Markovkette und Bernoulli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] $Y_0, Y_1, [/mm] ...$ eine Bernouilli-verteilte Folge und [mm] $X_n [/mm] = [mm] 2Y_n [/mm] + [mm] Y_{n+1}$. [/mm] Zeigen Sie, dasss [mm] $(X_n)$ [/mm] eine Markovkette ist, und bestimmen Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten. |
Ich muss also zunächst zeigen, dass
[mm] $P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_0=i_0, \ldots, X_{n-1}=i_{n-1},X_n=i_n)=P(X_{n+1}=i_{n+1}|X_n=i_n)$
[/mm]
für alle [mm] $P(X_0=i_0, \ldots, X_n=i_n)>0$.
[/mm]
Außerdem ist nach Definition
[mm] $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
[/mm]
Aber wie berechnet man nun z.B.
[mm] $P(X_0=i_0, \ldots, X_n=i_n)$???
[/mm]
Die [mm] $X_i$ [/mm] sind ja leider nicht unabhängig, denn dann wäre alles trivial...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Sei [mm]Y_0, Y_1, ...[/mm] eine Bernouilli-verteilte Folge und [mm]X_n = 2Y_n + Y_{n+1}[/mm].
Der Trick ist es, Dir die [mm] $X_n$ [/mm] genauer anzuschauen.
[mm] $Y_i$ [/mm] kann nur 0 oder 1 sein, d.h. [mm] $X_n$ [/mm] kann nur 0, 1, 2 oder 3 sein und in allen 4 Fällen kannst Du sofort sagen, welchen Wert [mm] $Y_{n+1}$ [/mm] hatte. Damit brauchst Du kein Wissen über [mm] $X_i$, [/mm] $i<n$.
|
|
|
| |
|
> > Sei [mm]Y_0, Y_1, ...[/mm] eine Bernouilli-verteilte Folge und [mm]X_n = 2Y_n + Y_{n+1}[/mm].
>
> Der Trick ist es, Dir die [mm]X_n[/mm] genauer anzuschauen.
>
> [mm]Y_i[/mm] kann nur 0 oder 1 sein, d.h. [mm]X_n[/mm] kann nur 0, 1, 2 oder
> 3 sein und in allen 4 Fällen kannst Du sofort sagen,
> welchen Wert [mm]Y_{n+1}[/mm] hatte. Damit brauchst Du kein Wissen
> über [mm]X_i[/mm], [mm]i
Ja das war auch mein Gedanke. Aber wie schreibt man das nun konkret auf? Was ist z.B.
[mm] $P(X_{n+1}=3|X_{n}=1)$???
[/mm]
Oder was ist
[mm] $P(X_{n}=3)=P(Y_n=1,y_{n+1}=1)=?$
[/mm]
Ich habe hier Probleme die Verteilung hinzuschreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Ich habe hier Probleme die Verteilung hinzuschreiben?
Wieso berechnest Du nicht einfach die Übergangsmatrix?
Wenn [mm] $X_n=0$, [/mm] dann ist [mm] $Y_{n+1}=0$, [/mm] wie ist dann [mm] $X_{n+1}$ [/mm] verteilt?
Ebenso für die 3 anderen Werte im Zustandsraum.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
>
> > Ich habe hier Probleme die Verteilung hinzuschreiben?
>
> Wieso berechnest Du nicht einfach die Übergangsmatrix?
>
> Wenn [mm]X_n=0[/mm], dann ist [mm]Y_{n+1}=0[/mm], wie ist dann [mm]X_{n+1}[/mm]
> verteilt?
> Ebenso für die 3 anderen Werte im Zustandsraum.
>
> ciao
> Stefan
Um die Überganswahrscheinlichkeiten zu berechnen, muss ich ja erst einmal zeigen, dass [mm] $(X_n)$ [/mm] tatsächlich eine Markovkette ist, d.h. diese die Markoveigenschaft hat, oder?
Also, wenn [mm] $X_n=0$ [/mm] ist, dann ist
[mm] $X_{n+1}=2Y_{n+1}+Y_{n+2}=Y_{n+2}$
[/mm]
Und nun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 03.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Um die Überganswahrscheinlichkeiten zu berechnen, muss ich
> ja erst einmal zeigen, dass [mm](X_n)[/mm] tatsächlich eine
> Markovkette ist, d.h. diese die Markoveigenschaft hat,
> oder?
[mm] $P(X_n=k_n\ [/mm] |\ [mm] X_i=k_i,\ i
weil [mm] $Y_{n+1}$ [/mm] unabhängig von [mm] $Y_i,\ [/mm] i<n$ und der Wert von [mm] $Y_n$ [/mm] eindeutig durch [mm] $X_{n-1}$ [/mm] festgelegt wird.
> Also, wenn [mm]X_n=0[/mm] ist, dann ist
>
> [mm]X_{n+1}=2Y_{n+1}+Y_{n+2}=Y_{n+2}[/mm]
>
> Und nun?
