Mal wieder Basis/Dim./Rang < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Sa 07.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe 1 | Betrachten Sie die Menge $T [mm] \subseteq (\IZ_2)^4$ [/mm] aller binären 4-Tupel, in denen genau zwei
Einsen vorkommen. Welche Dimension hat der von $T$ aufgespannte Untervektorraum
Span(T) des Vektorraums [mm] $(\IZ_2)^4$? [/mm] |
| Aufgabe 2 | Wie viele Untervektorr¨aume hat der Vektorraum [mm] $(\IZ_2)^3$ [/mm] aller binären 3-Tupel?
Geben Sie zu jeder vorkommenden Dimension ein Beispiel für eine Basis an, die einen
Untervektorraum dieser Dimension erzeugt. |
Ich schon wieder!
Und schon wieder habe ich grundlegende Verständnisschwierigkeiten. Es geht um Basis und Dimension eines (Unter-)Vektorraums. Dazu habe ich den lehrreichen Artikel aus diesem Forum hier gefunden: "Basen und lin. Abhängigkeit". Nun hab ich das immer noch nicht verstanden und möchte es daher auf ein eigenes Beispiel übertragen, siehe Aufgabe 1.
Erst mal habe ich alle ${4 [mm] \choose [/mm] 2}$ möglichen Tupel aus T aufgeschrieben, gleich in eine Matrix:
[mm] $\pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1}$
[/mm]
Dann habe ich mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren die Zeilenstufenform entwickelt:
[mm] $\pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1} \Rightarrow \pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Jetzt kann ich ablesen, dass der Rang der Matrix, die durch das aneinanderreihen der 4-Tupel entstanden ist, den Rang 3 hat. Außerdem kann ich ablesen, wie ich dank dem oben verlinkten Forumsbeitrag nun weiß, dass die Dimension des durch T aufgespannten Vektorraumes 4 ist. Und an dieser Stelle entstehen bei mir die großen Fragen:
1. Kann ich vielleicht auch noch die (oder eine) Basis ablesen? Laut dem verlinkten Thread sollte das dann:
[mm] $\left\{\pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\right\}$ [/mm]
sein, da in der Matrix in ZSF die Zeilenführer in der 1., 2. und 3. Spalte stehen und die genannten die entsprechenden Vektoren (Spalten) der Ausgangsform darstellen.
2. Wenn zu 1. nein, wäre es dann möglich, wenn man mit elementaren Spaltenumformungen anstatt der Zeilenumformungen auf ein Ergebnis gekommen wäre?
3. Ist der Rang einer Matrix immer gleich der Dimension des Raumes, der durch die Spalten der Matrix aufgespannt wird? Ist die Anzahl der Vektoren der Basis ebenso gleich der Dimension des Raumes?
4. Wird diese Matrix Abbildungsmatrix genannt (oder auch Darstellungsmatrix)?
Ich weiß, bestimmt allesamt dämlich, aber ich kann langsam keine Mathe-Bücher, -Skripte und Co. mehr sehen. Ich möchte es verstehen, aber nach jeder neuen Quelle entstehen bei mir neue Unklarheiten. Ich brauch echt mal ein Buch in der Art "Mathe für DUMMIES".
Naja, folgende Weisheiten habe ich mir aufgeschrieben. Bitte, wenn die jemand bestätigen/widerlegen könnte?
Ein Erzeugendensystem besteht aus den Vektoren [mm] $\{v_1, \ldots, v_n\}$, [/mm] allesamt [mm] $\in$ [/mm] des Vektorraums V. Durch Linearkombinationen der Vektoren des Erzeugendensystems lassen sich alle Vektoren des Vektorraums V bilden.
Eine Basis ist ein (reduziertes) Erzeugendensystem, die Vektoren [mm] $\{v_1, \ldots, v_n\}$ [/mm] sind aber zusätzlich linear unabhängig!
Die Dimension eines Vektorraums v ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus V (was dann wieder eine Basis ist).
Ich weiß, das doppelt sich mit den Fragen.
