Markovketten: Matrizenrechnung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Herr Meier liest die Süddeutsche Zeitung jeden Tag und steckt diese dann in einen Zeitungsständer. Frau Meier hat gelegentlich einen Putzanfall (jeden Tag mit W'keit 1/3) und wirft alle Zeitungen am Abend weg. Wenn fünf oder mehr Zeitungen im Ständer sind, wirft Herr Meier die Zeitungen eigenhändig am Abend weg.
1. Beschreiben Sie die Anzahl der Zeitungen im Zeitungsstapel (nachdem die Meiers zu Bett gegangen sind) mit Hilfe einer Markov-Kette.
2. Angenommen, es sind vier Ausgaben im Zeitungsständer. Wie lang ist die erwartete Zeit, bis wieder vier Zeitungen im Ständer stecken? |
Hallo,
eine Sache vorweg: es handelt sich bei meinem Problem nicht um ein stochastisches, sondern um ein allgemein mathematisches (Matrizenrechnung).
Zunächst die komplette Lösung:
1. [mm] $P=\pmat{ 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 2/3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
2.
[mm] $E(T_{5})=1/\pi_{5}$
[/mm]
[mm] $\pi [/mm] = [mm] 1(I-P+U)^{-1}$
[/mm]
[mm] $\pi [/mm] = (1 1 1 1 [mm] 1)*[\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }-\pmat{ 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 2/3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }+\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 }]^{-1}=(\pi_{1}\pi_{2}\pi_{3}\pi_{4}\pi_{5}=\bruch{16}{211})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E(T_{5})=\bruch{1}{\pi_{5}} \approx [/mm] 13,18$ Tage
Ich kann leider nicht erkennen, auf welchem Weg in 2. der Wert [mm] $\bruch{16}{211}$ [/mm] ermittelt wurde. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich hoffe, jemand erkennt den Rechenweg und verrät ihn mir...
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Do 21.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
ich habe erstmal ein paar verständnisfrgen.
zu:
$ [mm] \pi [/mm] = (1 1 1 1 [mm] 1)\cdot{}[\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }-\pmat{ 1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 2/3 & 0 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 2/3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 }+\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 }]^{-1}=(\pi_{1}\pi_{2}\pi_{3}\pi_{4}\pi_{5}=\bruch{16}{211}) [/mm] $
weißt du wieso diese drei matrizen summiert (bzw von einander abgezogen) werden? vor allem weiß ich persönlich nicht viel mit der letzten matrix anzufangen. die aussage der ersten beiden matrizen ist mir klar (die zeitungen, die hinzu kommen und die stochastische matrix). vielleicht könntest du schon mal schreiben, worüber du bisher nachgedacht hast. (bin leider selber kein stochastik-crack)
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Skript S. 105
