Mantelfläche Rotationskörper < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 12.02.2016 | | Autor: | abc1235 |
Hallo ich hätte mal eine allgemeine Frage.
Das Volumen von Rotationskörpern berechnet man ja indem man den Rotationskörper in unendlich viele unendlich schmale Zylinder zerlegt, deren Volumina berechnet und alle addiert.
Warum aber funktioniert dies bei der Mantelfläche nicht? Was man hier tut ist ja die Mantelfläche von Kegelstümpfen berechnen und addieren. Aber wieso kann man hier nicht analog zum Volumen vorgehen und die Mantelflächen einzelner Zylinder addieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Doch sicher, man kann analog vorgehen. Analog heißt aber nicht, dass man das in Zylinder schneiden kann - die Oberfläche des Rotationskörpers ist ja nicht treppenförmig.
Trotzdem: Schneide den Rotationskörper in kleine Scheibchen der Dicke dx, und überlege dir die Oberfläche. Dazu skizziere dir mal den Graphen von f(x) in der Ebene. Zwischen x und x+dx ist das angenähert eine Strecke zwischen (x, f(x)) und (x+dx, f(x)+f'(x)dx). Diese Strecke hat die Länge
[mm] \wurzel{(dx)^{2}+(f '(x)dx)^{2}}=\wurzel{1+(f'(x))^{2}}dx
[/mm]
Das musst du nun noch mit der Länge des Kreises um die x-Achse herum multiplizieren [mm] (2\pi [/mm] f(x)) und integrieren, dann hast du die Oberfläche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 12.02.2016 | | Autor: | abc1235 |
Ja das leuchtet mir schon ein, ist ja genau das mit den Kegelstümpfen.
Vielleicht sollte ich meine Frage andersrum formulieren:
Wieso reicht es beim berechnen des Volumens von Zylindern auszugehen? Wieso geht man hier nicht auch von solchen Kegelstümpfen aus, deren Volumen man dann berechnet? Schließlich entspricht die Form der Zylinder dabei auch nicht dem innerhalb des Rotationskörpers.
Außerdem zu deiner Antwort: Wieso reicht es die Länge der Kegelstumpfseite mit [mm] 2\pi\*f(x) [/mm] zu multiplizieren?
Der mittlere Radius eines solchen Kegelstumpfes wäre ja:
[mm] \overline{r}=\bruch{r_{1}+r_{2}}{2}
[/mm]
Mit [mm] r_{1}=f(x) [/mm] und [mm] r_{2}=f(x)+dy=f(x)+f'(x)dx [/mm] folgt dann:
[mm] \overline{r}=\bruch{2\*f(x)+f'(x)dx}{2}
[/mm]
Der mittlere Umfang wäre dann:
[mm] \overline{U}=\overline{r}\*2\pi=(2\*f(x)+f'(x)dx)\*\pi
[/mm]
Das würde ich dann mit der Länge multiplizieren um den Mantel eines Kegelstumpfes zu erhalten.
Ich habe dazu dieses Video gefunden:
https://www.youtube.com/watch?v=jADKgzMjFsE
Da wird angenommen, dass der mittlere Radius gleich f(x) ist und in einem anderen Video auf dem Kanal wird gesagt, dass, da der Kegelstumpf unendlich dünn ist, die zwei Radien an den Enden identisch sind, was ja quasi die gleiche Aussage ist. Aber eigentlich ändert sich der Radius ja um f'(x)dx. Ich verstehe nicht wieso man das hier vernachlässigt und bei der Betrachtung der Länge nicht.
In dem Video wird auch meine Frage beantwortet (bei 2:40), jedoch leuchtet mir das nicht ein. Woher soll ich wissen, dass bei dem Volumen der fehlende Teil bei Zerlegung in Zylinder (ausreichend) vernachlässigbar klein ist, bei der Oberfläche jedoch nicht?
EDIT: Eine Idee die ich gerade zu meiner Frage mit dem mittleren Radius und der Länge hatte:
bei f(x)+f'(x)dx bzw. f(x)+dy ist dy sehr klein verglichen mit f(x), vielleicht kann man es deshalb wegfallen lassen?
