Majorisierte Konvergenz < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 18.02.2005 | | Autor: | HeikoM. |
Hallo,
habe Probleme zu zeigen, dass man bei folgendem Integral den Satz über majorisierte Konvergenz anwenden kann.
[mm] \integral_{1}^{x} {t^{k-1} dt}= \bruch{x^{k}-1}{k} [/mm] mit x > 0, k > 0
Damit ich hier den Satz anwenden kann, muss ich folgendes zeigen,
[mm] |u_{k}(t)| \le [/mm] f(t) (fast überall)
doch ich hab keine Ahnung mit welcher von k unabhängigen Funktion f(t) ich das machen könnte. Es muss aber funktionieren, denn es gilt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\0} \bruch{x^{k}-1}{k} [/mm] = ln(x) = [mm] \integral_{1}^{x} {\limes_{k\rightarrow\0} t^{k-1} dt} [/mm] (beim Limes geht k gegen 0, sorry hab das nicht eingefügt bekommen)
Bin total überfordert, denn mir fällt nicht im geringsten was dazu ein. Bin deshalb für jeden noch so kleinen Tipp dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da du ja anschließend einen Grenzübergang $k [mm] \to [/mm] 0$ durchführst, brauchst du die Schranke nur für $k [mm] \in [/mm] (0,0.5)$ zu finden.
Jetzt machst du eine Fallunterscheidung (denn der Grenzübergang ist ja für festes $x>0$ zu bilden):
Für $x>1$ gilt:
[mm] $t^{k-1} [/mm] < [mm] t^{-\frac{1}{2}}$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] (1,x)$, $k [mm] \in [/mm] (0,0.5)$.
Für $0<x<1$ gitl:
[mm] $t^{k-1} [/mm] < [mm] t^{-1}$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] (x,1)$, $k [mm] \in [/mm] (0,0.5)$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Di 22.02.2005 | | Autor: | HeikoM. |
Hi,
erstmal vielen Dank für deine Antwort, doch da ist noch 'ne Kleinigkeit, die ich leider nicht so ganz begriffen hab.
Wie kann ich denn aus dem Grenzübergang [mm] k\to0 [/mm] , welchen ich später durchführen will, schließen, dass [mm] k\in(0,0.5) [/mm] ist? Vielleicht wurde ich da auch von der Aufgabenstellung in die Irre geführt. Die Angabe $k>0$ hat mich nämlich auf die Fährte gelockt, dass ich [mm] $t^{k-1}$ [/mm] auch für sehr große $k$ (sprich [mm] {k\rightarrow\infty}) [/mm] nach oben abschätzen muss, was mir aber nicht gelungen ist.
Da ich ab heute, für ungefähr eine Woche lang, so gut wie keine Möglichkeit hab ins Netz zu kommen, möchte ich euch um Verständniss bitten, wenn Mitteilungen von mir (zu euren Antworten) eventuell auf sich warten lassen. Besten Dank.
Hab's total verpennt, vor dem abschicken, die Fälligkeit auf unbefristet zu setzten und hinterher konnte ich die Fälligkeit auf nur eine Woche setzen. Sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 22.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Naja, wenn du doch nur an dem Grenzübergang $h [mm] \to [/mm] 0$ interessiert bist, brauchst du doch auch nur $h$ in der Nähe von $0$ (die Grenze $0,5$ ist willkürlich gesetzt) zu betrachten.
Schließlich gilt ja allgemein:
[mm] $\lim\limits_{{h \to 0} \atop {h < 0,5}} [/mm] f(h) = [mm] \lim\limits_{h \to 0} [/mm] f(h)$
für eine Funktion $f$ mit geeignetem Definitionsbereich.
Viele Grüße
Julius
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