Und nun was?
[mm] $X_{n+1}|(X_n=0)\ [/mm] =\ [mm] Y_{n+2}$. [/mm] Also sieht die [mm] $X_n=0$ [/mm] Zeile der Übergangsmatrix wie aus?
|
|
|
| |
|
> [mm]P(X_n=k_n\ |\ X_i=k_i,\ i
>
> weil [mm]Y_{n+1}[/mm] unabhängig von [mm]Y_i,\ i
> eindeutig durch [mm]X_{n-1}[/mm] festgelegt wird.
Ich sehe das irgendwie noch nicht ein. Wieso sind denn die [mm] $(Y_n)$ [/mm] unabhängig? Haben wir doch gar nicht vorausgesetzt.
Weiter kann man mit Induktion zeigen, dass
[mm] $\{X_n=i_n\cap \ldots \cap X_0=i_0\}=\{Y_{n+1}=(-2)^{n+1}Y_0+\sum^{n}_{l=0}(-2)^{n-l}i_l\}$
[/mm]
ist. Und hier hängt der Wert [mm] $Y_{n+1}$ [/mm] von [mm] $Y_0$ [/mm] ab...
Somit ist
[mm] $P(X_n=i_n|X_k=i_k, k
Auf der anderen Seite ist
[mm] $P(X_n=i_n|X_{n-1}=i_{n-1})$=\frac{P(Y_{n+1}=i_n-2i_{n-1}+4Y_{n-1})}{P(Y_n=i_{n-1}-2Y_{n-1})}.
[/mm]
Wieso folgt nun Gleichheit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 03.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Ich sehe das irgendwie noch nicht ein. Wieso sind denn die
> [mm](Y_n)[/mm] unabhängig? Haben wir doch gar nicht vorausgesetzt.
Das sollte irgendwo in den Voraussetzungen stehen, weil sonst die ganze Aufgabe sinnlos ist (mit entsprechender Abhängigkeitsstruktur können beliebige Konstrukte rauskommen).
> Weiter kann man mit Induktion zeigen, dass
>
> [mm]\{X_n=i_n\cap \ldots \cap X_0=i_0\}=\{Y_{n+1}=(-2)^{n+1}Y_0+\sum^{n}_{l=0}(-2)^{n-l}i_l\}[/mm]
Nein,
[mm] $i_0=0,\ i_1=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \{Y_0=0,\ Y_1=0,\ Y_2=1\}=\{X_0=i_0,\ X_1=i_1\}\neq\{Y_2=4*Y_0+1\}=\{Y_0=0,\ Y_2=1\}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
> > Ich sehe das irgendwie noch nicht ein. Wieso sind denn die
> > [mm](Y_n)[/mm] unabhängig? Haben wir doch gar nicht vorausgesetzt.
>
> Das sollte irgendwo in den Voraussetzungen stehen, weil
> sonst die ganze Aufgabe sinnlos ist (mit entsprechender
> Abhängigkeitsstruktur können beliebige Konstrukte
> rauskommen).
Hm, steht leider nicht in der Aufgabe. Denke mal, dass wurde einfach vergessen zu erwähnen.
> > Weiter kann man mit Induktion zeigen, dass
> >
> > [mm]\{X_n=i_n\cap \ldots \cap X_0=i_0\}=\{Y_{n+1}=(-2)^{n+1}Y_0+\sum^{n}_{l=0}(-2)^{n-l}i_l\}[/mm]
>
> Nein,
> [mm]i_0=0,\ i_1=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \{Y_0=0,\ Y_1=0,\ Y_2=1\}=\{X_0=i_0,\ X_1=i_1\}\neq\{Y_2=4*Y_0+1\}=\{Y_0=0,\ Y_2=1\}[/mm]
Oja, du hast natürlich recht. Also nochmal zum Klarmachen:
[mm] $X_0=i_0$ [/mm] heißt [mm] $2Y_0+y_1=i_0$
[/mm]
[mm] $i_0\in I=\{0,1,2,3\}$
[/mm]
[mm] $i_0=0$: $Y_0=Y_1=0$
[/mm]
[mm] $i_0=1$: $Y_0=0, Y_1=1$
[/mm]
[mm] $i_0=2$: $Y_0=1, Y_1=0$
[/mm]
[mm] $i_0=3$: $Y_0=1=Y_1$.
[/mm]
Hat man also [mm] $i_0$ [/mm] gewählt, so sind [mm] $Y_0$ [/mm] und [mm] $Y_1$ [/mm] festgelgt.
Weiter ist z.B. [mm] $P(X_1=3,X_0=0)=0$, [/mm] weil
[mm] $Y_1=0: [/mm] \ [mm] X_1=2Y_1+Y_2=X_2=3$ [/mm] ist nicht möglich.
Doch solche Fälle werden ausgeschlossen.: $P(...)>0$.
