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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Fr 07.04.2006 | | Autor: | omkina |
Könnte jemand mir bitte bitte folgendes Beispiel für quadratische Abweichung schrittweise erklären!? Das brauche ich auf jeden Fall für die Lösung meiner Hausaufgabe...
Sei [mm] $S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} Y_{i}$
[/mm]
[mm] Y_{i} [/mm] unabhängig identisch verteilt
[mm] $EY_{i} [/mm] = 0$
[mm] $var(Y_{i}) [/mm] = [mm] \sigma^{2}$
[/mm]
[mm] $M_{n} [/mm] : = [mm] S_{n}^{2} [/mm] - n [mm] \sigma^{2}$
[/mm]
$var [mm] (S_{n}) [/mm] = [mm] ES_{n}^{2} [/mm] = n [mm] \sigma^{2}$
[/mm]
[mm] $EM_{n}= [/mm] 0$
Ist [mm] M_{n} [/mm] ein Martingal?
1) [mm] $EM_{n} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
2) [mm] $E(M_{n} [/mm] | [mm] F_{n-1})= [/mm] E( [mm] M_{n-1} [/mm] + [mm] (Y_{n}^{2} [/mm] - [mm] \sigma^{2}) [/mm] | [mm] F_{n-1} [/mm] ) = [mm] M_{n-1}$
[/mm]
[mm]M_{n} = S_{n}^{2} - n \sigma^{2} = ( S_{n-1} + Y_{n})^{2} - n \sigma^{2}[/mm]
[mm]=S_{n-1}^{2} -(n-1) \sigma^{2}+2(S_{n-1} \cdot Y_{n})+Y_{n}^{2}-\sigma^{2}[/mm]
[mm]E(M_{n}|F_{n-1}) = M_{n-1} + 2E(S_{n-1} \cdot Y_{n}|F_{n-1})+E(y_{n}^{2}-\sigma^{2}) = M_{n-1}[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Könnte jemand mir bitte bitte folgendes Beispiel für
> quadratische Abweichung schrittweise erklären!? Das brauche
> ich auf jeden Fall für die Lösung meiner Hausaufgabe...
>
> Sei [mm]S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} Y_{i}[/mm]
>
> [mm]Y_{i}[/mm] unabhängig identisch verteilt
> [mm]EY_{i}[/mm] = 0
> Var [mm]Y_{i}[/mm] = [mm]Sigma^{2}[/mm]
>
> [mm]M_{n}[/mm] : = [mm]S_{n}^{2}[/mm] - [mm]n*sigma^{2}[/mm]
Ist $sigma = Sigma$?
> Var [mm]S_{n}[/mm] = [mm]ES_{n}^{2}[/mm] = [mm]n*sigma^{2}[/mm]
>
> [mm]EM_{n}=[/mm] 0
>
> Ist [mm]M_{n}[/mm] ein Martingal?
>
> 1) [mm]EM_{n}[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> 2) [mm]E(M_{n}[/mm] / [mm]F_{n-1}=[/mm] E( [mm]M_{n-1}[/mm] + [mm](Y_{n}^{2}[/mm] - [mm]Sigma^{2})[/mm]
> / [mm]F_{n-1}[/mm] ) = [mm]M_{n-1}[/mm]
Wie kommst du dadrauf? Oder willst du das zeigen?
Und was soll $/ [mm] F_{n-1}$ [/mm] bedeuten? Ist das $/$ ein $|$ und [mm] $F_{n-1}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra? [/mm] (Wobei [mm] $F_0, F_1, F_2, \dots$ [/mm] die Filtrierung ist zu der [mm] $M_0, M_1, M_2, \dots$ [/mm] Martingal sein soll?)
> [mm]M_{n}[/mm] = [mm]S_{n}^{2}[/mm] - n * [mm]Sigma^{2}[/mm] = ( [mm]S_{n-1}[/mm] + [mm]Y_{n})^{2}[/mm]
> - [mm]n*Sigma^{2}[/mm]
>
> = [mm]S_{n-1}^{2}[/mm] -(n-1) * [mm]Sigma^{2}+2(S_{n-1}[/mm] *
> [mm]Y_{n})+Y_{n}^{2}-Sigma^{2}[/mm]
>
> [mm]E(M_{n}/F_{n-1}[/mm] =
>
> [mm]M_{n-1}[/mm] + [mm]2E(S_{n-1}[/mm] *
> [mm]Y_{n}/F_{n-1})+E(y_{n}^{2}-Sigma^{2})[/mm] = [mm]M_{n-1}[/mm]
Ich sehe hier einen Haufen kaputte Formeln, da fehlen z.B. einige Klammern. Bitte korrigier das doch, ansonsten hab zumindest ich keine Lust mehr zu versuchen das nachzuvollziehen.
