Majoranten/Minorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 So 21.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
| Aufgabe | Ich habe folgendes Problem:
Ich soll folgende Reihen auf ihre Konvergenz bzw. Divergenz mit Hilfe des Majoranten/Minorantenkriteriums untersuchen.
1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n}
[/mm]
2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)²}{(2*n)!}
[/mm]
3) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+1/n)^n}
[/mm]
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Beispiel 1): ich vermute, dass diese reihe konvergent ist. also muss ich eine majorante suchen die sicher konvergent und größer ist. wie geht es nun weiter?
gruß, hermes
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.uni-protokolle.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo hermes!
Darfst Du hier ausschließlich Minoranten- bzw. Majorantenkriterium verwenden?
Denn alle 3 Reihen lassen sich am schnellsten mittels Wurzel- bzw. Quotientenkriterium lösen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
ja, ich darf nur das minoranten/majorantenkriterium verwenden!
gruß, hermes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Majoranten sind fast immer ne geometrische reihe, Minoranten die harmonische.
1, schreibe [mm] \bruch{2^n}{3^n}=(\bruch{2}{3})^n
[/mm]
2. schreibe n!^2=n!*n! ein Stück aus 1*2*3*4...*n*1*2*3...
darunter schreib zahl für Zahl (2n)!
3. was steht für n gegen [mm] \infty [/mm] als Summand da? wenn die Summanden keine Nullfolge bilden, dann konvergiert ne Reihe nie!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
jemand hat meine angabe editiert, dabei hat sich ein fehler eingeschlichen! beispiel 1 ist nämlich [mm] n^2/3^n.
[/mm]
für das majorantenkriterium muss ich meine 2. reihe größer machen. wenn ich jetzt [mm] (n/3)^n [/mm] nehme ergibt dies aber eine divergente reihe. ich habe leider noch immer keine ahnung.
gruß, hermes
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> jemand hat meine angabe editiert, dabei hat sich ein fehler
> eingeschlichen! beispiel 1 ist nämlich [mm]n^2/3^n.[/mm]
Hallo,
nein, beim Editieren ist Dein Post lediglich in einen gut zu lesenden Zustand versetzt worden (Summenzeichen, Brüche).
Inhaltlich wurde nichs verändert, wie man der Revisionsgeschichte entnehmen kann.
Ich habe nun aber Deinen Tippfehler beseitigt, so daß die Aufgabe nun so dasteht, wie sie dastehen sollte.
Gruß v. Angela
> für das majorantenkriterium muss ich meine 2. reihe größer
> machen. wenn ich jetzt [mm](n/3)^n[/mm] nehme ergibt dies aber eine
> divergente reihe. ich habe leider noch immer keine ahnung.
>
> gruß, hermes
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> Ich habe folgendes Problem:
> Ich soll folgende Reihen auf ihre Konvergenz bzw.
> Divergenz mit Hilfe des Majoranten/Minorantenkriteriums
> untersuchen.
> 1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n}[/mm]
Hallo,
hier hast Du die Lösung ja schon mit der zunächst fälschlicherweise präsentierten Aufgabe geliefert...
Bedenke, daß [mm] n^2\le 2^n [/mm] ist für alle [mm] n\not=3.
[/mm]
Damit hast Du dann eine geometrische Reihe als Majorante.
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> Ich habe folgendes Problem:
> Ich soll folgende Reihen auf ihre Konvergenz bzw.
> Divergenz mit Hilfe des Majoranten/Minorantenkriteriums
> untersuchen.
> 3) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+1/n)^n}[/mm]
Hallo,
einen Grund dafür, daß die Reihe nicht konvergiert, hatte ja leduart schon genannt.
