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Markov-Ketten: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Do 04.04.2019
Autor: Mandy_90

Aufgabe
1.
Sei [mm] X_{i} [/mm] die Augenzahl des i-ten Würfelwurfs für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n und [mm] S_{n}:=\summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] der ersten n Würfelwürfe, wobei die Würfe als unabhängig voneinander zu betrachten sind.
Zeigen Sie, dass [mm] S_{n} [/mm] eine Markovkette ist und bestimmen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten

2. Seien [mm] Y_{1},...Y_{n} [/mm] i.i.d. mit [mm] Y_{1} \sim [/mm] Ber(p) für p [mm] \in [/mm] (0,1) und [mm] Z_{n}:=\summe_{i=1}^{n} Y_{i} [/mm]
Bestimmen Sie [mm] P(Y_{1}=1|Z_{n}=k) [/mm] in Abhängigkeit von k.

3. Welche Aussage können Sie für [mm] f(k)=P(Y_{1}=1|Z_{n}=k) [/mm] treffen, falls k gegen n geht ? Ist das Ergebnis sinnvoll ?

Hallo liebe Community,

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

1. Wie zeigt man dass etwas eine Markovkette ist ? Ich hab gar keinen Plan.
Und die Übergangswahrscheinlichkeiten kann ich eigentlich auch bestimmen, aber hier kann ja n 1000 oder noch größer sein. Wie soll ich da die Übergangswahrscheinlichkeiten bestimmen ?

2. Da [mm] Y_{1} [/mm] Bernoulli verteilt, nimmt es die Werte 0 und 1 an. Weiter komme ich leider nicht und bei

3. Wenn [mm] Z_{n} [/mm] gegen n geht, heißt es ja dass [mm] Y_{i} [/mm] immer den Wert 1 annimmt.

Danke euch schonmal  


        
Bezug
Markov-Ketten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Fr 05.04.2019
Autor: hippias


> 1.
>  Sei [mm]X_{i}[/mm] die Augenzahl des i-ten Würfelwurfs für 1 [mm]\le[/mm]
> i [mm]\le[/mm] n und [mm]S_{n}:=\summe_{i=1}^{n} X_{i}[/mm] der ersten n
> Würfelwürfe, wobei die Würfe als unabhängig voneinander
> zu betrachten sind.
> Zeigen Sie, dass [mm]S_{n}[/mm] eine Markovkette ist und bestimmen
> Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten
>  
> 2. Seien [mm]Y_{1},...Y_{n}[/mm] i.i.d. mit [mm]Y_{1} \sim[/mm] Ber(p) für p
> [mm]\in[/mm] (0,1) und [mm]Z_{n}:=\summe_{i=1}^{n} Y_{i}[/mm]
>  Bestimmen Sie
> [mm]P(Y_{1}=1|Z_{n}=k)[/mm] in Abhängigkeit von k.
>
> 3. Welche Aussage können Sie für [mm]f(k)=P(Y_{1}=1|Z_{n}=k)[/mm]
> treffen, falls k gegen n geht ? Ist das Ergebnis sinnvoll
> ?
>  Hallo liebe Community,
>  
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
>
> 1. Wie zeigt man dass etwas eine Markovkette ist ?

Indem Du überprüfst, ob die Voraussetzungen in der Definition erfüllt sind.

> Ich hab
> gar keinen Plan.
> Und die Übergangswahrscheinlichkeiten kann ich eigentlich
> auch bestimmen, aber hier kann ja n 1000 oder noch größer
> sein. Wie soll ich da die Übergangswahrscheinlichkeiten
> bestimmen ?
>  
> 2. Da [mm]Y_{1}[/mm] Bernoulli verteilt, nimmt es die Werte 0 und 1
> an.

Was weisst Du über die Verteilung von [mm] $Z_{n}$? [/mm] Was bedeutet der Strich zwischen den Ereignissen [mm] $Y_{1}=1$ [/mm] und [mm] $Z_{n}=k$? [/mm] Es gibt eine Formel, um so etwas zu berechnen...

> Weiter komme ich leider nicht und bei
>
> 3. Wenn [mm]Z_{n}[/mm] gegen n geht, heißt es ja dass [mm]Y_{i}[/mm] immer
> den Wert 1 annimmt.

Richtig. Also müsste [mm] $P(Y_{1}=1|Z_{n}=n)=?$ [/mm] gelten. Das kannst Du überprüfen, sobald Du 2. gelöst hast.

>
> Danke euch schonmal  
>  


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