Ich habe immer noch Probleme, die Markoveigenschaft zu zeigen. Ich sehe deine Begründung ein, aber vielleicht kann man das ja auch durch Umformungen sehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 03.07.2008 | | Autor: | Blech |
Dann schieb bei mir halt noch einen Zwischenschritt ein:
[mm] $P(2Y_{n}+Y_{n+1}=k_n\ [/mm] |\ [mm] X_i=k_i,\ i
Das ganze beruht natürlich wiederum auf der Feststellung, daß [mm] $X_i=k_i$ [/mm] sowohl [mm] $Y_i$ [/mm] als auch [mm] $Y_{i+1}$ [/mm] eindeutig festlegt [mm] ($l_i$ [/mm] sind dann die entsprechenden Werte der [mm] $Y_i$ [/mm] sofern [mm] $X_i=k_i$). [/mm] Und natürlich die Unabh. der [mm] $Y_i$; [/mm] aber die wirst Du wie erwähnt auch nicht los werden.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Vielen Dank! Jetzt habe ich es verstanden. 
|
|
|
| |
|
Ok. Man muss natürlich erst einmal zeigen, dass die MK homogen ist. Aber das geht genauso wie der Nachweis der Markoveigenschaft.
Jetzt zu den Übergangsmatrizen:
> > [mm]X_{n+1}=2Y_{n+1}+Y_{n+2}=Y_{n+2}[/mm]
> [mm] $X_{n+1}|(X_n=0)\ [/mm] =\ [mm] Y_{n+2}$ [/mm] . Also sieht die [mm][mm] X_n=0 [/mm] Zeile
> der Übergangsmatrix wie aus?
Ok. Setze [mm] $P(Y_n=0)=1-p$ [/mm] und [mm] $P(Y_n=1)=p$. [/mm] Es ist
[mm] $p_{00}=P(X_{n+1}=0|X_n=0)=P(Y_{n+2}=0)=1-p$
[/mm]
[mm] $p_{11}=P(X_{n+1}=1|X_n=1)=P(Y_{n+2}=1)=p$
[/mm]
[mm] $p_{22}=P(X_{n+1}=2|X_n=2)=P(Y_{n+2}=0)=1-p$
[/mm]
[mm] $p_{33}=P(X_{n+1}=3|X_n=3)=P(Y_{n+2}=1)=p$
[/mm]
[mm] $p_{01}=P(X_{n+1}=1|X_n=0)=P(Y_{n+2}=1)=p$
[/mm]
[mm] $p_{02}=P(X_{n+1}=2|X_n=0)=P(Y_{n+2}=2)=0$
[/mm]
[mm] $p_{03}=P(X_{n+1}=3|X_n=0)=P(Y_{n+2}=3)=0$
[/mm]
usw...
Damit die MK also homogen ist, muss zusätzlich vorausgesetzt werden, dass die [mm] $Y_n$ [/mm] identisch verteilt sind, stimmts?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Jetzt zu den Übergangsmatrizen:
>
> > > [mm]X_{n+1}=2Y_{n+1}+Y_{n+2}=Y_{n+2}[/mm]
>
> > [mm]X_{n+1}|(X_n=0)\ =\ Y_{n+2}[/mm] . Also sieht die [mm][mm]X_n=0[/mm] Zeile
> der Übergangsmatrix wie aus?
Ok. Setze [mm]P(Y_n=0)=1-p[/mm] und [mm]P(Y_n=1)=p[/mm]. Es ist
[mm]p_{00}=P(X_{n+1}=0|X_n=0)=P(Y_{n+2}=0)=1-p[/mm]
[mm]p_{11}=P(X_{n+1}=1|X_n=1)=P(Y_{n+2}=1)=p[/mm]
Da hast Du Dich irgendwo verrechnet:
[mm] $X_n=1\ \Rightarrow\ Y_{n+1}=1\ \Rightarrow X_{n+1}$ [/mm] ist 2 oder 3
Die Übergangsmatrix sieht so aus:
[mm] $\Pi=\pmat{q& p&0&0\\0&0&q&p\\q&p&0&0\\0&0&q&p}$
[/mm]
(bzw. ihr Transponiertes. Kommt drauf an, wie Ihr Übergangsmatrizen definiert habt. q=1-p, [mm] $Y_i\sim$ [/mm] Bernoulli(p))
>Damit die MK also homogen ist, muss zusätzlich vorausgesetzt werden, dass die [mm]Y_n[/mm] identisch verteilt sind, stimmts?
Ja. Vielleicht kann man einen verqueren Weg finden, wo das nicht gilt. Aber nachdem schon die Unabh. in der Angabe fehlt, geh ich hier einfach mal davon aus, daß die [mm] $Y_i$ [/mm] iid sind.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Vielen Dank Stefan!
Hast mir sehr geholfen und habe dabei eine Menge gelernt.
|
|
|
|
