Markow-Ungleichung, abschätzen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Do 09.12.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit E(X)=0 und [mm] Var(X)=\sigma^2. [/mm] Zeige:
Falls x>0: [mm] P(X\ge x)\le\bruch{\sigma^2}{x^2+\sigma^2}
[/mm]
Falls x<0: [mm] P(X\ge x)\ge \bruch{x^2}{x^2+\sigma^2} [/mm] |
Hi!
Ich weiß leider nicht, wie ich da rangehen soll.
Spontan wäre mir für x>0 nur folgendes eingefallen:
[mm] P(X\ge x)=P(X-E(X)\ge x)\le P(|X-E(X)|\ge x)\le \bruch{\sigma^2}{x^2}, [/mm] aber das will ich ja nicht. Ich muss da wohl irgendeine spezielle Funktion nehmen, um das abzuschätzen, aber mir fällt da nichts ein.
Kann mir bitte jemand einen Anstoß geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Teufel,
die ![[]](/images/popup.gif) Markov-Ungleichung hast du ja als Betreff schon angegeben. Hast du schonmal mit verschiedenen h(a) experimeniert? Ich hab auch noch keine Lösung, komme zB mit [mm] h(a)=a^2+\sigma^2 [/mm] nur auf [mm] (E(X^2)=\sigma^2, [/mm] da [mm] E^2(X)=0)
[/mm]
[mm] P(X\ge x)\le\bruch{E(X^2+\sigma^2)}{x^2+\sigma^2}=\bruch{2\sigma^2}{x^2+\sigma^2}, [/mm] für $x>0$
Aber vielleicht hast du ja mehr Erfolg. Aber ob das die richtige Strategie ist, weiss ich nicht. War nur so ne Idee.
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Hallo Teufel,
betrachte $g(x) = [mm] x^2+\sigma^2$ [/mm] und [mm] $E(g\circ [/mm] X)$.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo mathfunnel,
> betrachte [mm]g(x) = x^2+\sigma^2[/mm] und [mm]E(g\circ X)[/mm].
das war doch die Idee von Walde (und meine auch), die aber doch nicht das gewünschte liefert, oder?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Fr 10.12.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Marc!
> Hallo mathfunnel,
>
> > betrachte [mm]g(x) = x^2+\sigma^2[/mm] und [mm]E(g\circ X)[/mm].
>
> das war doch die Idee von Walde (und meine auch), die aber
> doch nicht das gewünschte liefert, oder?
>
> Viele Grüße,
> Marc
ich sagte [mm] \textbf{nicht}: [/mm] Benutzt die Markow-Ungleichung.
Man kann die Markow-Ungleichung in diesem Spezialfall verbessern, indem man $g(x) = [mm] x^2+\sigma^2$ [/mm] und [mm] $E(g\circ [/mm] X)$ betrachtet.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo mathfunnel,
> ich sagte [mm]\textbf{nicht}:[/mm] Benutzt die Markow-Ungleichung.
Das stimmt 
> Man kann die Markow-Ungleichung in diesem Spezialfall
> verbessern, indem man [mm]g(x) = x^2+\sigma^2[/mm] und [mm]E(g\circ X)[/mm]
> betrachtet.
Okay, das sehe ich allerdings noch nicht, könntest du das weiter ausführen, wenn Teufel das auch nicht sehen sollte? Das wäre nett.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Fr 10.12.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Marc,
wir müssen uns wohl besser synchronisieren 
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Fr 10.12.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Marc,
obige Mitteilung von Walde hatte ich gar nicht gelesen, als ich meine Antwort schrieb, fand aber, dass meine Antwort immer noch als 'Anstoß' ok war.
Vielleicht sollte ich noch ein paar Bemerkungen dazu machen:
Man benutzt die Definition des Erwartungswertes für [mm] $E(g\circ [/mm] X)$ und beachtet das $g$ eine gerade Funktion ist.
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo mathfunnel,
> obige Mitteilung von Walde hatte ich gar nicht gelesen, als
> ich meine Antwort schrieb, fand aber, dass meine Antwort
> immer noch als 'Anstoß' ok war.
>
> Vielleicht sollte ich noch ein paar Bemerkungen dazu
> machen:
>
> Man benutzt die Definition des Erwartungswertes für
> [mm]E(g\circ X)[/mm] und beachtet das [mm]g[/mm] eine gerade Funktion ist.
Ah so, das muss einem doch gesagt werden, dass eine Definition und so was kompliziertes wie die Symmetrie von g relevant sein könnten ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") (manchmal kann man ganz schön blind sein...)
So folgt es natürlich viel schöner als in meiner Antwort.
Vielen Dank für deinen Tipp!