Nun noch eine Frage. Haben Dimension, Rang, Basis etwas mit der möglichen Anzahl an Untervektorräumen eines gegebenen Vektorraumes zu tun? Siehe die Aufgabe 2 von oben. Es entstehen also UVR's verschiedener Dimension. Die müssen also alle eine unterschiedliche Basis haben. Aber wie finde ich die?
Oh jeh, so viele Fragen gibts nicht gleich wieder!
Liebe Brüße und herzlichen Dank
~ pawlow
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Betrachten Sie die Menge [mm]T \subseteq (\IZ_2)^4[/mm] aller
> binären 4-Tupel, in denen genau zwei
> Einsen vorkommen. Welche Dimension hat der von [mm]T[/mm]
> aufgespannte Untervektorraum
> Span(T) des Vektorraums [mm](\IZ_2)^4[/mm]?
> Wie viele Untervektorr¨aume hat der Vektorraum [mm](\IZ_2)^3[/mm]
> aller binären 3-Tupel?
> Geben Sie zu jeder vorkommenden Dimension ein Beispiel für
> eine Basis an, die einen
> Untervektorraum dieser Dimension erzeugt.
> Ich schon wieder!
> Erst mal habe ich alle [mm]{4 \choose 2}[/mm] möglichen Tupel aus T
> aufgeschrieben, gleich in eine Matrix:
>
> [mm]\pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> Dann habe ich mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren die
> Zeilenstufenform entwickelt:
>
>
> [mm]\pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1} \Rightarrow \pmat{1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Jetzt kann ich ablesen, dass der Rang der Matrix, die durch
> das aneinanderreihen der 4-Tupel entstanden ist, den Rang 3
> hat.
Hallo,
genau so ist es.
> Außerdem kann ich ablesen, wie ich dank dem oben
> verlinkten Forumsbeitrag nun weiß, dass die Dimension des
> durch T aufgespannten Vektorraumes 4 ist.
Wenn das die Information des Artikels war, ist es ein echt mieser Artikel.
In Wahrheit ist es so: der Rang der Matrix, die die besagten Vektoren in den Spalten hat, ist =3, also ist die Dimension des von diesen Vektoren aufgespannten Raumes =3.
>Und an dieser
> Stelle entstehen bei mir die großen Fragen:
>
> 1. Kann ich vielleicht auch noch die (oder eine) Basis
> ablesen? Laut dem verlinkten Thread sollte das dann:
> [mm]\left\{\pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\right\}[/mm]
Sch...artikel.
> sein, da in der Matrix in ZSF die Zeilenführer in der 1.,
> 2. und 3. Spalte stehen und die genannten die
> entsprechenden Vektoren (Spalten) der Ausgangsform
> darstellen.
Das allerdings stimmt.
Ich sehe in der 1.,2., 3. Spalte die Vektoren [mm] \left\{\pmat{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\right\}.
[/mm]
> 2. Wenn zu 1. nein, wäre es dann möglich, wenn man mit
> elementaren Spaltenumformungen anstatt der
> Zeilenumformungen auf ein Ergebnis gekommen wäre?
Wäre man, aber ich rate davon ab, weil es leicht verwirrt, wenn man zur Verwirrung neigt.
Es besteht auch die Möglichkeit, die Startvektoren in eine Matrix zu legen, diese auf ZSF zu bringen. Die Transponierten der Zeilen bilden eine Basis des gesuchten Raumes.
> 3. Ist der Rang einer Matrix immer gleich der Dimension
> des Raumes, der durch die Spalten der Matrix aufgespannt
> wird?
Ja.
> Ist die Anzahl der Vektoren der Basis ebenso gleich
> der Dimension des Raumes?
Ja.
> 4. Wird diese Matrix Abbildungsmatrix genannt (oder auch
> Darstellungsmatrix)?
Die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung ist die Matrix, die eine gegebene lineare Abbildung f repräsentiert, die Matrix A, für welche f(v)=Av für alle [mm] v\in [/mm] Definitionsbereich.
