Mannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Hier wird es , wie ich meine, ganz gut erklärt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit
http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbare_Mannigfaltigkeit
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred!
> Hier wird es , wie ich meine, ganz gut erklärt:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Mannigfaltigkeit
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbare_Mannigfaltigkeit
Diese Artikel habe ich alle schon gelesen.
Aber irgendwie helfen sie mir beim Verständnis der Definition nicht weiter ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Bei uns in der Vorlesung haben wir auch nicht über Karten und Atlas gesprochen.
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 17.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Bei uns in der Vorlesung haben wir auch nicht über Karten
> und Atlas gesprochen.
Die Diffeos aus deiner Definition sind sind die Karten - für jedes p hast du eine Trivialisierung, so dass eine Umgebung so aussieht wie ein [m]\IR^p[/m]. Also damit sehen alle Umgebungen lokal so aus. Man kann aus der Untermgf., die man hier eigentlich hat, eine normale Mg. wie im Wiki-Artikel machen, in dem man die Diffeos auf die Untermgf. einschränkt.
Vielleicht solltest du mal mehr Fragen stellen, was du genau nicht verstehst bzw. ein paar Aufgaben damit machen und sich so die def. ein zu üben.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Die Diffeos aus deiner Definition sind sind die Karten -
Hmm... und was genau sind diese Karten?
> für jedes p hast du eine Trivialisierung, so dass eine
> Umgebung so aussieht wie ein [m]\IR^p[/m].
Was bedeutet das, so auszusehen wie [mm] \IR_p [/mm] ?
[mm] \IR_p [/mm] ist ja irgeneine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] wo die Koordinaten p+1 bis n gleich 0 sind.
Aber wie soll sowas aussehen?
[mm] \IR_p [/mm] ist doch dann quasi nur ein p-dimensionaler Raum (also eigentlich ja noch ein n-dimensionaler, aber ein paar Koordinaten sind ja 0), wonach soll der denn aussehen?
Und wieso sieht die Umgebung so aus wie [mm] \IR_p [/mm] ? Das Bild des Diffeomorphismus ist doch [mm] $\IR_p \cup [/mm] W$, wo bleibt denn da das W?
Ach ja, wo in der Definition liest du das raus, dass die Umgebung so aussieht wie [mm] \IR_p [/mm] ?
> Also damit sehen alle
> Umgebungen lokal so aus.
Ja, hmm....
versteh ich wahrscheinlich erst, wenn ich verstanden habe, was aussehen wir [mm] \IR_p [/mm] bedeutet.
> Vielleicht solltest du mal mehr Fragen stellen, was du
> genau nicht verstehst
Ich weiß nicht, was ich fragen soll, weil ich wirklich einfach alles nicht verstehe. Die komplette Definition nicht.
Vielleicht könnten wir die mal Stück für Stück durchgehen?
> bzw. ein paar Aufgaben damit machen
> und sich so die def. ein zu üben.
Ich hab hier solche, wo ich zeigen soll, ob eine Menge eine [mm] C^k-Mannigfaltigkeit [/mm] ist.
Aber ich hab null Plan, wie ich das zeigen soll...
Wie soll ich zu jedem Punkt der Menge eine Umgebung und einen Diffeomorphismus finden, für den dann diese Abbildungbedingung gilt?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 17.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hmm... und was genau sind diese Karten?
Die hast du ins Spiel gebracht - die KArten aus den Wiki-Artikeln, die du erwähnt hast!
> > für jedes p hast du eine Trivialisierung, so dass eine
> > Umgebung so aussieht wie ein [m]\IR^p[/m].
>
> Was bedeutet das, so auszusehen wie [mm]\IR_p[/mm] ?
Was es genau bedeutet - das steht in der Definition! Aber das ist die informelle Vorstellung. Nehmen wir zB die Erdoberfläche. Lokal um jeden Punkt finden sich Koordinaten, so dass alle Punkte auf dieser Oberfläche sich 2-dimensional verhalten. Orte auf der Erdoberfläche sind durch Längen und Breitengrad genau ebstimmt - 2 dimensional. Diese Koordinaten sind aber nicht global eineutig, oder aber sie sind nicht über all konsistent und vor allem diff.bar abhängig von den Punkten.
Das heißt also, eine Untermgf. lässt sich lokal durch p-dimensionale Koordinaten darstellen. Das ist das, was der Diffeo macht.
> [mm]\IR_p[/mm] ist ja irgeneine Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] wo die
> Koordinaten p+1 bis n gleich 0 sind.
Den sollte man gedanklich aber gleich *dem* [mm]\IR^p[/mm] setzen. Dieser Raum gibt uns die lokalen p-dim Koordinaten um den Punkt.
> Aber wie soll sowas aussehen?
??? Wenn man die ![[]](/images/popup.gif) stereographische Projektion aufbläht, hat man ein nich-triviales Beispiel. Ein "trivial" Beispiel ist: sei [m]f:\IR^k\to \IR^l[/m] eine [m]C^k[/m] Funktion, dann ist [m]\{(x,f(x))|x\in \IR^k\}\subset \IR^{k+l}[/m] eine Untermgf. Denn nehme ich einen Punkt p in dieser Menge, als W den ganzen Raum, dann ist der gesuchte Diffeo [m]\phi:\IR^{k+l}\to\IR^{k+l}, (x,y)\mapsto (x,y-f(x))[/m].
Hattet ihr denn gar keine Beispiele?
> [mm]\IR_p[/mm] ist doch dann quasi nur ein p-dimensionaler Raum
> (also eigentlich ja noch ein n-dimensionaler, aber ein paar
> Koordinaten sind ja 0), wonach soll der denn aussehen?
Nach einem p-dim. Raum! Das ist ja genau die Idee - das komplizierte Konstrukt ist im Kleinen der einfach zu handelen [m]\IR^p[/m].
> Und wieso sieht die Umgebung so aus wie [mm]\IR_p[/mm] ? Das Bild
> des Diffeomorphismus ist doch [mm]\IR_p \cup W[/mm], wo bleibt denn
> da das W?