Viele Grüße,
Marc
P.S. für Interessierte: Die Ungleichung heißt übrigens Chebychev-Cantelli-Ungleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi!
Danke für die Antwort erst einmal.
Dann hat man doch
$P(X\ge x)=\bruch{1}{2}P(g(X)\ge g(x)) \le \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^2+\sigma^2}*E(X^2+\sigma^2} )$
und wegen E(X^2+\sigma^2)=2\sigma^2 folgt insgesamt
$P(X\ge x)\le \bruch{\sigma^2}{x^2+\sigma^2}$.
Edit: Genauer: P(X\ge x) \le \bruch{1}{2}P(g(X)\ge g(x)), aber das ändert ja am Ergebnis nichts.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Teufel,
> Sei X eine Zufallsvariable mit E(X)=0 und [mm]Var(X)=\sigma^2.[/mm]
> Zeige:
>
> Falls x>0: [mm]P(X\ge x)\le\bruch{\sigma^2}{x^2+\sigma^2}[/mm]
>
> Falls x<0: [mm]P(X\ge x)\ge \bruch{x^2}{x^2+\sigma^2}[/mm]
> Hi!
>
> Ich weiß leider nicht, wie ich da rangehen soll.
>
> Spontan wäre mir für x>0 nur folgendes eingefallen:
>
> [mm]P(X\ge x)=P(X-E(X)\ge x)\le P(|X-E(X)|\ge x)\le \bruch{\sigma^2}{x^2},[/mm]
> aber das will ich ja nicht. Ich muss da wohl irgendeine
> spezielle Funktion nehmen, um das abzuschätzen, aber mir
> fällt da nichts ein.
>
> Kann mir bitte jemand einen Anstoß geben?
Es funktioniert folgendes:
Betrachte [mm] $x-X\le (x-X)*1_{\{X\le x\}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ x=E(x-X)\le E((x-X)*1_{\{X\le x\}})$
[/mm]
Jetzt Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung auf der rechten Seite und es steht da...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke dir auch für die Hilfe. Habe die Aufgabe jetzt geschafft (die 2. Ungleichung war auch leicht mit der 1. zu zeigen), aber ich wollte mal fragen, wie man das mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung macht. Habe mich mal schlau gemacht und gesehen, dass E(XY)=<X,Y> ein Skalarprodukt ist. Das heißt dann also, dass [mm] E^2(XY) \le E(X^2)*E(Y^2) [/mm] ist.
Dann hat man also (sei x>0)
[mm] x\le E((x-X)*1_{X\le x})
[/mm]
[mm] \Rightarrow $x^2 \le E^2((x-X)1_{X \le x})\le E((x-X)^2)*E(1^2_{X \le x})=(x^2+\sigma^2)*P(X \le [/mm] x)$
[mm] \Rightarrow [/mm] $P(X [mm] \le x)\ge \bruch{x^2}{x^2+\sigma^2}$
[/mm]
Da hab ich ja ganz was anderes raus, sollte aber theoretisch auch richtig sein, passt nur nicht ganz zur Aufgabe. :)
Kannst du mir sagen, wo ich den Fehler gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Teufel,
ich springe kurz ein:
> Hi!
>
> Danke dir auch für die Hilfe. Habe die Aufgabe jetzt
> geschafft (die 2. Ungleichung war auch leicht mit der 1. zu
> zeigen), aber ich wollte mal fragen, wie man das mit der
> Cauchy-Schwarzschen Ungleichung macht. Habe mich mal schlau
> gemacht und gesehen, dass E(XY)=<X,Y> ein Skalarprodukt
> ist. Das heißt dann also, dass [mm]E^2(XY) \le E(X^2)*E(Y^2)[/mm]
> ist.
>
> Dann hat man also (sei x>0)
> [mm]x\le E((x-X)*1_{X\le x})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x^2 \le E^2((x-X)1_{X \le x})\le E((x-X)^2)*E(1^2_{X \le x})=(x^2+\sigma^2)*P(X \le x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]P(X \le x)\ge \bruch{x^2}{x^2+\sigma^2}[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 1-P(X [mm] \le x)\le 1-\bruch{x^2}{x^2+\sigma^2}$
[/mm]
[mm] \gdw P(X\ge x)\le\bruch{x^2+\sigma^2}{x^2+\sigma^2}-\bruch{x^2}{x^2+\sigma^2}
[/mm]
>
> Da hab ich ja ganz was anderes raus, sollte aber
> theoretisch auch richtig sein, passt nur nicht ganz zur
> Aufgabe. :)
> Kannst du mir sagen, wo ich den Fehler gemacht habe?
Kein Fehler.
Lg walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oh verdammt, nicht ganz zu Ende geführt. Danke dir!
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