>
> Ich weiß, bestimmt allesamt dämlich, aber ich kann langsam
> keine Mathe-Bücher, -Skripte und Co. mehr sehen. Ich möchte
> es verstehen, aber nach jeder neuen Quelle entstehen bei
> mir neue Unklarheiten. Ich brauch echt mal ein Buch in der
> Art "Mathe für DUMMIES".
>
> Naja, folgende Weisheiten habe ich mir aufgeschrieben.
> Bitte, wenn die jemand bestätigen/widerlegen könnte?
>
> Ein Erzeugendensystem besteht aus den Vektoren [mm]\{v_1, \ldots, v_n\}[/mm],
> allesamt [mm]\in[/mm] des Vektorraums V. Durch Linearkombinationen
> der Vektoren des Erzeugendensystems lassen sich alle
> Vektoren des Vektorraums V bilden.
Ja. natürlich muß ein Erzeugendensystem nicht endlich sein.
>
> Eine Basis ist ein (reduziertes) Erzeugendensystem, die
> Vektoren [mm]\{v_1, \ldots, v_n\}[/mm] sind aber zusätzlich linear
> unabhängig!
"Reduziert" würde ich nicht sagen. Es ist ein minimales Erzeugendensystem. (Kleiner geht's nicht.)
<==>
Es ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
>
> Die Dimension eines Vektorraums v ist die maximale Anzahl
> linear unabhängiger Vektoren aus V
Ja.
> (was dann wieder eine
> Basis ist).
Genau. Eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren ist eine Basis.
>
> Ich weiß, das doppelt sich mit den Fragen.
>
> Nun noch eine Frage. Haben Dimension, Rang, Basis etwas mit
> der möglichen Anzahl an Untervektorräumen eines gegebenen
> Vektorraumes zu tun?
Bei der Aufgabe oben entstammen die betrachteten 6 Vektoren dem 4-dimensionalen VR [mm] \\quad (\IZ_2)^4.
[/mm]
Untervektorräume diese Raumes können die
Dimension 0 (dann besteht der UVR nur aus dem Nullvektor),
Dimension1 (z.B. der von [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] erzeugte Raum)
Dimension 2, (z.B. der von [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm] erzeugte Raum)
Dimension 3, (z.B. der von [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\0}, \pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\0} [/mm] erzeugte Raum)
Dimension 4 (dann ist's der komplette Raum)
haben.
> Siehe die Aufgabe 2 von oben. Es
> entstehen also UVR's verschiedener Dimension. Die müssen
> also alle eine unterschiedliche Basis haben. Aber wie finde
> ich die?
So wie oben, aus der ZSF.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Sa 07.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Upps!!! Ich habe mich in beiden Fällen natuürlich nur vertippt. Der Artikel ist PRIMA!!! Schließlich hat "angela.h.b" in diesem Artikel dem Fragesteller geantwortet ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Ich werde mir das alles morgen nochmal in Ruhe durchgelesen! Bis dahin...
Vielen Dank und einen schönen Abend!
~ pawlow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 08.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Hallo,
folgende Aussage verstehe ich nicht:
> > 2. Wenn zu 1. nein, wäre es dann möglich, wenn man mit
> > elementaren Spaltenumformungen anstatt der
> > Zeilenumformungen auf ein Ergebnis gekommen wäre?
>
> Wäre man, aber ich rate davon ab, weil es leicht verwirrt,
> wenn man zur Verwirrung neigt.
> Es besteht auch die Möglichkeit, die Startvektoren in eine
> Matrix zu legen, diese auf ZSF zu bringen. Die
> Transponierten der Zeilen bilden eine Basis des gesuchten
> Raumes.
Sprich mein Ergebnis, eine 4x6 Matrix in ZSF transponieren (bildlich, um 90° entgegen des Uhrzeigersinns drehen). Dann hätte ich doch eine Basis aus 6-Tupel. Oder soll man die startvektoren zeilenweise in die Matrix "legen"?
Naja, das ist aber nicht so wichtig. Alles andere habe ich jetzt jedenfalls verstanden. Aber Aufgabe 2 kann ich dennoch nur teilweise lösen. Ich finde für jeden Unterraum einer bestimmten Dimension eine Basis, aber wie ermittel ich die Anzahl ALLER Unterräume bzw. (damit einhergehend) die Anzahl der unterschiedlichen Basen?