(Und wenn du schon dabei bist, benutz doch den Formeleditor mal richtig, so dass die Formeln nicht so als wildes Gemisch von Text und Formeln enden!)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Omkina,
ich habe mal versucht, deine Formeln richtig mit dem Formeleditor aufzuschreiben. Ich habe aber nicht auf den Inhalt geachtet! Bitte schau also, ob alles so richtig ist und vor allem wie man das macht, damit du den Formeleditor in Zukunft selbst richtig nutzen kannst! Denn vorher war alles völlig unleserlich!
Ansonsten gilt hier: Begrüßungen sollten dazugehören, wie sonst auch überall. 
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Fr 07.04.2006 | | Autor: | omkina |
Guten Abend!
Es tut mir echt leid...ich war so verzweifelt.:(
" Ist sigma = Sigma ? "
Ja! Ich habe das Symbol für Sigma nicht gefunden und sehe es immer noch nicht.
"Wie kommst du dadrauf? Oder willst du das zeigen? "
Ich habe all das von der Tafel abgeschrieben und versuche nun es zu verstehen.
"Und was soll / [mm] F_{n-1} [/mm] bedeuten? Ist das ein | und [mm] F_{n-1} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra? (Wobei [mm] F_0, F_1, F_2, \dots [/mm] die Filtrierung ist zu der [mm] M_0, M_1, M_2, \dots [/mm] Martingal sein soll?)"
Genau
Ich danke dir für deine Aufmerksamkeit, Felix ! :)
Hallo, Astrid!
Vielen Dank! Ich werde mir Mühe geben nicht mehr das Fehler zu begehen.
Es ist alles so richtig.
Gruß, omkina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Omnika,
> Ja! Ich habe das Symbol für Sigma nicht gefunden und sehe
> es immer noch nicht.
[mm] [nomm]$\sigma$[/nomm] [/mm] ergibt [mm] \sigma [/mm] - ganz einfach!
Ansonsten beginne Formeln immer mit [mm] und beende sie mit [/mm].
Grüße
Astrid
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Fr 07.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Erstmal vielen Dank an Astrid fuer das lesbar machen
> Könnte jemand mir bitte bitte folgendes Beispiel für
> quadratische Abweichung schrittweise erklären!? Das brauche
> ich auf jeden Fall für die Lösung meiner Hausaufgabe...
>
> Sei [mm]S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} Y_{i}[/mm]
>
> [mm]Y_{i}[/mm] unabhängig identisch verteilt
> [mm]EY_{i} = 0[/mm]
> [mm]var(Y_{i}) = \sigma^{2}[/mm]
Soweit die Voraussetzungen.
> [mm]M_{n} : = S_{n}^{2} - n \sigma^{2}[/mm]
Das ist eine Definition.
> [mm]var (S_{n}) = ES_{n}^{2} = n \sigma^{2}[/mm]
Hier wird benutzt, dass der Erwartungswert von [mm] $S_n$ [/mm] gleich $0$ ist; damit ist [mm] $var(S_n) [/mm] = [mm] E(S_n)^2 [/mm] = n [mm] EY_1^2 [/mm] = n [mm] \cdot var(Y_1)$ [/mm] (hier kann man [mm] $Y_1$ [/mm] nehmen, da die [mm] $Y_i$ [/mm] iid sind).
> [mm]EM_{n}= 0[/mm]
Das sollte dir klar sein; das folgt direkt aus der Zeile davor.
> Ist [mm]M_{n}[/mm] ein Martingal?
>
> 1) [mm]EM_{n} < \infty[/mm]
Das haben wir ja schon.
> 2) [mm]E(M_{n} | F_{n-1})= E( M_{n-1} + (Y_{n}^{2} - \sigma^{2}) | F_{n-1} ) = M_{n-1}[/mm]
Das ist anscheinend das, was in den naechsten Zeilen gezeigt werden soll.
