Martingal E-Wert umschreiben < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 22.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Guten Tag,
ich haenge an einem Schritt in einem Beweis fest.
Sei [mm] \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty} [/mm] ein reell-wertiges Martingal und [mm] 1
Sei [mm] X:=\max_{1\le k \le n} |X_k|.
[/mm]
Ich kann benutzen, dass fuer [mm] \lambda [/mm] > 0 gilt:
[mm] \lambda [/mm] P(X > [mm] \lambda) \le \integral_{X > \lambda}^{}{|X_n|dP}
[/mm]
Nun kann man angeblich schreiben:
[mm] E(X^p) [/mm] = - [mm] \integral_{0}^{\infty}\lambda^p dP(\lambda) [/mm] mit [mm] P(\lambda):= [/mm] P(X > [mm] \lambda).
[/mm]
Ich habe keine Ahnung, was hier passiert.
Es ist [mm] E(X^p) [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}^{}{X^p dP} [/mm] mit [mm] \Omega [/mm] als W.keits-Raum.
Aber was passiert dann mit dem Integral? Wird hier ein neues Maß definiert? Und wo kommt das Minus her? [mm] E(X^{p}) [/mm] muss [mm] \ge [/mm] 0 sein, da X nicht-negativ ist. Aber das Integral selbst rechts kann doch niemals <0 sein, also woher das Minus?
VG.
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]E(X^p)[/mm] = - [mm]\integral_{0}^{\infty}\lambda^p dP(\lambda)[/mm] mit
> [mm]P(\lambda):=[/mm] P(X > [mm]\lambda).[/mm]
schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Die andere Frage beantwote ich dir, wenn ich etwas mehr Zeit hab… voraussichtlich morgen oder übermorgen.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Mo 24.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
danke fuer den Tipp.
Tatsaechlich geht die von mir gepostete Gleichung auch so weiter:
[mm] E(X^p)=-\integral_{0}^{\infty}{\lambda ^{p} dP(\lambda)} [/mm] = p [mm] \integral_{0}^{\infty} {\lambda^{p-1} P(\lambda)d \lambda}.
[/mm]
Der Wiki Eintrag erklaert, dass [mm] E(X^p)=p \integral_{0}^{\infty} {\lambda^{p-1} P(\lambda)d \lambda}, [/mm] aber wie man dann auf den Zwischenschritt kommt, verstehe ich immer noch nicht. Ich kann mit [mm] dP(\lambda) [/mm] nichts anfangen. Ist das ein neues Maß?
Das Differential im Lebesgue-Integral, sagen wir [mm] d\mu(x), [/mm] steht fuer ein Maß [mm] \mu. [/mm] Im absolutely-continuous Fall gibt es dann eine Dichte f, sodass man schreiben kann [mm] d\mu(x)=f(x)dx. [/mm] Hier scheint zu gelten, dass [mm] dP(\lambda) [/mm] = [mm] -\bruch{p}{\lambda}P(\lambda)d\lambda, [/mm] sodass wir eine Dichte [mm] -\bruch{p}{\lambda}P(\lambda) [/mm] haben... aber keine Ahnung, wo das herkommt.
>Die andere Frage beantwote ich dir, wenn ich etwas mehr Zeit hab… voraussichtlich morgen oder übermorgen.
Danke sehr, keine Eile!
Jellal
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ich kann mit [mm]dP(\lambda)[/mm] nichts > anfangen. Ist das ein neues Maß?
Das hast du doch selbst im ersten Post geschrieben:
Es ist [mm] $P(\lambda) [/mm] := P(X > [mm] \lambda)$.
[/mm]
> Das Differential im Lebesgue-Integral…
Das ist kein Lebesgue-Integral, sondern ein Lebesgue-Stieltjes-Integral, ein Spezialfall von ersterem.
Lies dir den Wiki-Artikel durch um zu verstehen, warum…
Insbesondere ist aber die Verteilungsfunktion von $X [mm] \quad F_X(\lambda) [/mm] := [mm] 1-P(\lambda)$ [/mm] (und damit [mm] $dF_X(\lambda) [/mm] = [mm] -dP(\lambda)$ [/mm] und es folgt daher für den Erwartungswert:
[mm] $E[X^p] [/mm] = [mm] \int_0^\infty x^p dF_X(x)= -\int_0^\infty x^p [/mm] dP(x)$
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 25.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
danke dir fuer den Hinweis auf das Stieltjes-Integral, der Unterschied war mir nie so wirklich klar.
Ich fasse mal zusammen, was ich gelesen habe, und versuche das auf unseren Fall anzuwenden:
Fuer eine monoton steigende, rechts-stetige Funktion G: [mm] \IR \to \IR [/mm] existiert stets ein Borel-Maß [mm] \mu_G [/mm] mit
[mm] \mu_G((a,b]) [/mm] = G(b)-G(a-).
