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Forum "stochastische Prozesse" - Martingal E-Wert umschreiben
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Martingal E-Wert umschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Sa 22.04.2023
Autor: Jellal

Guten Tag,

ich haenge an einem Schritt in einem Beweis fest.

Sei [mm] \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty} [/mm] ein reell-wertiges Martingal und [mm] 1
Sei [mm] X:=\max_{1\le k \le n} |X_k|. [/mm]

Ich kann benutzen, dass fuer [mm] \lambda [/mm] > 0 gilt:
[mm] \lambda [/mm] P(X > [mm] \lambda) \le \integral_{X > \lambda}^{}{|X_n|dP} [/mm]

Nun kann man angeblich schreiben:
[mm] E(X^p) [/mm] = - [mm] \integral_{0}^{\infty}\lambda^p dP(\lambda) [/mm] mit [mm] P(\lambda):= [/mm] P(X > [mm] \lambda). [/mm]

Ich habe keine Ahnung, was hier passiert.
Es ist [mm] E(X^p) [/mm] = [mm] \integral_{\Omega}^{}{X^p dP} [/mm] mit [mm] \Omega [/mm] als W.keits-Raum.
Aber was passiert dann mit dem Integral? Wird hier ein neues Maß definiert? Und wo kommt das Minus her? [mm] E(X^{p}) [/mm] muss [mm] \ge [/mm] 0 sein, da X nicht-negativ ist. Aber das Integral selbst rechts kann doch niemals <0 sein, also woher das Minus?

VG.

        
Bezug
Martingal E-Wert umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 So 23.04.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm]E(X^p)[/mm] = - [mm]\integral_{0}^{\infty}\lambda^p dP(\lambda)[/mm] mit
> [mm]P(\lambda):=[/mm] P(X > [mm]\lambda).[/mm]

schau mal []hier.

Die andere Frage beantwote ich dir, wenn ich etwas mehr Zeit hab… voraussichtlich morgen oder übermorgen.

Gruß,
Gono

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Martingal E-Wert umschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:42 Mo 24.04.2023
Autor: Jellal

Hallo Gono,

danke fuer den Tipp.

Tatsaechlich geht die von mir gepostete Gleichung auch so weiter:
[mm] E(X^p)=-\integral_{0}^{\infty}{\lambda ^{p} dP(\lambda)} [/mm] = p [mm] \integral_{0}^{\infty} {\lambda^{p-1} P(\lambda)d \lambda}. [/mm]

Der Wiki Eintrag erklaert, dass [mm] E(X^p)=p \integral_{0}^{\infty} {\lambda^{p-1} P(\lambda)d \lambda}, [/mm] aber wie man dann auf den Zwischenschritt kommt, verstehe ich immer noch nicht. Ich kann mit [mm] dP(\lambda) [/mm] nichts anfangen. Ist das ein neues Maß?
Das Differential im Lebesgue-Integral, sagen wir [mm] d\mu(x), [/mm] steht fuer ein Maß [mm] \mu. [/mm] Im absolutely-continuous Fall gibt es dann eine Dichte f, sodass man schreiben kann [mm] d\mu(x)=f(x)dx. [/mm] Hier scheint zu gelten, dass [mm] dP(\lambda) [/mm] = [mm] -\bruch{p}{\lambda}P(\lambda)d\lambda, [/mm] sodass wir eine Dichte [mm] -\bruch{p}{\lambda}P(\lambda) [/mm] haben... aber keine Ahnung, wo das herkommt.

>Die andere Frage beantwote ich dir, wenn ich etwas mehr Zeit hab… voraussichtlich morgen oder übermorgen.
Danke sehr, keine Eile!

Jellal

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Martingal E-Wert umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Mo 24.04.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich kann mit [mm]dP(\lambda)[/mm] nichts > anfangen. Ist das ein neues Maß?