Äh, nein. Schau nochmal über die Definition, da wird geschnitten!
> Ach ja, wo in der Definition liest du das raus, dass die
> Umgebung so aussieht wie [mm]\IR_p[/mm] ?
Das der Schnitt der Untermgf. eben eine Teilmenge des [mm] [\IR^p[/m] [/mm] ist, man also , wenn man nah genug ran geht also p-dim Koordinaten hat.
> versteh ich wahrscheinlich erst, wenn ich verstanden habe,
> was aussehen wir [mm]\IR_p[/mm] bedeutet.
Das ist ein informeller Begriff, um "warum diese Def.?" klar zu machen.
> Ich weiß nicht, was ich fragen soll, weil ich wirklich
> einfach alles nicht verstehe. Die komplette Definition
> nicht.
Wenn du alle Einzelheiten der Def. verstehst, hast du sie formal verstanden. Verstehen sollte man eher "was soll das?" - an einer Def. gibt es nunmal nicht viel zu verstehen.
> Vielleicht könnten wir die mal Stück für Stück
> durchgehen?
Das musst du tun, aoll heißen: geh du sie Stück bei Stück durch und sag, was du nicht verstehst.
> Ich hab hier solche, wo ich zeigen soll, ob eine Menge eine
> [mm]C^k-Mannigfaltigkeit[/mm] ist.
Welche? Was habt ihr alles gemacht dazu? Welche Ideen hast du?
> Wie soll ich zu jedem Punkt der Menge eine Umgebung und
> einen Diffeomorphismus finden, für den dann diese
> Abbildungbedingung gilt?
Es gibt kein Schema F. Es gibt genug Sätze, die einen helfen (Satz vom regulären Wert zB)
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 17.02.2010 | | Autor: | gfm |
Also ich finde, der allgemeine Artikel über Mannigfaltigkeiten auf Wikipadia ist doch sehr gut zu lesen. Auch das Beispiel zur Erdoberfläche mit dem sphärischen und ebenen Dreieck ist sehr informativ. Erfahrungsgemäß braucht man (ich zumindest) ein wenig Zeit, um sich an die Konzepte zu gewöhnen. Das kommt aber am besten in der Anwendung.
Als wesentliche Motivation des "Wozu das ganze?": Man hat erkannt, dass es Strukturen (so nenne ich Mengen mit Zusatzeigenschaften, z.B. einer Topologie, Diffenzierbarkeitstruktur, Meßbarkeitsstruktur, ...) gibt, für die es bijektive Abbildungen in den [mm] \IR^n [/mm] gibt, sodass lokal, also im kleinen um den jeweils betrachteten Punkt herum, die Struktur wie ein [mm] \IR^n [/mm] aussieht. Diese bijektive Abbildung muß dabei zur "Struktur" passen, d.h. wenn eine Topologie vorhanden ist, vermittelt sie als stetige Abbildung zwischen der Topologie der Struktur und dem [mm] \IR^n. [/mm] Bijektiv deswegen, damit sie eineindeutig eine Koordinatentransformation bewirken kann.
Durch diese bijektiven Abbildungen lassen sich nun gewohnte Konzepte aus dem [mm] \IR^n [/mm] auf die Mannigfaltigkeit übertragen und verallgemeinern. Mit großen Erfolg findet dieses Konzept Anwendung in der Allg. Relativitätstheorie. Massen verformen dort die Raumtzeit im Extremfall zu schwarzen Löchern, Wurmlöchern, und jeder Menge anderer exotischer Dinge auf eine Weise, dass zwar lokal im kleinen der Raum als kleiner Ausschnitt des [mm] \IR^4 [/mm] (vier dimensionen wegen der Zeit) betrachtet werden kann, aber im großen (beim Durchgang durch ein Wurmloch z.B.) Geometrien in der Raumzeit erkennen läßt, die in einem Flachen [mm] \IR^4 [/mm] unmöglich sind.
Eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit braucht ebenso wie der [mm] \IR^n [/mm] unserer Anschaung drei "Zahlen", um einen "Ort" anzugeben. Aber: Die Mannigfaltigkeit insgesamt kann gegenüber dem [mm] \IR^3 [/mm] so verdreht, verformt, aufgeschnitten und anders herum wieder zusammengenäht sein und auch Löcher haben, dass es nicht möglich ist, die Mannigfaltigkeit als ganzes mit einer bijektiven stetigen auf den [mm] \IR^3 [/mm] abzubilden ohne das ein ausgedehntes Objekt in der Mannigfaltigkeit dabei zerreist.
Deswegen die Karten. Sie vermitteln die Koordinatentransformation zwischen Mannigfaltigkeit und einem Ausschnitt der [mm] \IR^n [/mm] für einen so großen Bereich der Mannigfaltigkeit, dass dabei nur eine Verformung eintritt.
Zum Verständnis darf man sich dabei durchaus ganz handfest das Verbiegen ohne Zerreissen vorstellen: Kreislinie und [mm] \IR^1. [/mm] Versuch doch mal die Kreislinie auf die Zahlengrade zu legen ohne Sie zu zerreisen. Das geht nicht. Du mußt sie aufschneiden. Also brauchst Du zwei Karten, also zwei Bereiche der Kreislinie, die in Vereinigung die Kreislinie ergeben und jeweils für jeden Bereich eine bijektive stetige Abbildung auf in die Zahlengerade [mm] (\IR^1).
[/mm]
Diese speziellen topologischen (, differenzierbaren,...) Eigenschaften der Mannigfaltigkeit sind in der Notwendigkeit der Angabe der Karten (also Teilmengen der Mannigfaltigkeit plus Abbildungen von dort in den [mm] \IR^n) [/mm] "codiert".
Hoffe das hilft ein bischen.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 17.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
Ich versuche mich auch einmal an einer Erklärung, denn ich finde, das einige Aspekte der formalen Definition noch nicht ausreichend erklärt wurden.
> Hallo!
