Majoranten- / Minorantenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 21.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Zeigen Sie Konvergenz/Divergenz mit dem Majoranten- / Minorantenkrit.:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n}$ [/mm] |
Hi Leute!
Die Definition der beiden Kriterien hab ich vorliegen. Nur weiß ich leider überhaupt nicht wie ich da jetzt rangehen soll. Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
> Zeigen Sie Konvergenz/Divergenz mit dem Majoranten- /
> Minorantenkrit.:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n}[/mm]
> Hi Leute!
>
> Die Definition der beiden Kriterien hab ich vorliegen. Nur
> weiß ich leider überhaupt nicht wie ich da jetzt rangehen
> soll. Könnt ihr mir helfen?
Du weißt sicher, dass die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für [mm]s>1[/mm] konvergent sind und für [mm]s\le 1[/mm] divergent sind.
Kannst du mit diesem Hinweis deine Reihe gegen eine geeignete konvergente Majorante abschätzen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 21.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Du weißt sicher, dass die Reihen des Typs $ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} [/mm] $ für s>1 konvergent sind und für $ [mm] s\le [/mm] 1 $ divergent sind."
Wissen schon, aber nicht hier auf den konrketen Fall anwenden. Woher weiß ich nun, dass ich gegen eine Majoranten und nicht gegen eine Minorante abschätzen soll?
Mit Majorante meinst du (wahrscheinlich) so:
[mm] $|A_k| \leq B_k \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
[/mm]
Wie gesagt, die Frage bleibt offen, warum ich hier jetzt gerade eine Majorante nehmen soll...
Mit Minorante sähe es dann so aus, oder?
[mm] $|A_k| \geq B_k \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n+1}$
[/mm]
Oder ist das doch schwachsinn?
Nochmal: Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wann ich welches der beiden Vergleichskriterien geschickterweise anwenden sollte... Wenn du mir das sagen könntest, dann bin ich glücklich 
PS: Zitat: "Du weißt sicher, dass die Reihen des Typs $ [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} [/mm] $ für s>1 konvergent sind und für $ [mm] s\le [/mm] 1 $ divergent sind."
Wissen tu ich das schon, aber ich frage mich schon seit geraumer Zeit an welcher Stelle ich dieses Wissen im "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein finde. Falls du dieses Buch auch verwenden solltest, wäre es sehr nett wenn du mir verraten würdest, wo ich das finde. Wenn du es nicht verwendest, dann würde es mir schon sehr weiterhelfen, wenn du mir sagen könntest unter welcher Begrifflichkeit, außer "harmonischer Reihe", ich es vielleicht finden könnte. Im Internet bin ich auch auf eine Riemannsche-Zeta-Funktion gestoßen die anscheinend sowas ist wie eine "verallgmeinerte harmonische Reihe".
Vielleicht kannst du mir ja helfen.
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Hallo nochmal,
> Zitat: "Du weißt sicher, dass die Reihen des Typs
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für s>1 konvergent
> sind und für [mm]s\le 1[/mm] divergent sind."
>
> Wissen schon, aber nicht hier auf den konrketen Fall
> anwenden. Woher weiß ich nun, dass ich gegen eine
> Majoranten und nicht gegen eine Minorante abschätzen
> soll?
Na, weil die gegebene Reihe doch von der Größenordnung [mm]\sum\frac{1}{n^2}[/mm] ist, das zusätzliche [mm]7n[/mm] im Nenner ist für gewaltig große [mm]n[/mm] doch unbedeutend, das [mm]n^2[/mm] dominiert.
Damit hast du als Anhaltspunkt: "Meine Reihe konvergiert"
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>
> Mit Majorante meinst du (wahrscheinlich) so:
>
> [mm]|A_k| \leq B_k \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/mm]
>
> Wie gesagt, die Frage bleibt offen, warum ich hier jetzt
> gerade eine Majorante nehmen soll...
Na, du brauchst eine konvergente Majorante, also eine größere Reihe, die einen endlichen Wert hat. Dann hat deine kleinere Ausgangsreihe doch auch einen endlichen Wert.
Eine konvergente Minorante bringt dir nix.
Dann hättest du eine kleinere Reihe mit endlichem Wert, das sagt dir aber nix über deine größere Ausgangsreihe (die kann div. oder konv. sein)
>
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>
> Mit Minorante sähe es dann so aus, oder?
>
> [mm]|A_k| \geq B_k \Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+7n+1}[/mm]
>
> Oder ist das doch schwachsinn?
>
> Nochmal: Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wann ich
> welches der beiden Vergleichskriterien geschickterweise
> anwenden sollte... Wenn du mir das sagen könntest, dann
> bin ich glücklich
Nun, du musst eine größere Reihe finden, die bekanntermaßen konvergent ist (oder von der man es leicht zeigen kann)
Hier sind alle Summanden positiv, da muss man sich nicht mit Beträgen rumschlagen.
