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| Aufgabe | | Zeige, dass ein nicht-negatives Martingal fast sicher $0$ bleibt, nachdem es zum ersten Mal die $0$ getroffen hat! |
Ich weiß hier noch keine Lösungsstrategie. Sicherlich muss ich ein Martingalkonvergenzsatz anwenden. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Fr 02.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeige, dass ein nicht-negatives Martingal fast sicher [mm]0[/mm]
> bleibt, nachdem es zum ersten Mal die [mm]0[/mm] getroffen hat!
> Ich weiß hier noch keine Lösungsstrategie. Sicherlich muss
> ich ein Martingalkonvergenzsatz anwenden. Vielleicht hat ja
> jemand einen Tipp?
Wenn du eine Zufallsvariable $X$ hast mit $X [mm] \ge [/mm] 0$ f.s., und du $E(X) = 0$ hast, dann gilt $X = 0$ f.s.
Du weisst also [mm] $X_t [/mm] = 0$ f.s. und hast $s > t$, und willst [mm] $X_s [/mm] = 0$ f.s. zeigen; da [mm] $X_s \ge [/mm] 0$ gilt reicht es also aus, [mm] $E(X_s) [/mm] = 0$ zu zeigen.
Wie kannst du jetzt die Martingaleigenschaft vielleicht verwenden? Bedenke, dass $E(E(X [mm] \mid \mathcal{F})) [/mm] = E(X)$ ist fuer alle [mm] $\sigma$-Algebren $\mathcal{F}$ [/mm] und alle Zufallsvariablen $X$.
LG Felix
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> Hallo
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> > Zeige, dass ein nicht-negatives Martingal fast sicher [mm]0[/mm]
> > bleibt, nachdem es zum ersten Mal die [mm]0[/mm] getroffen hat!
> > Ich weiß hier noch keine Lösungsstrategie. Sicherlich
> muss
> > ich ein Martingalkonvergenzsatz anwenden. Vielleicht hat ja
> > jemand einen Tipp?
>
> Wenn du eine Zufallsvariable [mm]X[/mm] hast mit [mm]X \ge 0[/mm] f.s., und
> du [mm]E(X) = 0[/mm] hast, dann gilt [mm]X = 0[/mm] f.s.
>
> Du weisst also [mm]X_t = 0[/mm] f.s. und hast [mm]s > t[/mm], und willst [mm]X_s = 0[/mm]
> f.s. zeigen; da [mm]X_s \ge 0[/mm] gilt reicht es also aus, [mm]E(X_s) = 0[/mm]
> zu zeigen.
>
> Wie kannst du jetzt die Martingaleigenschaft vielleicht
> verwenden? Bedenke, dass [mm]E(E(X \mid \mathcal{F})) = E(X)[/mm]
> ist fuer alle [mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{F}[/mm] und alle
> Zufallsvariablen [mm]X[/mm].
>
> LG Felix
>
OK. Sei $n$ der erste Zeitpunkt, wo [mm] $X_n=0$ [/mm] f.s.
OK. Ich habe ja aufgrund der Martingaleigenschaft für alle [mm] $m\geq [/mm] n$
[mm] $E[X_m]=E[X_n]=0$ [/mm] (*)
und daraus folgt also [mm] $X_m=0$ [/mm] für alle [mm] $m\geq [/mm] n$. Fertig.
Zu (*) beweis per Induktion nach m. Für $m=n$ ist die Behauptung klar. Für $m+1$ haben wir aufgrund der Martingaleigenschaft
[mm] $E[X_{m+1}|F_{m}]=X_m$, [/mm] also [mm] $E[E[X_{m+1}|F_{m}]]=E[X_m]=E[X_n]$
[/mm]
nach Induktionsvoraussetzung. Also mit der Eigenschaft der bedingten Erwartung
[mm] $E[X_{m+1}]=E[X_n]$,
[/mm]
was wir zeigen wollten. Bist du damit einverstanden?
Vielen Dank für deinen Tipp!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Sa 03.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > > Zeige, dass ein nicht-negatives Martingal fast sicher [mm]0[/mm]
> > > bleibt, nachdem es zum ersten Mal die [mm]0[/mm] getroffen hat!
> > > Ich weiß hier noch keine Lösungsstrategie.
> Sicherlich
> > muss
> > > ich ein Martingalkonvergenzsatz anwenden. Vielleicht hat ja
> > > jemand einen Tipp?
> >
> > Wenn du eine Zufallsvariable [mm]X[/mm] hast mit [mm]X \ge 0[/mm] f.s., und
> > du [mm]E(X) = 0[/mm] hast, dann gilt [mm]X = 0[/mm] f.s.
> >
> > Du weisst also [mm]X_t = 0[/mm] f.s. und hast [mm]s > t[/mm], und willst [mm]X_s = 0[/mm]
> > f.s. zeigen; da [mm]X_s \ge 0[/mm] gilt reicht es also aus, [mm]E(X_s) = 0[/mm]
> > zu zeigen.
> >
> > Wie kannst du jetzt die Martingaleigenschaft vielleicht
> > verwenden? Bedenke, dass [mm]E(E(X \mid \mathcal{F})) = E(X)[/mm]
> > ist fuer alle [mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{F}[/mm] und alle
> > Zufallsvariablen [mm]X[/mm].
> >
> > LG Felix
> >
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> OK. Sei [mm]n[/mm] der erste Zeitpunkt, wo [mm]X_n=0[/mm] f.s.
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> OK. Ich habe ja aufgrund der Martingaleigenschaft für alle
> [mm]m\geq n[/mm]
>
> [mm]E[X_m]=E[X_n]=0[/mm] (*)
>
> und daraus folgt also [mm]X_m=0[/mm] für alle [mm]m\geq n[/mm]. Fertig.
>
> Zu (*) beweis per Induktion nach m. Für [mm]m=n[/mm] ist die
> Behauptung klar. Für [mm]m+1[/mm] haben wir aufgrund der
> Martingaleigenschaft
>
> [mm]E[X_{m+1}|F_{m}]=X_m[/mm], also
> [mm]E[E[X_{m+1}|F_{m}]]=E[X_m]=E[X_n][/mm]
> nach Induktionsvoraussetzung. Also mit der Eigenschaft der
> bedingten Erwartung
>
> [mm]E[X_{m+1}]=E[X_n][/mm],
>
> was wir zeigen wollten. Bist du damit einverstanden?
Ja, bin ich :)
LG Felix
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