>
> Ich verstehe unsere Definition einer Mannigfaltigkeit
> nicht...
>
> Sie lautet:
>
> Es seien [mm]k\in\IN\cup\{\infty\}, n\in\IN[/mm] und
> [mm]p\in\{1,...,n\}.[/mm] Eine Menge [mm]S\subseteq\IR^n[/mm] heißt
> p-dimensionale [mm]C^k-Mannigfaltigkeit,[/mm] falls es zu jedem [mm]q \in S[/mm]
> eine offene Umgebung V in [mm]\IR^n[/mm] und einen
> [mm]C^k-Diffeomorphismus[/mm] [mm]\Phi: V \to W[/mm] auf eine offene Menge W
> in [mm]\IR^n[/mm] gibt mit [mm]\Phi(S\cap V)=\IR_p \cap W[/mm] mit
> [mm]\IR_p:=\{(u,0)|u\in\IR^p\}\subseteq\IR^n[/mm]
>
> Also ich kann damit überhaupt nichts anfangen
>
> Was soll ich mir darunter vorstellen?
>
> Was genau bewirkt der Diffeomorphismus?
Nehmen wir diese Definition Stück für Stück auseinander. Der Wert $k$ interessiert mich zunächst mal gar nicht, darauf komme ich ganz am Schluss zurück.
Es geht los mit dem wohlbekannten [mm] $\IR^n$: [/mm] man betrachtet eine Teilmenge S, die eine ganz bestimmte Dimension [mm] $p\le [/mm] n$ haben soll. Eigentlich weiss man nicht so genau, was diese Dimension für eine beliebige Teilmenge bedeutet, es sei denn S ist ein Stück einer Gerade ($p=1$) oder einer Ebene ($p=2$) oder eines entsprechenden höherdimensionalen Analogons, einer Hyperebene der Dimension $p$; also alles irgendwie glatte, flache, nicht gekrümmte Gebilde.
Wie kommt man zu anderen Teilmengen des [mm] $\IR^n$, [/mm] wie kann man einem krummen Dings eine Dimension geben?
Nehmen wir das Beispiel der Kugeloberfläche im [mm] $\IR^3$. [/mm] Die ist ja nicht flach sondern gekrümmt. Aber: wenn man nur einen genügend kleinen Ausschnitt der Kugeloberfläche betrachtet, sieht dieser Ausschnitt ziemlich flach aus - nicht umsonst war die Erde im Mittelalter eine Scheibe! Diese Eigenschaft (kleiner Ausschnitt ist so gut wie flach) muss formalisiert werden.
Du kannst dir das so vorstellen, dass du ein (zunächst flaches) Gummituch nimmst, mit einer Koordinateneinteilung wie auf Millimeterpapier versiehst und es über den kleinen Ausschnitt der Kugeloberfläche spannst, sodass es fest aufliegt. Offensichtlich wird dabei das Gummituch deformiert. Durch diese Deformation wird eine bijekte Abbildung zwischen einer flachen Fläche (Gummituch am Anfang) und des Ausschnitts der Kugeloberfläche (Gummituch nach dem Aufspannen) definiert. Wenn du dabei vorsichtig genug vorgehst und keine Löcher in das Tuch reißt, ist diese Abbildung in beide Richtungen stetig und sogar ein paar Male stetig differenzierbar.
Die Koordinateneinteilung auf dem Gummituch überträgt sich auf den Ausschnitt, über den es gespannt ist; das ist ja wie das Netz der Längen-und Breitengrade auf einer Landkarte.
Vergleiche diesen Vorgang mit der Definition: Die Fläche, die das Gummituch am Anfang einnimmt, entspricht der Menge W, das Stück Kugeloberfläche, auf das es gespannt wurde, entspricht der Menge V, $n=3$ und $p=2$. Die Menge W sieht aus wie ein Stück des [mm] $\IR^2$, [/mm] hier aufgefasst als Teilmenge des [mm] $\IR^3$, [/mm] in der eine Koordinate imme 0 ist.
Hier haben wir nur einen Ausschnitt unserer Kugeloberfläche betrachtet. In der Definition steht nun, dass es um jeden Punkt $q$ der Menge $S$ einen solchen Ausschnitt gibt, und dass dieser jedem Fall auf ein flaches Stück der gleichen Dimension $p$ abgebildet werden kann. Das heisst also, dass jeder kleine Ausschnitt der Kugeloberfläche "fast" flach aussieht.
(Ein Gegenbeispiel wäre ein Kegel: denn für die Spitze des Kegels kann ich keine solche bijektive, in beide Richtungen stetig diff'bare Abbildung auf eine flache offene Menge finden. Egal was ich tue: die Spitze eines Kegels sieht auch aus der Nähe nicht flach aus.)
Hingegen ist die Kugeloberfläche als Ganzes keinesfalls flach; formal heisst das, dass es nicht möglich ist, die gesamte Kugeloberfläche bijektiv auf eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] abzubilden. Deswegen braucht man diese Aufteilung in Ausschnitte. Was man damit gewinnt: nun kann man die Differential- und Integralrechnung aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] auf (zum Beispiel) die Kugeloberfläche loslassen.
Eben habe ich geschrieben, dass die bijektive Abbildung "ein paar Mal stetig diff'bar" ist. Wie oft, lässt sich natürlich feststellen, und das bezeichnet man dann mit der Zahl $k$: bei einer [mm] $C^k$-Mannigfaltigkeit [/mm] ist die Deformation unserer Gummitücher immer mindestens $k$-mal stetig diff'bar. Man betrachtet gerne den Fall, bei dem diese Abbildungen beliebig oft diff'bar sind, das sind dann [mm] $C^\infty$-Mannigfaltigkeiten.
[/mm]
Zusammengefasst: eine Manngifaltigkeit ist ein irgendeine Menge, deren kleine Ausschnitte "fast flach sind" (genauer gesagt, per Diffeomorphismus auf ein flaches Stück Raum abgebildet werden können), und deren Dimension überall gleich ist.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 18.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Sie hat mir auf jeden Fall geholfen!