Das Lebesgue-Stieltjes Integral fuer eine Borel-messbare Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist dann definiert als
[mm] \integral_{B}^{}{f(x)dG(x)} [/mm] := [mm] \integral_{B}^{}{f(x)d\mu_{G}(x)} \forall [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\IR), [/mm] wobei das Integral rechts ein Lebesgue-Integral ist.
Sicher kann man das Inegral links aber auch ueber den Grenzwert von Summen definieren, wie beim Riemann-Stieltjes Integral?
Sei nun [mm] (\Omega, \Sigma, [/mm] P) ein Wahrsch.keitsraum und
X: [mm] (\Omega, \Sigma) \to (\IR, \mathcal{B}(\IR)) [/mm] eine Zufallsvariable.
Die Verteilungsfunktion ist [mm] F_X(\lambda):=P_X((\infty,\lambda])=P(X\le \lambda), [/mm] mit [mm] P_X [/mm] als von X induziertem Maß auf [mm] (\IR, \mathcal{B}(\IR)).
[/mm]
[mm] F_X [/mm] ist steigend und rechts-stetig. Also gibt es ein Borel-Maß [mm] \mu_F [/mm] mit [mm] \mu_F((a,b])=F_X(b)-F_X(a-). [/mm] Durch die Definition von [mm] F_X [/mm] folgt aber gerade, dass
[mm] \mu_F((a,b])=F_X(b)-F_X(a-)=P_X((-\infty, [/mm] b]) - [mm] P_X((-\infty, a])=P_X((a,b]), [/mm] sodass [mm] \mu_F [/mm] = [mm] P_X.
[/mm]
Wir koennen also immer schreiben, fuer [mm] B\in \mathcal{B}(\IR),
[/mm]
[mm] \integral_{X^{-1}(B)}{}{X(\omega)dP(\omega)}= \integral_{B}{}{x dP_X(x)} [/mm] = [mm] \integral_{B}{}{x dF_X(x)}, [/mm] wobei die ersten zwei Integrale Lebesgue-Integrale, und das letzte ein Lebesgue-Stieltjes-Integral ist.
In unserem Fall setzen wir nun [mm] \widetilde{P}(\lambda)=P(X>\lambda). [/mm] Damit ist [mm] F_X(\lambda)=1-\widetilde{P}(\lambda). [/mm] Außerdem ist X nicht-negativ.
Dann ist [mm] E(X^p)=\integral_{\Omega}{}{X^{p}(\omega)dP(\omega)}=\integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}dP_X(\lambda)}=\integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}dF_X(\lambda)}
[/mm]
=- [mm] \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)}.
[/mm]
Aber mit welcher Logik erhalte ich nun
- [mm] \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)} [/mm] = p [mm] \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p-1}\widetilde{P}(\lambda)d\lambda}?
[/mm]
In dem von dir vorher geschickten Wiki-Eintrag wird gezeigt, dass [mm] E(X^{p})=p \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p-1}\widetilde{P}(\lambda)d\lambda}, [/mm] sodass die Gleichheit der beiden Ausdruecke natuerlich folgt. In meinem Buch sieht es aber so aus, als kaeme man von dem einen trivial auf den anderen...
VG.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> In dem von dir vorher geschickten Wiki-Eintrag wird
> gezeigt, dass [mm]E(X^{p})=p \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p-1}\widetilde{P}(\lambda)d\lambda},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> sodass die Gleichheit der beiden Ausdruecke natuna werlich
> folgt. In meinem Buch sieht es aber so aus, als kaeme man
> von dem einen trivial auf den anderen...
na was "trivial" ist, hängt ja aber immer von den Vorkenntnissen ab 
Aber tatsächlich kann man das hier einfach mit den folgenden zwei Rechenregeln des Stieltjesintegrals zeigen:
i) $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm d}x$
ii) $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm d}h(x)=f(b)h(b)-f(a)h(a)-\int _{a}^{b}h(x)\,{\mathrm d}f(x)$
i) ist letztendlich die Dichtetransformation bezüglich des Lebesgue-Maßes
ii) die partielle Integration (für das Stieltjesintegral)
Und dann folgt mit $h(\lambda) = \lambda^p, f(\lambda) = \widetilde{P}(\lambda)} $:
$-\integral_0^\infty \lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)} = -\integral_0^\infty h(\lambda) df(\lambda) \overbrace{=}^{ii} \int_0^\infty f(\lambda) dh(\lambda) \overbrace{=}^{i} \int_0^\infty f(\lambda) h'(\lambda) d\lambda = \int_0^\infty \widetilde{P}(\lambda)} p\lambda^{p-1} d\lambda $
wie gewünscht.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mi 26.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono,
ahh partielle Integration fuer Stieltjes-Integrale!