Alle Vektoren aus [mm] $(\IZ_2)^3$:
[/mm]
[mm] $\left\{
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}_{v_0},
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}_{v_1},
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}_{v_2},
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}}_{v_3},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}_{v_4},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}_{v_5},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}}_{v_6},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}_{v_7}
\right\}$
[/mm]
Anzahl der Basen [mm] $B_0$ [/mm] mit [mm] $|B_0| [/mm] = [mm] dim(Span(B_0)) [/mm] = 0$ ist 1:
[mm] $B_0 [/mm] = [mm] \left\{v_0\right\}$
[/mm]
Anzahl der Basen [mm] $B_1$ [/mm] mit [mm] $|B_1| [/mm] = [mm] dim(Span(B_1)) [/mm] = 1$ ist 7:
Jeweils einer der Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_7$
[/mm]
Anzahl der Basen [mm] $B_2$ [/mm] mit [mm] $|B_2| [/mm] = [mm] dim(Span(B_2)) [/mm] = 2$ ist ???:
Ich kenne das Ergebnis, es lautet 7. Es sind Paare zueinander linear unabhängiger [mm] $v_i, [/mm] i [mm] \in \{1,\ldots,7\}$. [/mm] Nur wie komme ich auf 7? (Ohne alle möglichen aufzuschreiben, denn da kommen die Verwirrten wieder durcheinander und raus kommt plötzlich 8 ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") )
Anzahl der Basen [mm] $B_3$ [/mm] mit [mm] $|B_3| [/mm] = [mm] dim(Span(B_3)) [/mm] = 3$ ist 1:
Das sind die Einheitsvektoren:
[mm] $B_3 [/mm] = [mm] \left\{v_4,v_2,v_1\right\}$
[/mm]
Aber danke schon mal, ich bin schon viel schlauer... Für alle die es zufällig hierher verschlagen hat und noch nach guten Quellen suchen:
![[]](/images/popup.gif) Wurzelzieher Mathepedia
Da steht alles relativ kompakt und relativ einfach.
Liebe Grüße
~ pawlow
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> Hallo,
>
> folgende Aussage verstehe ich nicht:
> > > 2. Wenn zu 1. nein, wäre es dann möglich, wenn man
> mit
> > > elementaren Spaltenumformungen anstatt der
> > > Zeilenumformungen auf ein Ergebnis gekommen wäre?
> >
> > Wäre man, aber ich rate davon ab, weil es leicht verwirrt,
> > wenn man zur Verwirrung neigt.
> > Es besteht auch die Möglichkeit, die Startvektoren in eine
> > Matrix zu legen, diese auf ZSF zu bringen. Die
> > Transponierten der Zeilen bilden eine Basis des gesuchten
> > Raumes.
>
> Sprich mein Ergebnis, eine 4x6 Matrix in ZSF transponieren
> (bildlich, um 90° entgegen des Uhrzeigersinns drehen). Dann
> hätte ich doch eine Basis aus 6-Tupel. Oder soll man die
> startvektoren zeilenweise in die Matrix "legen"?
Hallo,
der Effekt, die entstehende Matrix, ist beidemale gleich.
Man bringt sie dann auf ZSF. Die verbleibenden Nichtnullzeilen richtet man anschließend wieder senkrecht auf und erhält auch so eine Basis - aus 4-Tupeln!
Aber es ist wirklcih nicht so wichtig, obgleich es manchmal ganz schön ist, das zu wissen.
Wenn Du zu Verwirrung neigst, Dich überhaupt den ganzen Matrizenrechnereien geradeso gewachsen fühlst, dann rate ich zu der anderen Vorgehensweise.
Ich rate dazu, überhaupt keine Spaltenumformungen zu machen, keine Spalten zu vertauschen, sondern alles mit Zeilenumformungen zu bewältigen.
Dann gerät man nämlich nicht plötzlich bei der Klausur in Streß, weil man nicht mehr weiß, was wo erlaubt war.