Ein paar Fragen hab ich dennoch:
> Nehmen wir das Beispiel der Kugeloberfläche im [mm]\IR^3[/mm]. Die
> ist ja nicht flach sondern gekrümmt. Aber: wenn man nur
> einen genügend kleinen Ausschnitt der Kugeloberfläche
> betrachtet, sieht dieser Ausschnitt ziemlich flach aus -
> nicht umsonst war die Erde im Mittelalter eine Scheibe!
> Diese Eigenschaft (kleiner Ausschnitt ist so gut wie flach)
> muss formalisiert werden.
OK.
> Du kannst dir das so vorstellen, dass du ein (zunächst
> flaches) Gummituch nimmst, mit einer Koordinateneinteilung
> wie auf Millimeterpapier versiehst und es über den kleinen
> Ausschnitt der Kugeloberfläche spannst, sodass es fest
> aufliegt. Offensichtlich wird dabei das Gummituch
> deformiert. Durch diese Deformation wird eine bijekte
> Abbildung zwischen einer flachen Fläche (Gummituch am
> Anfang) und des Ausschnitts der Kugeloberfläche (Gummituch
> nach dem Aufspannen) definiert. Wenn du dabei vorsichtig
> genug vorgehst und keine Löcher in das Tuch reißt, ist
> diese Abbildung in beide Richtungen stetig und sogar ein
> paar Male stetig differenzierbar.
Die Verformung des Gummituches auf eine spezielle Art (hier: Spannen des Tuches über ein Kugel) ist also quasi die Abbildungsvorschrift?
Und das Ziel ist es dann quasi, um die Kugel zu "verflachen", das verformte Gummituch auf ein flaches Gummituch abzubilden?
> Die Koordinateneinteilung auf dem Gummituch überträgt
> sich auf den Ausschnitt, über den es gespannt ist; das ist
> ja wie das Netz der Längen-und Breitengrade auf einer
> Landkarte.
Wird die Koordinateneinteilung des Gummituches verzerrt wenn ich es über die Kugel spanne?
Oder behalte ich in allen Dimensionen die gleiche unverzerrte Koordinateneinteilung?
> Vergleiche diesen Vorgang mit der Definition: Die Fläche,
> die das Gummituch am Anfang einnimmt, entspricht der Menge
> W, das Stück Kugeloberfläche, auf das es gespannt wurde,
> entspricht der Menge V, [mm]n=3[/mm] und [mm]p=2[/mm]. Die Menge W sieht aus
> wie ein Stück des [mm]\IR^2[/mm], hier aufgefasst als Teilmenge des
> [mm]\IR^3[/mm], in der eine Koordinate imme 0 ist.
Also so ganz blicke ich durch die Abbildungsvorschrift noch nicht durch.
Ich habe den Diffeomorphismus [mm] $\Phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W$.
S ist die Kugeloberfläche.
Was meinst du mit "Die Fläche die das Gummituch am Anfang einnimmt, entspricht der Menge W"?
Meinst du die Fläche der Kugel, über die das Tuch gespannt ist?
Oder die flache Form des Gummituches?
Also wenn der Diffeo von V nach W abbildet, würde ich sagen, W ist das komplette Gummituch in flacher Form.
Stimmt das?
Und warum ist V ein Stück Kugeloberfläche?
Es muss ja nur eine Umgebung eines Punktes der Kugeloberfläche sein, kann die Umgebung auch "aus der Kugeloberfläche raus-/reinragen?
Weil sonst bräuchte ich doch eingentlich nicht den Schnitt von S mit V abbilden, oder?
Und wenn V jetzt noch mehr wäre als etwas der Kugeloberfläche, dann würde der Schnitt ja bewirken, dass ich wirklich nur ein Stück der Kugeloberfläche abbilde, oder?
Und warum ist das Bild des Schnittes (also des Stück Kugeloberfläche) unter der Abbildung der Schnitt von W mit dem [mm] \IR^p?
[/mm]
> Hier haben wir nur einen Ausschnitt unserer
> Kugeloberfläche betrachtet. In der Definition steht nun,
> dass es um jeden Punkt [mm]q[/mm] der Menge [mm]S[/mm] einen solchen
> Ausschnitt gibt, und dass dieser jedem Fall auf ein flaches
> Stück der gleichen Dimension [mm]p[/mm] abgebildet werden kann.
Woher weiß ich, dass wenn ich in einem Raum der Dimension p abbilde, der nun nicht der [mm] \IR^2 [/mm] ist, dass das Ausgangsobjekt auf etwas Flaches abbgebildet wird (was ist flach im z.B. [mm] \IR^5 [/mm] ?)
Ich weiß zwar, das ein paar Komponenten 0 werden, aber woher weiß ich, dass ich nicht immer noch auf was Krummes abgebildet habe?
> Das
> heisst also, dass jeder kleine Ausschnitt der
> Kugeloberfläche "fast" flach aussieht.
Wieso nur "fast" flach aussieht?
Gerade hast du doch gesagt, dass wir auf etwas Flaches abbilden.
Wenn ich das Tuch über die Kugel spanne, die Kugel auf das Tuch "kopiere" und das Tuch wieder abnehme und flach hinlege (tu ich doch, oder? Betrachte ich die richtige Richtung?), dann sehe ich doch auch etwas Flaches, und nicht etwas fast Flaches.
> (Ein Gegenbeispiel wäre ein Kegel: denn für die Spitze
> des Kegels kann ich keine solche bijektive, in beide
> Richtungen stetig diff'bare Abbildung auf eine flache
> offene Menge finden. Egal was ich tue: die Spitze eines
> Kegels sieht auch aus der Nähe nicht flach aus.)
Ist die Spitze nicht nur ein Punkt und müsste dieser für sich alleine nicht flach sein?
Oder geht das nicht, wegen der Umgebung um den Punkt drum herum, die ich flach machen will?