Mit dem Minorantenkriterium kannst Du es wie folgt machen:
[mm] \bruch{1}{(1+1/n)^n}=(\bruch{n}{1+n})^n=(1-...)^n [/mm] , und nun die Bernoulliungleichung anwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
danke für deine hilfe!
kannst du mir beim beispiel 2 auch weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zu 2 hatte ich dir den Tip schon gegeben:
die Summanden mal ausschreiben, die ersten n! kürzen sich, was bleibt? kannst du das vergrösernn, so dass da [mm] q^n [/mm] steht q<1?
Wenn wir dir alles genau sagen lernst du doch das Abschätzen nicht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
ja, ich weiß. und ich bin dir auch sehr dankbar dafür.
ich habe noch schwierigkeiten mit dem abschätzen: [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{n!^{2}}{(2n)!}, [/mm] ich denke mir dann immer: die reihe ist konvergent, als suche ich nach eine majorante. dann verkleinere ich den nenner auf [mm] \bruch{(n!)*(n!)}{(n!)} [/mm] und wenn ich das kürze steht dann nur mehr n! da, und diese reihe ist ja divergent!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht doch [mm] \bruch{n!^2}{(2n)!} [/mm] für n=5 also:
[mm] \bruch{1*2*3*4*5*1 *2 *3 *4 *5}{1*2*3*4*5 *6 *7 *8 *9 *10}
[/mm]
jetzt kanst du die ersten 5 kürzen, der Rest ist kleiner als [mm] (a/b)^5 [/mm] jetzt find ein geeignetes a/b und mach es statt mit 5 mit n
Es ist immer nützlich, sich ein paar Summanden der Reihe explizit aufzuschreiben!
ich hatte dir geschrieben, dass du das so etwa hinschreiben sollst. darauf bist du nicht eingegangen,
deine Abschätzung ist so grob, dass man nix mit machen kann!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
ich danke dir für deine bemühungen. leider ich kann das beispiel trotzdem noch nicht lösen. ( ich versteh das mit dem [mm] (a/b)^5 [/mm] usw. nicht)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei n=5 bleibt doch übrig: [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{2}{7}*\bruch{3}{8}*\bruch{4}{9}*\bruch{5}{10}
[/mm]
du kannst das produktvergrößern, indem du alle diese 5 Brüche jeweils durch den größten der 5 erstest. den hab ich a/b genannt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
meinst du das so?? [mm] \bruch{5}{10}\*\bruch{5}{10}\*\bruch{5}{10}\*\bruch{5}{10}\*\bruch{5}{10}\* [/mm]
[mm] =(\bruch{n}{2n})^{n} [/mm] = [mm] ({1/2})^{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
sowas schon, aber eigentlich erwart ich ne Ungleichung hier muss ich hoffen, dass du das richtige meinst.
Warum ist es so schwer da drauf zu kommen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
[mm] \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}\le(\bruch{1}{2})^{n} [/mm] ;
warum ist das schwer für mich? ich bin erst seit ein paar wochen an der uni und muss noch vieles nachholen. wir bekommen jede woche 10 beispiele zum rechnen auf und da gibts meisten 2-3 die ich nicht zusammen bringe , so wie dieses hier. (und wenn ich auf der leitung stehe dann so richtig, hast du aber sicher bemerkt)
ich möchte mich bei dir bedanken, dass du mir weitergeholfen hast. DANKE!!
gruß, hermes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mo 22.10.2007 | | Autor: | hermes6 |
meinst du das so: [mm] (1-\bruch{1}{n+1})^{n} \ge (1-\bruch{n}{n+1}) [/mm] und wenn der rechte term divergent ist, dann ist es der linke erst recht. passt das so??
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> meinst du das so: [mm](1-\bruch{1}{n+1})^{n} \ge (1-\bruch{n}{n+1})[/mm]
> und wenn der rechte term divergent ist, dann ist es der
> linke erst recht. passt das so??
Ja, wenn die Reihe mit dem rechten Term divergiert, dann die mit dem linken erst recht.
[mm] (1-\bruch{n}{n+1})=\bruch{1}{n+1}, [/mm] übrigens.
Gruß v. Angela
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