> [mm]M_{n} = S_{n}^{2} - n \sigma^{2} = ( S_{n-1} + Y_{n})^{2} - n \sigma^{2}[/mm]
Bisher ist es nur Einsetzen. Danach kommt der Zwischenschritt [mm] $S_{n-1}^2 [/mm] + 2 [mm] S_{n-1} Y_n [/mm] + [mm] Y_n^2 [/mm] - n [mm] \sigma^2$, [/mm] aus dem dann durch Aufteilen des $n [mm] \sigma^2$ [/mm] und Umstellen das hier folgt:
> [mm]=S_{n-1}^{2} -(n-1) \sigma^{2}+2(S_{n-1} \cdot Y_{n})+Y_{n}^{2}-\sigma^{2}[/mm]
Wenn du das weiter umschreibst, erhaelst du [mm] $M_{n-1} [/mm] + 2 [mm] S_{n-1} Y_n [/mm] + [mm] Y_n^2 [/mm] - [mm] \sigma^2$.
[/mm]
> [mm]E(M_{n}|F_{n-1}) = M_{n-1} + 2E(S_{n-1} \cdot Y_{n}|F_{n-1})+E(y_{n}^{2}-\sigma^{2}) = M_{n-1}[/mm]
Fuer das erste Gleichheitszeichen benutzt du die Linearitaet der bedingten Erwartung und erhaelst [mm] $E(M_{n-1}|F_{n-1}) [/mm] + 2 [mm] E(S_{n-1} Y_n|F_{n-1}) [/mm] + [mm] E(Y_n^2|F_{n-1}) [/mm] - [mm] \sigma^2$. [/mm] Jetzt brauchst du folgendes:
- Da [mm] $M_{n-1}$ $F_{n-1}$-messbar [/mm] ist, ist [mm] $E(M_{n-1}|F_{n-1}) [/mm] = [mm] M_{n-1}$.
[/mm]
- Die [mm] $\sigma$-Algebra $F_{n-1}$ [/mm] wird von [mm] $Y_1, \dots, Y_{n-1}$ [/mm] erzeugt (das hast du leider nicht dabeigeschrieben, aber ich nehm das jetzt einfach mal an), womit [mm] $Y_n$ [/mm] (und damit auch [mm] $Y_n [/mm] - [mm] \sigma^2$) [/mm] unabhaengig von [mm] $F_{n-1}$ [/mm] ist (da es unabhaengig von [mm] $Y_1, \dots, Y_{n-1}$ [/mm] ist). Also ist [mm] $E(y_{n}^{2}-\sigma^{2}|F_{n-1}) [/mm] = [mm] E(y_{n}^{2}-\sigma^{2})$.
[/mm]
Damit erhaelst du also den Ausdruck [mm] $M_{n-1} [/mm] + [mm] 2E(S_{n-1} \cdot Y_{n}|F_{n-1})+E(y_{n}^{2}-\sigma^{2})$, [/mm] und dieser soll nun gleich [mm] $M_{n-1}$ [/mm] sein.
Nun ist [mm] $E(y_{n}^{2}-\sigma^{2}) [/mm] = [mm] E(y_{n}^{2}) -\sigma^{2} [/mm] = 0$, da [mm] $E(Y_n^2) [/mm] = [mm] var(Y_n) [/mm] = [mm] \sigma^2$ [/mm] ist (es ist ja [mm] $E(Y_n) [/mm] = 0$).
Wir muessen also nur noch zeigen, dass [mm] $E(S_{n-1} \cdot Y_{n}|F_{n-1}) [/mm] = 0$ ist. Dazu brauchst du jetzt, dass [mm] $S_{n-1}$ $F_{n-1}$-messbar [/mm] ist und dass [mm] $Y_n$ [/mm] unabhaengig von [mm] $S_{n-1}$ [/mm] und [mm] $F_{n-1}$ [/mm] ist: Deswegen ist naemlich [mm] $E(S_{n-1} \cdot Y_{n}|F_{n-1}) [/mm] = [mm] S_{n-1} \cdot E(Y_n) [/mm] = 0$, da [mm] $E(Y_n) [/mm] = 0$ ist.
Uebrigens, falls du das noch nicht wusstest: Die Gleichheitszeichen gelten groesstenteils nur fast sicher. Aber das reicht in der Stochastik eigentlich fast immer aus 
LG Felix
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