> Was man damit gewinnt: nun kann man die
> Differential- und Integralrechnung aus dem [mm]\IR^n[/mm] auf (zum
> Beispiel) die Kugeloberfläche loslassen.
Hmm, du meinst um Dinge konkret auszurechnen?
Hast du vielleicht ein Beispiel, was man zum Beispiel gerne berechnen wollen könnte?
> Eben habe ich geschrieben, dass die bijektive Abbildung
> "ein paar Mal stetig diff'bar" ist. Wie oft, lässt sich
> natürlich feststellen, und das bezeichnet man dann mit der
> Zahl [mm]k[/mm]: bei einer [mm]C^k[/mm]-Mannigfaltigkeit ist die Deformation
> unserer Gummitücher immer mindestens [mm]k[/mm]-mal stetig
> diff'bar. Man betrachtet gerne den Fall, bei dem diese
> Abbildungen beliebig oft diff'bar sind, das sind dann
> [mm]C^\infty[/mm]-Mannigfaltigkeiten.
Ich habe noch nicht so recht verstanden, wofür genau ich die Differenzierbarkeit brauche.
Ok, stetig, damit keine Löcher im Tuch sind.
(Meinst du damit, z.B. bei Weltkugel und Landkarte, dass jeder Ort der Kugel auch auf die Landkarte abgebildet werden kann, was nicht mehr gehen würde, wenn an der Stelle der Landkarte, wo die Stadt A eigentlich hinmüsste, ein Löch wäre? Und die Umkehrung - weil bijektiv - würde ja auch nicht gehen, weil ich nicht von einem Loch aus abbilden kann?).
Gut, nach dem k-ten mal ableiten soll das Gummituch immer noch stetig sein (wegen den Löchern?), aber ich habe noch nicht erkannt, wofür die Abbildung differenzierbar sein muss.
In einen Raum niedrigerer Dimension kann ich doch auch ohne Differenzierbarkeit abbilden...
> Zusammengefasst: eine Manngifaltigkeit ist ein irgendeine
> Menge, deren kleine Ausschnitte "fast flach sind" (genauer
> gesagt, per Diffeomorphismus auf ein flaches Stück Raum
> abgebildet werden können), und deren Dimension überall
> gleich ist.
Auch hier wieder: "fast flach sind" aber "auf ein flaches Stück abgebildet werden".
Das mit dem "fast" bringt mich irgendwie noch durcheinander.
LG und vielen Dank, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Do 18.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
> Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
> Sie hat mir auf jeden Fall geholfen!
>
> Ein paar Fragen hab ich dennoch:
>
>
>
> > Nehmen wir das Beispiel der Kugeloberfläche im [mm]\IR^3[/mm]. Die
> > ist ja nicht flach sondern gekrümmt. Aber: wenn man nur
> > einen genügend kleinen Ausschnitt der Kugeloberfläche
> > betrachtet, sieht dieser Ausschnitt ziemlich flach aus -
> > nicht umsonst war die Erde im Mittelalter eine Scheibe!
> > Diese Eigenschaft (kleiner Ausschnitt ist so gut wie flach)
> > muss formalisiert werden.
>
> OK.
>
>
>
> > Du kannst dir das so vorstellen, dass du ein (zunächst
> > flaches) Gummituch nimmst, mit einer Koordinateneinteilung
> > wie auf Millimeterpapier versiehst und es über den kleinen
> > Ausschnitt der Kugeloberfläche spannst, sodass es fest
> > aufliegt. Offensichtlich wird dabei das Gummituch
> > deformiert. Durch diese Deformation wird eine bijekte
> > Abbildung zwischen einer flachen Fläche (Gummituch am
> > Anfang) und des Ausschnitts der Kugeloberfläche (Gummituch
> > nach dem Aufspannen) definiert. Wenn du dabei vorsichtig
> > genug vorgehst und keine Löcher in das Tuch reißt, ist
> > diese Abbildung in beide Richtungen stetig und sogar ein
> > paar Male stetig differenzierbar.
>
> Die Verformung des Gummituches auf eine spezielle Art
> (hier: Spannen des Tuches über ein Kugel) ist also quasi
> die Abbildungsvorschrift?
Ja.
> Und das Ziel ist es dann quasi, um die Kugel zu
> "verflachen", das verformte Gummituch auf ein flaches
> Gummituch abzubilden?
Genau.
>
> > Die Koordinateneinteilung auf dem Gummituch überträgt
> > sich auf den Ausschnitt, über den es gespannt ist; das ist
> > ja wie das Netz der Längen-und Breitengrade auf einer
> > Landkarte.
>
> Wird die Koordinateneinteilung des Gummituches verzerrt
> wenn ich es über die Kugel spanne?
Ja.
> Oder behalte ich in allen Dimensionen die gleiche
> unverzerrte Koordinateneinteilung?
Nein. Die Kugeloberfläche ist ein besonders regelmäßiges Beispiel; im Allgemeinen bekommst du an jeder Stelle einer andere Verzerrung.
>
>
>
> > Vergleiche diesen Vorgang mit der Definition: Die Fläche,
> > die das Gummituch am Anfang einnimmt, entspricht der Menge
> > W, das Stück Kugeloberfläche, auf das es gespannt wurde,
> > entspricht der Menge V, [mm]n=3[/mm] und [mm]p=2[/mm]. Die Menge W sieht aus
> > wie ein Stück des [mm]\IR^2[/mm], hier aufgefasst als Teilmenge des
> > [mm]\IR^3[/mm], in der eine Koordinate imme 0 ist.
>
> Also so ganz blicke ich durch die Abbildungsvorschrift noch
> nicht durch.
> Ich habe den Diffeomorphismus [mm]\Phi: V \to W[/mm].
> S ist die
> Kugeloberfläche.
>
> Was meinst du mit "Die Fläche die das Gummituch am Anfang
> einnimmt, entspricht der Menge W"?
> Meinst du die Fläche der Kugel, über die das Tuch
> gespannt ist?
> Oder die flache Form des Gummituches?
