Majoranten und Minorantenkrite < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mo 18.10.2004 | | Autor: | MeP |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme mit dem Majoranten- nund Minorantenkriterium (schreibe eine FAcharbeit drüber).
Vielleicht findet sich jemand der mir evtl. weiterhelfen könnte.
1.
Also zuerst einmal habe ich die Aufgabe, mit Hilfe dieser Beiden Kriterien herauszufinden ob die unendlichen reihen mit ak = 2/(k+3) und ak = 100/(k²+1) konvergent sind. bei der ersten Aufgabe (also 2/(k+3) ) habe ich den Nenner mit 2 multipliziert. Damit ist diese Reihe ja kleiner. Durch Umformung erhält man die bekannte Reihe mit ak = 1/k.
Nach dem Minorantenkriterium muss dann auch die Ausgangsreihe divergent sein.
Ist dieser Lösunsgsweg richtig?
2. Die zweite unendliche Reihe (mit ak = 100/(k²+1) ). Wie
wende ich da eines der beiden Kriterien an? Also anders formuliert:
wie kann ich eines der beiden Kriterien direkt ausschließen?
3. Habt ihr einen Lösungsweg , den ihr immer abarbeitet wenn ihr solche aufgaben lösen müsst?
Danke schonmal für die Hilfe.
Gruß MeP
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi MeP,
also zunächst mal ist es ganz praktisch, dass deine Reihen nur positive Summanden enthalten, damit entfallen etwaige Vorzeichenprobleme.
Du weißt bestimmt, welches Kriterium man zum Beweis der Divergenz bzw. der Konvergenz einer Reihe benutzt. Nämlich dass man entweder mit dem Minorantenkriterium prüft ob eine 'kleinere' Reihe auch noch divergiert. Dann tut es die ursprüngliche erst recht. Oder man nimmt das Majorantenkriterium und zeigt damit, dass eine 'größere' Reihe konvergiert, deshalb also auch die eigentlich interessante.
Größer und kleiner ist hier zunächst auf die einzelnen Summanden bezogen, aber eine Summe mit größeren Summanden ist auch insgesamt größer.
Welches der beiden Kriterien man anwendet, bzw. es zumindest versucht, hängt von der persönlichen Einschätzung der Reihe ab. Man muss gewissermaßen einen Riecher dafür haben, ob die zu betrachtende Reihe kon- oder divergiert. Das kann man mit ein wenig Übung meistens recht gut. Manchmal sticht einem auch sofort eine Minorante oder Majorante ins Auge, die einem die Kon- oder Divergenz der Reihe verrät.
Also im ersten Fall bist du richtig davon ausgegangen, dass die divergierende harmonische Reihe eine Minorante für deine Reihe ist. Achtung: sie ist es nicht 100%ig, da gibt es noch eine kleine Schwierigkeit.
Untersuche doch, ob für alle [mm]k\in\IN[/mm] gilt: [mm]\frac{2}{k+3}\ge\frac{1}{k}[/mm].
Was denkst du macht die zweite Reihe bzw. welches Kriterium könntest du anwenden sollen?
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Di 19.10.2004 | | Autor: | MeP |
Ja es ist die harmonische Reihe ohne die ersten 3 glieder also [mm] \summe_{k=4}^{ \infty}1/k [/mm]
Die zweite Reihe konvergiert meiner Meinung nach. Also müsste ich eine Reihe finden deren Betag größer ist als der meiner ausgangsreihe [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}100/k²+1
[/mm]
Ich muss also den Betrag des Zählers vergrösern. Irgendwie finde ich aber keinen wirklichen Ansatz um auf eine konvergente Reihe zu schließen.
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Geht es bei dir vielleicht um die Reihe[mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{100}{k^2+1}[/mm]?
Nach welcher Reihe könnte das aussehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 20.10.2004 | | Autor: | MeP |
ach klar man muss ja garnicht nur im zähler erweitern man kann ja auch den Betrag des nenners kleiner werden lassen [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] 100/k²
ist die größere Reihe, die man braucht um das Majorantenkriterium anzuwenden. [mm] 100*\summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] 1/k²
Danke für die Hilfe.
Aber wie seh ich jetzt eigentlich ohne nur große Werte einzusetzen das diese Reihe Konvergent ist.
Ich weiß es nur weil dieses mal eine Beispielreihe in einem meiner Bücher war. Gibt es da einen trick??
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