Majorantenkriterium Fktreihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
beim Majorantenkriterium nach Weierstraß für Funktionenreihen wird ja vorausgesetzt, dass [mm] (f_n) [/mm] eine Folge beschränkter Funktionen ist. Sehe ich das richtig, dass das gefordert wird, weil deswegen ja sicher ist, dass [mm] \|f_n\| [/mm] exisitiert für jedes n [mm] \in \IN [/mm] und es nur so überhaupt möglich ist, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \| f_n\| [/mm] überhaupt [mm] \le \infty [/mm] sein könnte? Oder denke ich da nun total verkehrt?
Danke!
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> beim Majorantenkriterium nach Weierstraß für
> Funktionenreihen wird ja vorausgesetzt, dass [mm](f_n)[/mm] eine
> Folge beschränkter Funktionen ist.
So ist es.
> Sehe ich das richtig,
> dass das gefordert wird, weil deswegen ja sicher ist, dass
> [mm]\|f_n\|[/mm] exisitiert für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
Ja
> und es nur so
> überhaupt möglich ist, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \| f_n\|[/mm] überhaupt [mm]\le \infty[/mm] sein
> könnte?
Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \| f_n\|[/mm] muß konvergieren, also [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \| f_n\| < \infty[/mm] ( nicht "kleiner gleich")
FRED
> Oder denke ich da nun total verkehrt?
>
> Danke!
> Anna
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Hallo Fred!
DANKE für Deine Antwort.
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \| f_n\|[/mm] muß
> konvergieren, also [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \| f_n\| < \infty[/mm]
> ( nicht "kleiner gleich")
Ups, ich meinte natürlich auch < .
Also nochmal kurz : Es wird gefordert, dass [mm] f_n [/mm] eine Folge beschränkter Funktionen ist, weil nur so es überhaupt möglich ist, dass auch die Reihe davon evtl. konvergieren könnte, also die Norm < [mm] \infty [/mm] ist. Denn wären die Funktionen nicht beschränkt, so könnte erst recht nicht die Folge davon beschränkt sein und somit konvergieren. (Denn ohne Beschränktheit keine Konvergenz). Richtig??
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei D der Def. -Bereich der [mm] f_n
[/mm]
Es wird gefordert:
(1) [mm] $C_n [/mm] := sup [mm] \{|f_n(x)|: x \in D \}< \infty [/mm] $ für jedes n
und
(2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}C_n [/mm] ist konvergent.
Dann konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] auf D gleichmäßig
Ohne (1) wäre doch (2) völlig sinnlos
FRED
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Hallo Fred,
> Sei D der Def. -Bereich der [mm]f_n[/mm]
>
> Es wird gefordert:
>
> (1) [mm]C_n := sup \{|f_n(x)|: x \in D \}< \infty[/mm] für jedes
> n
>
> und
>
> (2) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}C_n[/mm] ist konvergent.
>
> Dann konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty}f_n[/mm] auf D
> gleichmäßig
>
> Ohne (1) wäre doch (2) völlig sinnlos
Klar. Logisch. Habe ich nicht genau das damit "informativ" gesagt?
Es wird gefordert, dass [mm] (f_n) [/mm] eine Folge beschränkter Funktionen ist, weil nur so ist gesichert, dass die Norm von [mm] f_n [/mm] existiert (also < [mm] \infty [/mm] ist). Und nur so ist es überhaupt möglich, dass auch die Reihe davon evtl. konvergieren könnte. Denn wäre die Folge [mm] (f_n) [/mm] keine Folge von beschränkten Funktionen, so würde auch die Reihe von [mm] \| f_n \| [/mm] nicht konvergieren können. (Denn ohne Beschränktheit keine Konvergenz).
?
DANKE!
Gruß
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Sa 13.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Das ist schon alles richtig. Aber vom mathematischen Standpunkt her ist es eigentlich einfacher: die Supremumsnorm [mm] $\|f\|$ [/mm] ist einfach nicht definiert, wenn $f$ unbeschränkt ist. Daher macht die Aussage [mm] $\sum\|f_n\|<\infty$ [/mm] überhaupt keinen Sinn.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Robert,
ja, stimmt. DANKE!
Gruß,
Anna
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