> Also wenn der Diffeo von V nach W abbildet, würde ich
> sagen, W ist das komplette Gummituch in flacher Form.
> Stimmt das?
>
> Und warum ist V ein Stück Kugeloberfläche?
> Es muss ja nur eine Umgebung eines Punktes der
> Kugeloberfläche sein, kann die Umgebung auch "aus der
> Kugeloberfläche raus-/reinragen?
> Weil sonst bräuchte ich doch eingentlich nicht den
> Schnitt von S mit V abbilden, oder?
> Und wenn V jetzt noch mehr wäre als etwas der
> Kugeloberfläche, dann würde der Schnitt ja bewirken, dass
> ich wirklich nur ein Stück der Kugeloberfläche abbilde,
> oder?
Ja, da hast du recht. Die Fläche der Kugel, über die das Gummituch gespannt ist, ist die Menge [mm] $S\cap [/mm] V$, und das flache Gummituch ist [mm] $\IR_p\cap [/mm] W$.
>
> Und warum ist das Bild des Schnittes (also des Stück
> Kugeloberfläche) unter der Abbildung der Schnitt von W mit
> dem [mm]\IR^p?[/mm]
OK, das habe ich nicht richtig erklärt. Du nimmst einen Punkt [mm] $q\in [/mm] S$, also einen Punkt auf der Kugeloberfläche und betrachtest eine Umgebung dieses Punktes im [mm] $\IR^3$, [/mm] sagen wir V sei eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung. [/mm] Diese [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] ist eine offene Kugel vom Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] um dem Punkt $q$. Dann ist [mm] $V\cap [/mm] S$ ein kleines Stück Kugeloberfläche. Der Diffeom. [mm] $\Phi$ [/mm] bildet zunächst mal V auf W ab. Der Trick dabei ist nun, dass das Stück Kugeloberfläche [mm] $V\cap [/mm] S$ von [mm] $\Phi$ [/mm] auf ein flaches Stück abgebildet wird, nämlich genau der Schnitt der (Hyper-)Ebene [mm] $\IR_p$ [/mm] mit W.
>
>
>
> > Hier haben wir nur einen Ausschnitt unserer
> > Kugeloberfläche betrachtet. In der Definition steht nun,
> > dass es um jeden Punkt [mm]q[/mm] der Menge [mm]S[/mm] einen solchen
> > Ausschnitt gibt, und dass dieser jedem Fall auf ein flaches
> > Stück der gleichen Dimension [mm]p[/mm] abgebildet werden kann.
>
>
>
> Woher weiß ich, dass wenn ich in einem Raum der Dimension
> p abbilde, der nun nicht der [mm]\IR^2[/mm] ist, dass das
> Ausgangsobjekt auf etwas Flaches abbgebildet wird (was ist
> flach im z.B. [mm]\IR^5[/mm] ?)
Gemeint ist immer ein Stück einer Hyperebene, und die ist flach.  In der Definition ist [mm] $\IR_p$ [/mm] diejenige p-dimensionale Hyperebene, die sich ergibt, wenn ich alle Koordinaten von [mm] $p+1\dots [/mm] n$ 0 setze. Wenn du eine 2-dim. Mannigfaltigkeit im [mm] $\IR^5$ [/mm] hast, also $p=2$, so ist [mm] $\IR_2$ [/mm] die [mm] $(x_1,x_2)$-Ebene.
[/mm]
> Ich weiß zwar, das ein paar Komponenten 0 werden, aber
> woher weiß ich, dass ich nicht immer noch auf was Krummes
> abgebildet habe?
Wie eben schon gesagt, ist der Ausschnitt [mm] $\IR_p\cap [/mm] W$ der Hyperebene [mm] $\IR_p$ [/mm] flach. Da
[mm] $\Phi$ [/mm] eine bijektive Abbildung ist, gibt es eine 1-zu-1-Korrespondenz der Punkte im dem flachen Stück [mm] $\IR_p\cap [/mm] W$ zu den Punkten von [mm] $S\cap [/mm] V$. Es kann also nicht passieren, dass du auf eine nicht flache Teilmenge abbildest
>
> > Das
> > heisst also, dass jeder kleine Ausschnitt der
> > Kugeloberfläche "fast" flach aussieht.
>
> Wieso nur "fast" flach aussieht?
> Gerade hast du doch gesagt, dass wir auf etwas Flaches
> abbilden.
> Wenn ich das Tuch über die Kugel spanne, die Kugel auf
> das Tuch "kopiere" und das Tuch wieder abnehme und flach
> hinlege (tu ich doch, oder? Betrachte ich die richtige
> Richtung?), dann sehe ich doch auch etwas Flaches, und
> nicht etwas fast Flaches.
Korrekt. Aber zwischen dem über die Kugel gespannten Tuch und dem flach hingelegten Tuch steht immer noch eine Deformation. Ein Ausschnitt der Kugeloberfläche ist nicht wirklich flach.
>
>
>
> > (Ein Gegenbeispiel wäre ein Kegel: denn für die Spitze
> > des Kegels kann ich keine solche bijektive, in beide
> > Richtungen stetig diff'bare Abbildung auf eine flache
> > offene Menge finden. Egal was ich tue: die Spitze eines
> > Kegels sieht auch aus der Nähe nicht flach aus.)
>
> Ist die Spitze nicht nur ein Punkt und müsste dieser für
> sich alleine nicht flach sein?
> Oder geht das nicht, wegen der Umgebung um den Punkt drum
> herum, die ich flach machen will?
Richtig. Du kannst keine differenzierbare Abbildung finden.
>
>
>
> > Was man damit gewinnt: nun kann man die
> > Differential- und Integralrechnung aus dem [mm]\IR^n[/mm] auf (zum
> > Beispiel) die Kugeloberfläche loslassen.
>
> Hmm, du meinst um Dinge konkret auszurechnen?
> Hast du vielleicht ein Beispiel, was man zum Beispiel
> gerne berechnen wollen könnte?