Das hast du doch selbst im ersten Post geschrieben:
Es ist [mm] $P(\lambda) [/mm] := P(X >  [mm] \lambda)$. [/mm]

> Das Differential im Lebesgue-Integral…

Das ist kein Lebesgue-Integral, sondern ein []Lebesgue-Stieltjes-Integral, ein Spezialfall von ersterem.
Lies dir den Wiki-Artikel durch um zu verstehen, warum…

Insbesondere ist aber die Verteilungsfunktion von $X [mm] \quad F_X(\lambda) [/mm] := [mm] 1-P(\lambda)$ [/mm] (und damit [mm] $dF_X(\lambda) [/mm] = [mm] -dP(\lambda)$ [/mm] und []es folgt daher für den Erwartungswert:
[mm] $E[X^p] [/mm] = [mm] \int_0^\infty x^p dF_X(x)= -\int_0^\infty x^p [/mm] dP(x)$

Gruß,
Gono



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Martingal E-Wert umschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Di 25.04.2023
Autor: Jellal

Hi Gono,

danke dir fuer den Hinweis auf das Stieltjes-Integral, der Unterschied war mir nie so wirklich klar.

Ich fasse mal zusammen, was ich gelesen habe, und versuche das auf unseren Fall anzuwenden:

Fuer eine monoton steigende, rechts-stetige Funktion G: [mm] \IR \to \IR [/mm] existiert stets ein Borel-Maß [mm] \mu_G [/mm] mit
[mm] \mu_G((a,b]) [/mm] = G(b)-G(a-).

Das Lebesgue-Stieltjes Integral fuer eine Borel-messbare Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist dann definiert als
[mm] \integral_{B}^{}{f(x)dG(x)} [/mm] := [mm] \integral_{B}^{}{f(x)d\mu_{G}(x)} \forall [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\IR), [/mm] wobei das Integral rechts ein Lebesgue-Integral ist.

Sicher kann man das Inegral links aber auch ueber den Grenzwert von Summen definieren, wie beim Riemann-Stieltjes Integral?


Sei nun [mm] (\Omega, \Sigma, [/mm] P) ein Wahrsch.keitsraum und
X: [mm] (\Omega, \Sigma) \to (\IR, \mathcal{B}(\IR)) [/mm] eine Zufallsvariable.

Die Verteilungsfunktion ist [mm] F_X(\lambda):=P_X((\infty,\lambda])=P(X\le \lambda), [/mm] mit [mm] P_X [/mm] als von X induziertem Maß auf [mm] (\IR, \mathcal{B}(\IR)). [/mm]
[mm] F_X [/mm] ist steigend und rechts-stetig. Also gibt es ein Borel-Maß [mm] \mu_F [/mm] mit [mm] \mu_F((a,b])=F_X(b)-F_X(a-). [/mm] Durch die Definition von [mm] F_X [/mm] folgt aber gerade, dass
[mm] \mu_F((a,b])=F_X(b)-F_X(a-)=P_X((-\infty, [/mm] b]) - [mm] P_X((-\infty, a])=P_X((a,b]), [/mm] sodass [mm] \mu_F [/mm] = [mm] P_X. [/mm]

Wir koennen also immer schreiben, fuer [mm] B\in \mathcal{B}(\IR), [/mm]
[mm] \integral_{X^{-1}(B)}{}{X(\omega)dP(\omega)}= \integral_{B}{}{x dP_X(x)} [/mm] = [mm] \integral_{B}{}{x dF_X(x)}, [/mm] wobei die ersten zwei Integrale Lebesgue-Integrale, und das letzte ein Lebesgue-Stieltjes-Integral ist.

In unserem Fall setzen wir nun [mm] \widetilde{P}(\lambda)=P(X>\lambda). [/mm] Damit ist [mm] F_X(\lambda)=1-\widetilde{P}(\lambda). [/mm] Außerdem ist X nicht-negativ.

Dann ist [mm] E(X^p)=\integral_{\Omega}{}{X^{p}(\omega)dP(\omega)}=\integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}dP_X(\lambda)}=\integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}dF_X(\lambda)} [/mm]
=- [mm] \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)}. [/mm]

Aber mit welcher Logik erhalte ich nun
- [mm] \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)} [/mm] = p [mm] \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p-1}\widetilde{P}(\lambda)d\lambda}? [/mm]

In dem von dir vorher geschickten Wiki-Eintrag wird gezeigt, dass [mm] E(X^{p})=p \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p-1}\widetilde{P}(\lambda)d\lambda}, [/mm] sodass die Gleichheit der beiden Ausdruecke natuerlich folgt. In meinem Buch sieht es aber so aus, als kaeme man von dem einen trivial auf den anderen...

