Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:21 Mo 04.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe zum folgende Sachverhalt eine Frage.
Wir haben in der Vorlesung das Beispiel:
[mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert, und es ist
[mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2} = \bruch{\pi}{6} [/mm]
Begründung:
Für [mm] n \ge 2 [/mm] ist [mm] [mm] \bruch{1}{n^2} \le \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] und wir wissen, dass [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} = 1 [/mm]. Deswegen fungiert diese Reihe als konvergente Majorante.
Aber,wenn ich das richtig sehe, stimmt diese Abschätzung, dass für [mm] n \ge 2 [/mm] ist [mm] [mm] \bruch{1}{n^2} \le \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] doch garnicht, oder?
Liegt hier ein Fehler vor?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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> Hallo alle zusammen!
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> Ich habe zum folgende Sachverhalt eine Frage.
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> Wir haben in der Vorlesung das Beispiel:
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> [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm] konvergiert, und es ist
> [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2} = \bruch{\pi}{6}[/mm]
>
> Begründung:
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> Für [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm][mm]\bruch{1}{n^2} \le \bruch{1}{n(n+1)}[/mm] und wir wissen, dass [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)} = 1 [/mm]. Deswegen fungiert diese Reihe als konvergente Majorante.
Aber,wenn ich das richtig sehe, stimmt diese Abschätzung, dass für [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm][mm]\bruch{1}{n^2} \le \bruch{1}{n(n+1)}[/mm] doch garnicht, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Richtig!
Aber:
Aus [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm] ziehen wir mal den ersten Summanden heraus; dann bleibt noch
[mm]\summe_{n=2}^\infty \bruch{1}{n^2}[/mm].
Hier nummerieren wir nun die Indizes um: Wir starten wieder mit n=1, geben aber den Summanden dafür die Nummer n+1 statt n:
[mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{(n+1)^2}[/mm].
Nun vergleichen wir mit der angegebenen Majorante:
Für [mm]n \ge 2[/mm] ist [mm]\bruch{1}{(n+1)^2} \le \bruch{1}{n(n+1)}[/mm].
Einfacher und nicht so formal:
Statt bei jeder der beiden Summen mit dem "Partner" zu vergleichen, vergleichen wir nun [mm] a_2 [/mm] mit [mm] b_1, a_3 [/mm] mit [mm] b_2 [/mm] usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Mo 04.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Vielen Dank für die Antwort! Natürlich passt das jetzt, ich frage mich nur, wie man darauf kommen soll, wenn man es nicht kennt  ...
Viele Grüße
Irmchen
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Als Schüler hatte ich mir auch vorgestellt, dass man im Mathe-Studium neue Rechenverfahren und -techniken kennen lernt, die man dann so lange an einfachen und komplizierten Beispielen lernt, bis man sie beherrscht - so ähnlich wie die Anwendung der p-q-Formel auf kompliziertere Ausdrücke oder das Herumtricksen mit Integralen.
Das Gegenteil war der Fall!
Im gesamten Mathe-Studium habe ich in 6 Jahren keine 30 Integrale berechnen müssen, dafür musste ich auf Beweise kommen, an denen sich etliche Mathematiker vor hundert Jahren die Zähne ausgebissen haben. Meine Examensklausur besteht zu 30 % aus einfachen algebraischen Ausdrücken, der Rest sind erklärende und beweisende Texte.
Lass dich nicht entmutigen, man gewöhnt sich daran, und auch das "Sehen" solcher Zusammenhänge lernt sich schnell und macht dann auch Spass!
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