Stell dir vor, du hast auf der Kugeloberfläche eine Funktion [mm] $f:V\to \IR$ [/mm] definiert, deren Maximum du bestimmen willst. Im Prinzip hast du also ein Extermwehrproblem mit der Nebenbedingung, dass nur Punkte auf der Kugeloberfläche betrachtet wrden. Mit Hilfe deines Diffeomorphismus [mm] $\Phi$ [/mm] kannst du die Funktion [mm] $\tilde [/mm] f = [mm] f\circ \Phi^{-1} :W\to \IR$ [/mm] nehmen und deren Maximum bestimmen. (Praktisch heisst das hier, dass du statt der Funktion $f(x,y,z)$ mit der Nebenbedingung [mm] $x^2+y^2+z^2=r^2$ [/mm] die entsprechende Funktion [mm] $\tilde f(r,\theta,\phi)$ [/mm] in Polarkoordinaten nimmst und das Maximum für den festen Wert von r bestimmst.)
>
> > Eben habe ich geschrieben, dass die bijektive Abbildung
> > "ein paar Mal stetig diff'bar" ist. Wie oft, lässt sich
> > natürlich feststellen, und das bezeichnet man dann mit der
> > Zahl [mm]k[/mm]: bei einer [mm]C^k[/mm]-Mannigfaltigkeit ist die Deformation
> > unserer Gummitücher immer mindestens [mm]k[/mm]-mal stetig
> > diff'bar. Man betrachtet gerne den Fall, bei dem diese
> > Abbildungen beliebig oft diff'bar sind, das sind dann
> > [mm]C^\infty[/mm]-Mannigfaltigkeiten.
>
> Ich habe noch nicht so recht verstanden, wofür genau ich
> die Differenzierbarkeit brauche.
>
> Ok, stetig, damit keine Löcher im Tuch sind.
>
> (Meinst du damit, z.B. bei Weltkugel und Landkarte, dass
> jeder Ort der Kugel auch auf die Landkarte abgebildet
> werden kann, was nicht mehr gehen würde, wenn an der
> Stelle der Landkarte, wo die Stadt A eigentlich hinmüsste,
> ein Löch wäre? Und die Umkehrung - weil bijektiv - würde
> ja auch nicht gehen, weil ich nicht von einem Loch aus
> abbilden kann?).
>
> Gut, nach dem k-ten mal ableiten soll das Gummituch immer
> noch stetig sein (wegen den Löchern?), aber ich habe noch
> nicht erkannt, wofür die Abbildung differenzierbar sein
> muss.
>
> In einen Raum niedrigerer Dimension kann ich doch auch ohne
> Differenzierbarkeit abbilden...
Zum Beispiel, damit Strecken ohne Knick nicht auf Strecken mit Knick abgebildet werden. Die Kegelspitze ist eine schönes Beispiel: eine stetige Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] könnte ich finden, aber dann würde ein gerader Weg, der über das Bild der Kegelspitze führt, von [mm] $\Phi^{-1}$ [/mm] auf einen Weg mit einem Knick an der Spitze abgebildet.
Es spricht nichts prinzipiell dageben, so etwas zu machen, aber Differentialrechnung kannst du damit nicht treiben
>
>
>
> > Zusammengefasst: eine Manngifaltigkeit ist ein irgendeine
> > Menge, deren kleine Ausschnitte "fast flach sind" (genauer
> > gesagt, per Diffeomorphismus auf ein flaches Stück Raum
> > abgebildet werden können), und deren Dimension überall
> > gleich ist.
>
> Auch hier wieder: "fast flach sind" aber "auf ein flaches
> Stück abgebildet werden".
> Das mit dem "fast" bringt mich irgendwie noch
> durcheinander.
"Flach" kann verschiedene Dinge bedeuten, deswegen wollte ich nicht sagen, dass die Kugeloberfläche flach ist.
Ich schreibe besser "durch Deformation eines Gummituchs": genügend kleine Stücke einer Mannigfaltigkeit kann ich durch so eine Deformation zu einer flachen Fläche machen.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 18.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Verformung des Gummituches auf eine spezielle Art
> (hier: Spannen des Tuches über ein Kugel) ist also quasi
> die Abbildungsvorschrift?
Im Wesentlichen. Bei deiner Definition musst du aber aufpassen: du bildest ja ganze Umgebungen des Raumes ab, also ist deine Abbildung auf offenen Mengen definiert, also mehr als auf dem Gummiband. Wenn du die Abbildung aber einschränkst auf die Mgf., dann stimmt das mit dem Gummi ganz genau.
> Und das Ziel ist es dann quasi, um die Kugel zu
> "verflachen", das verformte Gummituch auf ein flaches
> Gummituch abzubilden?
Genau. Unser Gummi wird zu einem Teil der Hyperebene.
> Wird die Koordinateneinteilung des Gummituches verzerrt
> wenn ich es über die Kugel spanne?
Was meisnt du damit? Durch deine Abbildung sind diese Koordinaten gegeben. Diese Koordinaten sehen verzerrt aus, durch die Abbildung. Aber was die Verzerrung genau ist, ist ein weiteres Thema - stell das hitnen an, wenn du noch kein Gefühl für die grundlegenden Sachen hast.
> Oder behalte ich in allen Dimensionen die gleiche
> unverzerrte Koordinateneinteilung?
???
> Was meinst du mit "Die Fläche die das Gummituch am Anfang
> einnimmt, entspricht der Menge W"?
> Meinst du die Fläche der Kugel, über die das Tuch
> gespannt ist?
Wohl eher das Gummituch geschnitten mit der Hyperebene.
> Oder die flache Form des Gummituches?
Die flache Form, nehm ich an.
> Also wenn der Diffeo von V nach W abbildet, würde ich
> sagen, W ist das komplette Gummituch in flacher Form.
> Stimmt das?
Ja, das Gummituch wird komplett flach.
> Und warum ist V ein Stück Kugeloberfläche?
V geschnitten mit der Kugeoberfläche - das ist dein Gummiband, nicht ganz V.
