Markov-Ketten: Periode < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die drei Zustände der Markov-Kette mit der folgenden Übergangsmatrix haben Periode 3, da die Markov-Kette nach genau drei Schritten wieder in den ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Die Markov-Kette ist damit nicht aperiodisch.
[mm] [center]$\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 }$[/center]
[/mm]
Bei der Markov-Kette mit der nächsten Übergangsmatrix sind beide Zustände aperiodisch und damit ist auch die Markov-Kette aperiodisch.
[mm] [center]$\pmat{ 0 & 1 \\ 0.3 & 0.7 }$[/center] [/mm] |
Hallo,
ich kämpfe im Moment mit Markov-Ketten und der Unterscheidung zwischen periodisch/aperiodisch. Hier handelt es sich um ein Beispiel im Skript, das ich leider nicht ganz nachvollziehen kann...
Wir haben folgende Definition:
Die Periode [mm] $\xi$ [/mm] eines Zustandes i ist der größte gemeinsame Teiler der Menge
[mm] $\{n:p_{ii}(n)>0\}$ [/mm]
Man nennt den Zustand i periodisch, falls [mm] $\xi [/mm] > 1$ und aperiodisch falls [mm] $\xi [/mm] = 1.$
Haben alle Zustände einer Markov-Kette Periode 1, so heißt sie aperiodisch.
Ich sehe, warum die Markov-Kette der oberen Matrix Periode 3 hat und dass sie damit laut obiger Definition periodisch ist.
Bei der unteren Matrix sehe ich das leider nicht, denn meiner Meinung nach liegt hier doch für jeden Zustand (und damit für die gesamte Markov-Kette) Periode 2 vor:
Angenommen, ich befinde mich in Zustand 1 und gehe in Zustand 2 über, war das 1 Schritt und wenn ich dann wieder in Zustand 1 zurückgehe, waren das 2 Schritte, also hat Zustand 1 die Periode 2. Analog für Zustand 2, welcher Periode 2 hat. Damit hätte die Kette Periode 2 und wäre periodisch.
Wo liegt mein Denkfehler?
Vielen Dank für Eure Mühe!
Gruß
el_grecco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 12.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Seite 9
) und das Beispiel darunter untermauert nochmals alles sehr schön.