Es ist ersichtlich [mm]n^2+7n>n^2[/mm], also [mm]\frac{1}{n^2+7n}<\frac{1}{n^2}[/mm]
Da alle Summanden positiv sind, also auch [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+7n}<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm]
Und letztere ist eine bekanntermaßen konvergente Reihe, hat also einen endlichen Wert. Deine kleinere Ausgangsreihe also auch.
Ergo ist die Reihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+7n}[/mm] konvergent
>
> PS: Zitat: "Du weißt sicher, dass die Reihen des Typs
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für s>1 konvergent
> sind und für [mm]s\le 1[/mm] divergent sind."
>
> Wissen tu ich das schon, aber ich frage mich schon seit
> geraumer Zeit an welcher Stelle ich dieses Wissen im
> "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein finde. Falls du
> dieses Buch auch verwenden solltest, wäre es sehr nett
> wenn du mir verraten würdest, wo ich das finde. Wenn du es
> nicht verwendest, dann würde es mir schon sehr
> weiterhelfen, wenn du mir sagen könntest unter welcher
> Begrifflichkeit, außer "harmonischer Reihe", ich es
> vielleicht finden könnte. Im Internet bin ich auch auf
> eine Riemannsche-Zeta-Funktion gestoßen die anscheinend
> sowas ist wie eine "verallgmeinerte harmonische Reihe".
Die Konvergenz der Reihen [mm]\sum\frac{1}{n^s}[/mm] für [mm]s>1[/mm] kann man mit dem Cauchyschen Verdichtungskriterum untersuchen.
Das steht aber wohl in jedem Ana1-Buch und bestimmt auch im Netz (wiki?!)
Aber das musst du für die Konvergenzuntersuchungen so genau gar nicht wissen.
Merke dir, dass die harmonische Reihe (für [mm]s=1[/mm]) die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und den divergenten Reihen dieses Typs sind.
Neben den geometrischen Reihen sind also die Reihen [mm]\sum\frac{1}{n^s}[/mm] für [mm]s>1[/mm] beliebte konvergente Majoranten
Also div. Minorante bietet sich oft die harmonische Reihe oder die o.e. Reihen mit [mm]s<1[/mm] an ...
>
> Vielleicht kannst du mir ja helfen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 21.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun z.B. die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$ [/mm] hab und damit jetzt Konvergenz/Divergenz feststellen möchte, dann muss ich ja Minorantenkrit. anwenden. Ich weiß, dass das, das richtige Kriterium ist, weiß aber trotzdem noch nicht so wirklich warum.
So sieht's aus:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}}_{=A_k} \geq \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{n}}_{=B_k}$
[/mm]
Da rechte Reihe divergiert weil es eine "normale" harmonische Reihe ist. Führe ich nun aber meinen Gedanken korrekt zu Ende, wie komme dann auf die Schlussfolgerung, dass ich das Minorantekrit. einsetzen muss? Irgendwie glaub ich hab ich das immer noch nicht verstanden. Weil jetzt quasi die "angepasste" Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe [mm] $A_k$, [/mm] oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, also [mm] A_k [/mm] divergiert, weil [mm] B_k [/mm] schon divergiert und [mm] A_k [/mm] ja "noch größer" ist. [mm] A_k [/mm] divergiert also "erst Recht", wenn man es so sagen will.
Die Idee, dass man hier das Minorantenkriterium anwenden sollte, kann man so bekommen:
[mm] \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}\approx\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{n}.
[/mm]
Ganz einfach so!
Allgemeiner:
Wenn du eine Reihe hast, in der eine Folge der Form [mm] f_k=\bruch{a_k*n^k+a_{k-1}*n^{k-1}*...*a_1*n+a_0}{b_l*n^l+b_{l-1}*n^{l-1}*...*b_1*n+b_0} [/mm] auftaucht, dann guck dir einfach die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner an. Die anderen Summanden (und Koeffizienten) kannst du für [mm] n\to\infty [/mm] vergessen. Daher ist [mm] $f_k\approx\frac{n^k}{n^l}=\frac{1}{n^{l-k}}$.
[/mm]
Ist [mm] l-k\le1, [/mm] so suche eine Minorante, weil [mm] \frac{1}{n^s} [/mm] für [mm] s\le [/mm] 1 divergiert. Ansonsten eine Majorante.
Hast du irgendwelche Wurzeln, so wende diese auch nur auf die höchsten Potenzen an, den rest schmeiß einfach weg. So kannst du für diese Art von Folgen immer sehr leicht das Konvergenzverhalten für die dazugehörge Reihe bestimmen.
Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2*n^4+n}}{n^5+n^2-1}. [/mm] Dann mach einfach folgendes:
Im Zähler: Schmeiß das n weg, das ist egal. Der Zähler ist also ca. [mm] \sqrt{n^4}=n^2.
[/mm]
Im Nenner: Schmeiß [mm] n^2 [/mm] und -1 weg. Im Nenner steht ca. [mm] n^5.
[/mm]
Damit hast du insgesamt ca. [mm] \frac{n^2}{n^5}=\frac{1}{n^3}. [/mm] Such also eine Majorante, die ca. wie [mm] \frac{1}{n^3} [/mm] aussieht.
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