> Es muss ja nur eine Umgebung eines Punktes der
> Kugeloberfläche sein, kann die Umgebung auch "aus der
> Kugeloberfläche raus-/reinragen?
Sie muss es sogar.
> Weil sonst bräuchte ich doch eingentlich nicht den
> Schnitt von S mit V abbilden, oder?
Genau. Gut die Lücken aufgedeckt! :p
> Und wenn V jetzt noch mehr wäre als etwas der
> Kugeloberfläche, dann würde der Schnitt ja bewirken, dass
> ich wirklich nur ein Stück der Kugeloberfläche abbilde,
> oder?
Genau.
> Und warum ist das Bild des Schnittes (also des Stück
> Kugeloberfläche) unter der Abbildung der Schnitt von W mit
> dem [mm]\IR^p?[/mm]
Weil dies genau nach Definition der Mgf. gelten muss - wenn es solche Abbildungen gibt, dann hast du eine Mgf. Das muss nicht für jede Menge gelten. Hier gilt es aber. Glück gehabt.
Du fragst dich sicher, warum man mehr als das Gummituch abbildet - das hat viele technsiche Gründe, vor allem: so weiß man, was dfferenzierbar heissen soll. Wenn du nur eine Teilmenge des [m]\IR^n[/m] hast, die nicht offen ist - was sollen diffbare Funktionen darauf sein? (Kann man alles definieren, aber das würde dich genauso veriwrren, glaub ich)
> Woher weiß ich, dass wenn ich in einem Raum der Dimension
> p abbilde, der nun nicht der [mm]\IR^2[/mm] ist, dass das
> Ausgangsobjekt auf etwas Flaches abbgebildet wird (was ist
> flach im z.B. [mm]\IR^5[/mm] ?)
Das ist die Definiton der Abbildung!
> Ich weiß zwar, das ein paar Komponenten 0 werden, aber
> woher weiß ich, dass ich nicht immer noch auf was Krummes
> abgebildet habe?
Weil der Raum [m]\IR^p[/m] um 0 herum voll ausgefüllt ist (beachte die Eigenschaft zum Schnitt!). Was soll krumm heißen? Stellen wir das hinten an - du hast p-dim Koordinaten. Also für das Gummituch 2-dimenionale Koordinaten.
> Wieso nur "fast" flach aussieht?
Die Wahrheit ist: flach ist in diesem Bereich ein gesetzter Begriff, der etwas anderes bedeutet, als wir ihn hier verwenden. Flach soll hier heissen: lokal durch p-dim Koordinaten darstellbar. Sieht so aus wie ein kleiner [m]\IR^p[/m]. Also flach.
(Flach ist eine Eigenschaft der Mgf. an dem Punkt, die besagt, dass es um den Punkt die Mgf. tatsächlich eine Hyperbene ist, und nciht erst zu einer deformiert werden muss. Krumm ist sie, da wir die flache Hyperebene verbiegen mussten. Positiv gekrümmt ist die Erdoberfläche, da wir das Gummiband stauchen, also eigentlich zu viel Material haben.)
> Ist die Spitze nicht nur ein Punkt und müsste dieser für
> sich alleine nicht flach sein?
Du kannst für den Punkt einfach keine gewünschte Abbildung angeben.
> Oder geht das nicht, wegen der Umgebung um den Punkt drum
> herum, die ich flach machen will?
Genau - das ist der springende Punkt. Ohne den Umgebungsbalast könnte man perfide etwas machen. Wenn es nur stetig sein soll, also nicht mal einmal diffbar, dann findet sich allerdings so eine Trivialiserung, aber eben keine diffbare Funktion, die das macht.
> Hmm, du meinst um Dinge konkret auszurechnen?
Zum Beispiel.
> Hast du vielleicht ein Beispiel, was man zum Beispiel
> gerne berechnen wollen könnte?
Die Fläche der Oberfläche. Oder du hast eine diffbare Temperaturverteilung, die du "mittlen" willst, also integrieren.
> Ich habe noch nicht so recht verstanden, wofür genau ich
> die Differenzierbarkeit brauche.
Brauchen - nun, brauchen tut man es nicht. Es würde stetig reiche, ja, man kann es so machen. Aber - man verliert einiges. Um ein Integral auf diesen Mgf. zu defnieren wird man einsehen, dass man diese Karten eben diff.bar wählen muss.
> Ok, stetig, damit keine Löcher im Tuch sind.
Diff.bar braucht man, wenn man mehr mit diesen Objekt anstellen will - das kommt sozusagen noch.
> (Meinst du damit, z.B. bei Weltkugel und Landkarte, dass
> jeder Ort der Kugel auch auf die Landkarte abgebildet
> werden kann, was nicht mehr gehen würde, wenn an der
> Stelle der Landkarte, wo die Stadt A eigentlich hinmüsste,
> ein Löch wäre? Und die Umkehrung - weil bijektiv - würde
> ja auch nicht gehen, weil ich nicht von einem Loch aus
> abbilden kann?).
???
Also du brauchst mehr als eine Landkarte für die Erde. Aber für jede Landkarte, die nur einen Ausschnitt beschreibt, ist es bijektiv.
> In einen Raum niedrigerer Dimension kann ich doch auch ohne
> Differenzierbarkeit abbilden...
Richtig, gut erkannt. Es gibt a priori keinen Grund. Aber, mal ehrlich - wieviele Sätze kennst du für diffbare Funtionen? Wieviele für nur stetige? Welche Funktionen sind dir lieber? Du wirst sehen - man wird mehr machen können, wenn diese Karten diff.bar sind. Taylorapproximation, Transformationssatz etc pp.
> Das mit dem "fast" bringt mich irgendwie noch
> durcheinander.
Du kannst es nicht verstehn, weil du nicht weißt, was flach normalerweise in diesem Konetxt wirklich bedeutet. Wenn es dich nicht stört, dass flach irgendwann etwas anderes bedeuten wird - dann sind diese Stücke flach. Es fehlen noch Begriffe wie Tangentialraum, um das zu präzisieren.
SEcki
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