>
> Naja, das ist aber nicht so wichtig. Alles andere habe ich
> jetzt jedenfalls verstanden. Aber Aufgabe 2 kann ich
> dennoch nur teilweise lösen. Ich finde für jeden Unterraum
> einer bestimmten Dimension eine Basis, aber wie ermittel
> ich die Anzahl ALLER Unterräume bzw. (damit einhergehend)
> die Anzahl der unterschiedlichen Basen?
Hier bist Du ja schon recht weit gekommen.
Die Anzahlen der Unterräume der Dimension 0, 1, 3 hast Du bereits gefunden.
Achtung: der Nullvektor ist nicht die Basis des VRes, der nur den Nullvektor enthält. Die Basis dieses Raumes ist die leere Menge. (Mach Dir keine schlaflosen Nächte drum. Schluck es und merk es Dir.)
Zu den VRen der Dimension zwei: zum Bilden der Basen stehen Dir ja 7 Vektoren zur Verfügung, aus denen man jeweils zwei auswählt. Überlege Dir, daß die gar nicht linear abhängig sein können. Ich bin kombinatorisch schwach, aber das sind 21 Möglichkeiten, wenn ich mich nicht irre. Also noch recht übersichtlich.
Im Grunde könntest Du so vorgehen, daß Du alle Basen aufschreibst, dazu alle Vektoren die Du aus den jeweiligen Basisvektoren linearkombinieren kannst, und danach vergleichst Du einfach die Elemente.
Wenn Du da mal anfängst, dann siehst Du, daß jeder dieser zweidimensionalen Vektorräume nur drei von Null verschiedenen Elemente enthält.
Wenn Du erstmal angefangen hast, wirst Du sehen, daß Du manche Kombinationen von Basisvektoren gar nicht mehr versuchen mußt.
Gruß v. Angela
>
> Alle Vektoren aus [mm](\IZ_2)^3[/mm]:
>
> [mm]$\left\{
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}_{v_0},
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}_{v_1},
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}_{v_2},
\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\\end{pmatrix}}_{v_3},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}_{v_4},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}_{v_5},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}}_{v_6},
\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}_{v_7}
\right\}$[/mm]
>
> Anzahl der Basen [mm]B_0[/mm] mit [mm]|B_0| = dim(Span(B_0)) = 0[/mm] ist 1:
> [mm]B_0 = \left\{v_0\right\}[/mm]
>
> Anzahl der Basen [mm]B_1[/mm] mit [mm]|B_1| = dim(Span(B_1)) = 1[/mm] ist 7:
> Jeweils einer der Vektoren [mm]v_1,\ldots,v_7[/mm]
>
> Anzahl der Basen [mm]B_2[/mm] mit [mm]|B_2| = dim(Span(B_2)) = 2[/mm] ist
> ???:
> Ich kenne das Ergebnis, es lautet 7. Es sind Paare
> zueinander linear unabhängiger [mm]v_i, i \in \{1,\ldots,7\}[/mm].
> Nur wie komme ich auf 7? (Ohne alle möglichen
> aufzuschreiben, denn da kommen die Verwirrten wieder
> durcheinander und raus kommt plötzlich 8 )
>
> Anzahl der Basen [mm]B_3[/mm] mit [mm]|B_3| = dim(Span(B_3)) = 3[/mm] ist 1:
> Das sind die Einheitsvektoren:
> [mm]B_3 = \left\{v_4,v_2,v_1\right\}[/mm]
>
> Aber danke schon mal, ich bin schon viel schlauer... Für
> alle die es zufällig hierher verschlagen hat und noch nach
> guten Quellen suchen:
> Wurzelzieher Mathepedia
>
> Da steht alles relativ kompakt und relativ einfach.
>
> Liebe Grüße
> ~ pawlow
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 So 08.02.2009 | | Autor: | pawlow |
N'Abend!
> Aber es ist wirklcih nicht so wichtig, obgleich es manchmal
> ganz schön ist, das zu wissen.
Verstanden! Habe es sogleich vergessen und denke nicht weiter darüber nach!