Bei der Länge hingegen wäre diese bei einem Zylinder einfach nur dx bei dem Kegelstumpf wäre sie [mm] \wurzel{dx^{2}+dy^{2}}. [/mm] Hier ist dy nicht vernachlässigbar, da es verglichen mit dx nicht klein ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Fr 12.02.2016 | | Autor: | chrisno |
Beim Volumen ersetzt Du den Kegelstumpf durch den mittleren Zylinder. Das was vom Kegelstumpf an einem Ende über den Zylinder hinausgeht wird durch kompensiert, was am anderen Ende zwischen Kegelstumpf und Zylinder frei geblieben ist.
Bei der Mantelfläche kann man nicht mit Zylindern arbeiten, weil man so immer nur ein Stück parallel zur x-Achse erhalten würde, das kürzer ist, als das tatsächliche. Das bleibt auch beim Grenzübergang so.
> Der mittlere Umfang wäre dann:
> $ [mm] \overline{U}=\overline{r}*2\pi=(2*f(x)+f'(x)dx)*\pi [/mm] $
Schreib das mal in das Integral. Dann siehst Du, dass dieser letzte Term f'(x)dx innerhalb von [mm] $\int \ldots [/mm] dx$ steht. Das dx wird beliebig klein und damit ist der Term nicht relevant. Das ist mal so ganz locker argumentiert.
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Wenn du den Rotationskörper in Scheiben zerlegst und das Volumen berechnest, indem du die Scheiben als Zylinder und nicht z.B. als Kegelstümpfe betrachtest und überhaupt davon absiehst, dass die Ränder normaler Weise gar nicht gerade sind, machst du einen Fehler.
Diesen Fehler kannst du aber abschätzen. Nehmen wir als Beispiel einen Kegel, den du in lauter gleichdicke Scheiben schneidest. Er soll aufrecht stehen. Du erhältst lauter Kegelstümpfe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Betrachte die schwarze Schnittlinie. Sie ist der Boden der roten Scheibe. Wenn du die Schnittfläche mit der Dicke der Scheibe malnimmst, hast du ihr Volumen berechnet, aber zu viel. Summe aller Bodenflächen mal gemeinsame Schichtdicke gibt also zu viel.
Nun ist die schwarze Schnittfläche aber gleichzeitig auch die Decke der grünen Scheibe. Multiplizierst du das mit der Dicke, bekommst du zu wenig heraus. Summe aller Deckflächen mal gemeinsame Schichtdicke gibt also zu wenig.
Nun Stellst du aber fest, dass du in beiden Fällen fast das selbe berechnet hast, nämlich alle Schnittflächen mit der gemeinsamen Schichtdicke malgenommen. Der Unterschied besteht nur darin, dass - wenn du die Decken nimmst, die unterste Bodenfläche in der Rechnung fehlt, da die keine Decke ist; wenn du aber alle Böden nimmst, fehlt die oberste Decke. Somit gilt:
V(über Böden berechnet)-unterster Boden mal Dicke +oberste Decke*Dicke=V(über Decken berechnet)
oder
V(über Böden berechnet)-V(über Decken berechnet)=(unterster Boden - oberste Decke)*Dicke.
Wenn wir uns jetzt beim Integral vorstellen, dass die Dicke "unendlich klein" wird, wird die rechte Seite der Gleichung 0, also beide Werte gleich. Obwohl wir dann mit Zylindern gerechnet haben, wissen wir, dass der Wahre Wert zwischen den beiden "falschen" liegen muss, aber dieses "Dazwischen" wird 0, das heißt, wir bekommen den richtigen Wert.
Bei der Oberfläche ist das anders: Wenn der Kegel z.B. eine Neigung von 30 ° gegen die Horizontale hat, ist die schräge Randlinie genau doppelt so groß wie die Dicke. Wenn du jetzt den Umfang mit der Schräglinie malnimmst, kann man wieder fragen: Welchen Umfang, den oberen, den unteren oder den in der Mitte, und hierfür gleten die selben Überlegungen: der obere Umfang ist immer zu groß, der untere immer zu klein, aber wenn die Dicke "unendlich klein" wird, geschieht das selbe wie oben erläutert wurde. Was sich aber dabei nicht ausgleicht: die Schräglinie ist immer doppelt so groß wie die Dicke, und den FAKTOR 2 kriegst du nicht weg, auch nicht, wenn du die Dicke änderst. Dieser Fehler ist also nicht zu kompensieren.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 14.02.2016 | | Autor: | abc1235 |
Danke. Ich denke ich habe es jetzt verstanden.
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