Was passiert mit den Randtermen? Der f(0)h(0) Term verschwindet, aber anscheinend muss auch
[mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty}\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p}=0 [/mm] sein.
[mm] \widetilde{P}(\lambda) [/mm] geht gegen 0, aber [mm] \lambda^p [/mm] gegen [mm] \infty.
[/mm]
Ich brauche, dass [mm] \widetilde{P}(\lambda) [/mm] schnell genug faellt, oder =0 ist ab einem endlichen [mm] \lambda.
[/mm]
VG
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Was passiert mit den Randtermen? Der f(0)h(0) Term
> verschwindet, aber anscheinend muss auch
>
> [mm]\limes_{\lambda\rightarrow\infty}\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p}=0[/mm]
> sein.
> [mm]\widetilde{P}(\lambda)[/mm] geht gegen 0, aber [mm]\lambda^p[/mm] gegen
> [mm]\infty.[/mm]
> Ich brauche, dass [mm]\widetilde{P}(\lambda)[/mm] schnell genug
> faellt, oder =0 ist ab einem endlichen [mm]\lambda.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
korrekt, aber mach dir mal klar, dass das direkt folgt aus der Existenz von $E[X^p]$.
Es ist ja nach bisherigem $E[X^p] = - \integral_0^\infty {\lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)} $ und wenn dieser Erwartungswert existieren soll, ist dieser Ausdruck endlich.
Und anschaulich wichtest du bei diesem Integral ja gerade $\lambda^p$ mit $d\widetilde{P}(\lambda)} $, d.h. damit das Integral nun endlich ist, folgt notwendigerweise $\lim_{\lambda \to \infty} \lambda^{p} \widetilde{P}(\lambda)} = 0$.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 02.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi Gono!
Die Legitimitaet des Arguments verstehe ich noch nicht ganz.
Wir haben jetzt
[mm] E(X^p) [/mm] = [mm] -\int_{(0,\infty)}{}{\lambda^p d\widetilde{P}(\lambda)}= p\int_{(0,\infty)}{}{\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p-1}d\lambda}-\limes_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda^{p}\widetilde{P}(\lambda).
[/mm]
In unserem Fall war [mm] X:=\max_{1\le k \le n}|X_{k}|, [/mm] wobei [mm] (X_{k})_{k\in\IN} [/mm] ein Martingal ist.
Das Integral rechts wird im Buch nun weiter abgeschaetzt, wobei benutzt wird, was im Eingangspost genannt wird, naemlich dass
[mm] \lambda \widetilde{P}(\lambda)\le \integral_{\{X>\lambda\}}{}{|X_n|dP}.
[/mm]
Man erhaelt:
[mm] p\int_{(0,\infty)}{}{\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p-1}d\lambda} \le \bruch{p}{p-1}E(|X_n|^p)^{\bruch{1}{p}}E(X^p)^{\bruch{p-1}{p}}.
[/mm]
Wenn ich nun weiß, dass der rechte Term endlich ist, und auch [mm] E(X^p) [/mm] selbst endlich ist, dann folgt daraus, dass auch [mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda^{p}\widetilde{P}(\lambda)=0 [/mm] sein muss (sonst waere der ganze Ausdruck fuer [mm] E(X^p) [/mm] oben ja [mm] -\infty).
[/mm]
Aber wer sagt, dass [mm] E(X^p) [/mm] endlich ist?
Ich weiß nur, dass [mm] E(|X_i|)<\infty [/mm] fuer alle i (Definition Martingal), aber das reicht nicht, wenn p>1.
VG
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Die Legitimitaet des Arguments verstehe ich noch nicht ganz.
Ich glaube du hast die Aussage mißverstanden.
Ich habe nicht behauptet, dass [mm] $E[X^p]$ [/mm] endlich sei, ich sagte nur, dass die Argumentationskette sich im endlichen Fall begründen lässt.
Im Fall von [mm] $E[X^p] [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm] gilt die Identität vermutlich trivialerweise, weil dann auf beiden Seiten schlicht [mm] +\infty [/mm] steht… ich habe das jetzt aber nicht nachgerechnet.
> Aber wer sagt, dass $ [mm] E(X^p) [/mm] $ endlich ist?
niemand
Unter den gegebenen Voraussetzungen weiß man nur, dass $E[X] < [mm] +\infty$ [/mm] gilt.
Wie du korrekt erkannt hast, kann eine Aussage über [mm] $E[X^p]$ [/mm] für p>1 nicht getroffen werden.
Gruß,
Gono
PS: Du kannst die Bearbeitungsdauer deine Fragen auch einfach länger einstellen, dann funkt matux nicht immer dazwischen…
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Di 09.05.2023 | | Autor: | Jellal |
Danke dir Gono,
dann verstehe ich!
Jellal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Sa 29.04.2023 | | Autor: | Jellal |
Fuers System: Ich bin immer noch an einer Antwort interessiert :)
|
|
|
|