> Wenn Du zu Verwirrung neigst, Dich überhaupt den ganzen
> Matrizenrechnereien geradeso gewachsen fühlst, dann rate
> ich zu der anderen Vorgehensweise.
Das Problem beim Matrizenrechnen ist das Verrechnen. Das mal 5 minus 3 mal das. Da ist plötzlich $4*3=15$! Prinzipiell habe ich solche Verfehlungen bereits beim ersten Zwischenschritt. Wenn ich DANN IRGENDWANN bei 17 mal das minus 53 mal dies bin, dann WEISS ich, dass ich mich verrechnet habe.
Fürs modulo-Rechnen habe ich mir das 1x1 bis zum 50x50 aufgeschrieben. Keine Verrechner mehr und es geht rambazamba! Kann ich jedem nur empfehlen!
> Ich rate dazu, überhaupt keine Spaltenumformungen zu
> machen, keine Spalten zu vertauschen, sondern alles mit
> Zeilenumformungen zu bewältigen.
Verstanden!
> Achtung: der Nullvektor ist nicht die Basis des VRes, der
> nur den Nullvektor enthält. Die Basis dieses Raumes ist die
> leere Menge. (Mach Dir keine schlaflosen Nächte drum.
> Schluck es und merk es Dir.)
Verstanden! Das ist genaus das, was ich will! Alles was nicht wichtig ist über Board! ;)
> Zu den VRen der Dimension zwei: zum Bilden der Basen
> stehen Dir ja 7 Vektoren zur Verfügung, aus denen man
> jeweils zwei auswählt. Überlege Dir, daß die gar nicht
> linear abhängig sein können. Ich bin kombinatorisch
> schwach, aber das sind 21 Möglichkeiten, wenn ich mich
> nicht irre. Also noch recht übersichtlich.
Verstanden! Und nein, du irrst dich nicht, es sind ${7 [mm] \choose [/mm] 2} = 21$ Möglichkeiten. Und die muss man noch durch 3 teilen. Anscheinend. Gibt es vielleicht [mm] $\frac{{8 \choose 2}}{4} [/mm] = 7$ mögliche Basen eines 2-dimensionalen Raumes in [mm] $(\IZ_2)^4$? [/mm] Dann hätte es ja System!
> Gruß v. Angela
Ebenfalls viele Grüße und einen schönen Abend noch...
~ pawlow
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> > Achtung: der Nullvektor ist nicht die Basis des VRes, der
> > nur den Nullvektor enthält. Die Basis dieses Raumes ist die
> > leere Menge. (Mach Dir keine schlaflosen Nächte drum.
> > Schluck es und merk es Dir.)
>
> Verstanden! Das ist genaus das, was ich will! Alles was
> nicht wichtig ist über Board! ;)
> > Zu den VRen der Dimension zwei: zum Bilden der Basen
> > stehen Dir ja 7 Vektoren zur Verfügung, aus denen man
> > jeweils zwei auswählt. Überlege Dir, daß die gar nicht
> > linear abhängig sein können. Ich bin kombinatorisch
> > schwach, aber das sind 21 Möglichkeiten, wenn ich mich
> > nicht irre. Also noch recht übersichtlich.
>
> Verstanden! Und nein, du irrst dich nicht, es sind [mm]{7 \choose 2} = 21[/mm]
> Möglichkeiten. Und die muss man noch durch 3 teilen.
Hallo,
eigentlich nicht.
Wenn nach den möglichen Basen für UVRe der dim 2 gefragt ist, kommen ja sämtliche zwei Vektoren, die nicht gerade der Nullvektor sind, als Basis infrage, denn es gibt in diesem VR ja keine zwei linear abhängigen Vektoren, es kann ja nicht einer das Vielfache des anderen sein, zum Multiplizieren stehen ja nur 1 und 0 zur Verfügung.
Also: Basen gibt es schon sehr viele, man muß bloß herausfinden, zu wievielen verschiedenen Unterräumen sie gehören, wie Du das machen kannst, habe ich ja schon gesagt. da siehst Du dann, ob Du die 7 verifizieren kannst.
Gruß v. Angela
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