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| Aufgabe | In unserer Vorlesung hatten wir folgendes Theorem für Markovketten:
Seien $0<n<N$ und [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] eine Markovkette. Dann gilt für alle [mm] $a_n\in [/mm] E$ (wobei $E$ der Zustandsraum ist) und alle Teilmengen [mm] $G\subseteq E^n, F\subseteq E^{N-n}$, [/mm] dass
$$
[mm] \mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n=a_n,(X_{n-1},...,X_0)\in G)\\=\mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n=a).
[/mm]
$$
Jetzt ist folgende Frage gestellt:
Bleibt die Aussage des Theorems wahr, wenn [mm] $\left\{X_n=a\right\}$ [/mm] durch eine beliebige Menge [mm] $\left\{X_n\in A\right\}$ [/mm] (für ein [mm] $A\subseteq [/mm] E$) ersetzt wird? |
Guten Abend,
ich habe versucht, das zu beweisen, wobei ich dabei das Theorem selbst und die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] von [mm] $\mathbb{P}$ [/mm] sowie [mm] $\left\{X_n\in A\right\}=\biguplus_{a_n\in A}(X_n=a_n)$ [/mm] verwendet habe:
$$
[mm] \mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n\in A,(X_{n-1},...,X_0)\in [/mm] G)
$$
[mm] $$=\mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|\biguplus_{a_n\in A}(X_n=a_n)\cap(X_{n-1},...,X_0)\in [/mm] G)
$$
[mm] $$=\mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|\biguplus_{a_n\in A}[(X_n=a_n)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in [/mm] G])
$$
[mm] $$=\frac{\mathbb{P}[(X_{n+1},...,X_N)\in F]\cap\biguplus_{a_n\in A}[(X_n=a)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in G])}{\mathbb{P}(\biguplus_{a_n\in A}[(X_n=a_n)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in G])}
[/mm]
$$
[mm] $$=\frac{\sum_{a_n\in A}\mathbb{P}([(X_{n+1},...,X_N)\in F]\cap [ (X_n=a_n)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in G])}{\mathbb{P}(\biguplus_{a_n\in A}[(X_n=a_n)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in G])}
[/mm]
$$
[mm] $$=\frac{\sum_{a_n\in A}\mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n=a_n,(X_{n-1},...,X_0)\in G)\cdot\mathbb{P}(X_n=a_n,(X_{n-1},...,X_0)\in G)}{\mathbb{P}(\biguplus_{a_n\in A}[(X_n=a_n)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in G])}
[/mm]
$$
Wenn ich jetzt das gegebene Theorem anwende, kann ich die Summanden im Zähler schreiben als
$$
[mm] \mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n=a_n,(X_{n-1},...,X_0)\in G)\cdot\mathbb{P}(X_n=a,(X_{n-1},...,X_0)\in [/mm] G) [mm] =\mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n=a_n)\mathbb{P}(X_n=a_n,(X_{n-1},...,X_0)\in [/mm] G),
$$
sodass ich vorerst lande bei
$$
[mm] =\frac{\sum_{a_n\in A}\mathbb{P}((X_{n+1},...,X_N)\in F|X_n=a_n)\cdot \mathbb{P}(X_n=a_n, (X_{n-1},...,X_0)\in G)}{\mathbb{P}(\biguplus_{a_n\in A}[(X_n=a)\cap (X_{n-1},...,X_0)\in G])}
[/mm]
$$
Nun weiß ich aber nicht mehr weiter.
Habe ich bis jetzt Recht, wenn ja, wie geht's weiter?
Vielleicht mache ich es mir auch viel zu schwer, ich weiß nicht. Vielleicht stimmt die Aussage ja auch gar nicht.
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 14:32 Sa 25.10.2014 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich würde gerne ein Gegenbeispiel vorschlagen. Da ich mir nicht ganz sicher bin, dass es korrekt ist, lasse ich die Frage noch offen.
Betrachte die Markovkette mit Zustandsraum $E=\left\{0,1\right}$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten $p_{01}=p_{10}=1$. Zudem sei $P(X_0=0)=P(X_0=1)=\frac{1}{2}$.
$N=2, n=1, F=G=\left\{0\right\}, A=\left\{0,1}\right\}$
Dann:
$P(X_2=0|X_1\in\left\{0,1\right\},X_0=0)=1$, da nämlich aus $X_0=0$ folgt, dass $X_1=1$ (also $X_1\in A$) und $X_2=0$.
Andererseits gilt aber meines Erachtens
$P(X_2=0|X_1\in A)=1/2$.
Sehe ich das richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Sa 25.10.2014 | | Autor: | dennis2 |
Ich bitte darum, dass sich jemand Kompetenteres als ich mein Gegenbeispiel anschaut um zu beurteilen, ob es korrekt ist.
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