umkehrabbildung dürfte damit auch klar sein.

So wird aus (0,2145368|0,3361992778) die Zahl 0,231346513969820707080 und umgekehrt aus 0,3456789910203040 das Tupel (0,35791234|0,4689).

Wenn man noch [mm] 1=0,\overline{9} [/mm] setzt, kann man sogar die Intervalle auf [0|1] ausdehnen.

Bezug
                
Bezug
Mächtigkeit von Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Do 22.11.2018
Autor: fred97


> > 3.) Sind die Mengen ]0,1[ und das karteische Produkt ]0,1[
> > X ]0,1[ gleichmächtig ?
> > Falls ja, wie kann man dies zeigen bzw. falls nein wieso
> > nicht ?
>  
> Ja.
>  
> Jede Zahl x aus ]0|1[ lässt sich eindeutig als (ggf.
> unendlich lange) Dezimalzahl [mm]x=0,a_1a_2a_3.... (a_i[/mm] jeweils
> Ziffern) schreiben.

Das stimmt nicht: 0,099999999.... = 0,10000000.....

Dein Beweis ist zu retten, wenn man sich auf eine der beiden möglichen Dezimaldarstellungen einigt.

  
Bei der ersten Möglichkeit ist in [mm] $x=0,a_1a_2a_3.....$ [/mm] verboten, dass fast alle (also bis auf endlich viele) [mm] a_j=9 [/mm] sind

und bei der zweiten Möglichkeit ist in [mm] $x=0,a_1a_2a_3.....$ [/mm] verboten, dass fast alle (also bis auf endlich viele) [mm] a_j=0 [/mm] sind.

Bei der ersten Möglichkeit ist [mm] \bruch{1}{10}=0,100000..... [/mm] und beider zweiten haben wir  [mm] \bruch{1}{10}=0,099999..... [/mm] .


> Damit lässt sich jedes Element
> [mm](0,a_1a_2a_3...|0,b_1b_2b_3...) \in[/mm] ]0|1[ x ]0|1[ eindeutig
> abbilden auf [mm]0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3... \in[/mm]  ]0|1[ abbilden.
> Man mischt also die Ziffern abwechselnd in die neue Zahl
> ein. Die Umkehrabbildung dürfte damit auch klar sein.
>  
> So wird aus (0,2145368|0,3361992778) die Zahl
> 0,231346513969820707080 und umgekehrt aus
> 0,3456789910203040 das Tupel (0,35791234|0,4689).
>  
> Wenn man noch [mm]1=0,\overline{9}[/mm] setzt, kann man sogar die
> Intervalle auf [0|1] ausdehnen.


Bezug
                        
Bezug
Mächtigkeit von Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 Do 22.11.2018
Autor: HJKweseleit

Ja, danke, ich hatte übersehen, dass durch das Mixen die beiden verschiedenen Möglichkeiten (z.B. 0,1 = 0,09999999...) hinterher keine Eindeutigkeit mehr zulassen.

Gruß
HJKweseleit

Bezug
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