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| Aufgabe | Ein Aufzug bewegt sich zwischen 3 Stockwerken, die mit 1,2,3 bezeichnet seien. Für die Beweung des Aufzugs gelte:
er fährt von Stockwerk 1 aus mit W 1/2 in den zweiten Stock, von Stockwerk 2 aus mit einer W von 1/2 in den ersten Stock und von Stockwerk 3 aus Mit einer W von 1 in den zweiten Stock
a) Geben Sie die vollständige Übergangsmatrix an (unter der Bedingung [mm] p_{i,i}=0 [/mm] für alle i=1,2,3). Ist die Matrix irreduzibel und aperiodisch?
b) Bestimme approximativ die W, dass der Aufzug nach n Bewegungen, n groß, in Stockwerk 2 steht.
c) Wenn der Aufzug in Stockwer 1 startet, nach wievielen Bewegungen ist er im Erwartungswert wieder in Stockwerk 1 angekommen? |
Hi, zu dieser Aufgabe, irgendwie denke ich, dass da bisschen Info fehlt, oder? Weiß nicht, meine Matrix sieht so aus:
[mm] P=\pmat{ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Aber das kann doch nicht sein, da doch jede Zeile 1 ergeben muss, oder??
Gruß
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Ja, du musst auch die Informationen verarbeiten, die nicht direkt genannt werden, sich aber logisch ergeben:
Was macht denn der Aufzug, wenn er z.B. nicht vom 1. in den 2. Stock fährt? (stehenbleiben zählt nicht)
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Heißt das,
die W von Stockwerk 1 in 3 zu fahren beträgt auch 1/2??? und dann von 2 in 3 auch 1/2??
das ist mir gerade nicht so klar, warum das so ist......
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Genau!
Weil das Verbleiben in einem Stockwerk nicht als Fahrt zählt, hat der Fahrstuhl immer genau zwei Zielmöglichkeiten, von denen er genau eine "wählt". Da die Wahrscheinlichkeit für alle Mgl. zusammen immer 1 sein muss, ergeben sich für die Fahrten ohne Angaben immer die von dir schon genannten Restwahrscheinlichkeiten.
[mm] \pmat{ 0 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \\1/2 & 1/2 & 0 }
[/mm]
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PS: Ich kenne Übergangsmatrizen nur so, dass die Spaltensumme den Wert 1 haben muss. Falls ihr mit Zeilenvektoren multipliziert und einen Zeilenvektor als Ergebnis bekommt, musst du die Matrix einfach an der Diagonale mit den Nullen spiegeln (also aus der 1. Zeile die 1. Spalte machen usw.).
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HI,
ne wir machen das eigentlich genau anders herum. also so:
[mm] P=\pmat{ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\0 & 1 & 0 } [/mm]
kann vielleicht noch jemand was zu b) sagen? da weiß ich gerade überhaupt nicht weiter.
gruß
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> HI,
>
> ne wir machen das eigentlich genau anders herum. also so:
>
> [mm]P=\pmat{ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\0 & 1 & 0 }[/mm]
Das heißt also, dass du aus einem Zustandsvektor z ,
welcher als Zeilenvektor $\ [mm] z=\pmat{z_1&z_2&z_3}$ [/mm] gegeben ist,
den nächstfolgenden Zustand [mm] $\overline{z}$ [/mm] berechnest als
[mm] $\overline{z}\ [/mm] =\ z*P$
> kann vielleicht noch jemand was zu b) sagen? da weiß ich
> gerade überhaupt nicht weiter.
Nach sehr vielen Übergängen stellt sich für die Wahr-
scheinlichkeiten [mm] z_i [/mm] dafür, dass sich der Lift im i-ten
Stockwerk befindet, ein Gleichgewichtszustand ein,
der kaum noch verändert wird. Im Grenzfall für
[mm] n\to\infty [/mm] kann dieser Gleichgewichtszustand durch
einen Vektor $\ u\ =\ [mm] \pmat{u_1&u_2&u_3}$ [/mm] beschrieben werden,
für welchen gelten muss
[mm] $\overline{u}\ [/mm] =\ u$
also
$\ [mm] u*\,P\ [/mm] =\ u$
Bestimme also einen solchen Vektor u, der ausserdem
der Bedingung [mm] u_1+u_2+u_3=1 [/mm] genügt. Die gesuchte Wahr-
scheinlichkeit ist dann gleich [mm] u_2 [/mm] .
LG Al-Chw.
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