VG.

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Martingal E-Wert umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Mi 26.04.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> In dem von dir vorher geschickten Wiki-Eintrag wird
> gezeigt, dass [mm]E(X^{p})=p \integral_{(0,\infty)}{}{\lambda^{p-1}\widetilde{P}(\lambda)d\lambda},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> sodass die Gleichheit der beiden Ausdruecke natuna werlich
> folgt. In meinem Buch sieht es aber so aus, als kaeme man
> von dem einen trivial auf den anderen...

na was "trivial" ist, hängt ja aber immer von den Vorkenntnissen ab ;-)

Aber tatsächlich kann man das hier einfach mit den folgenden zwei Rechenregeln des Stieltjesintegrals zeigen:

i) $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm  d}h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,{\mathrm  d}x$
ii) $\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm  d}h(x)=f(b)h(b)-f(a)h(a)-\int _{a}^{b}h(x)\,{\mathrm  d}f(x)$

i) ist letztendlich die Dichtetransformation bezüglich des Lebesgue-Maßes
ii) die partielle Integration (für das Stieltjesintegral)

Und dann folgt mit $h(\lambda) = \lambda^p, f(\lambda) = \widetilde{P}(\lambda)} $:

$-\integral_0^\infty \lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)} = -\integral_0^\infty h(\lambda) df(\lambda) \overbrace{=}^{ii} \int_0^\infty f(\lambda) dh(\lambda) \overbrace{=}^{i} \int_0^\infty   f(\lambda) h'(\lambda) d\lambda =  \int_0^\infty  \widetilde{P}(\lambda)} p\lambda^{p-1} d\lambda $

wie gewünscht.

Gruß,
Gono

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Martingal E-Wert umschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Mi 26.04.2023
Autor: Jellal

Hi Gono,

ahh partielle Integration fuer Stieltjes-Integrale!

Was passiert mit den Randtermen? Der f(0)h(0) Term verschwindet, aber anscheinend muss auch
[mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty}\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p}=0 [/mm] sein.
[mm] \widetilde{P}(\lambda) [/mm] geht gegen 0, aber [mm] \lambda^p [/mm] gegen [mm] \infty. [/mm]
Ich brauche, dass [mm] \widetilde{P}(\lambda) [/mm] schnell genug faellt, oder =0 ist ab einem endlichen [mm] \lambda. [/mm]

VG

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Martingal E-Wert umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 01.05.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Was passiert mit den Randtermen? Der f(0)h(0) Term
> verschwindet, aber anscheinend muss auch
>  
> [mm]\limes_{\lambda\rightarrow\infty}\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p}=0[/mm]
> sein.
>  [mm]\widetilde{P}(\lambda)[/mm] geht gegen 0, aber [mm]\lambda^p[/mm] gegen
> [mm]\infty.[/mm]
>  Ich brauche, dass [mm]\widetilde{P}(\lambda)[/mm] schnell genug
> faellt, oder =0 ist ab einem endlichen [mm]\lambda.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


korrekt, aber mach dir mal klar, dass das direkt folgt aus der Existenz von $E[X^p]$.

Es ist ja nach bisherigem $E[X^p] = - \integral_0^\infty {\lambda^{p}d\widetilde{P}(\lambda)} $ und wenn dieser Erwartungswert existieren soll, ist dieser Ausdruck endlich.
Und anschaulich wichtest du bei diesem Integral ja gerade $\lambda^p$ mit $d\widetilde{P}(\lambda)} $, d.h. damit das Integral nun endlich ist, folgt notwendigerweise $\lim_{\lambda \to \infty} \lambda^{p} \widetilde{P}(\lambda)} = 0$.

Gruß,
Gono

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Martingal E-Wert umschreiben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Di 02.05.2023
Autor: Jellal

Hi Gono!

Die Legitimitaet des Arguments verstehe ich noch nicht ganz.

Wir haben jetzt
[mm] E(X^p) [/mm] = [mm] -\int_{(0,\infty)}{}{\lambda^p d\widetilde{P}(\lambda)}= p\int_{(0,\infty)}{}{\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p-1}d\lambda}-\limes_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda^{p}\widetilde{P}(\lambda). [/mm]

In unserem Fall war [mm] X:=\max_{1\le k \le n}|X_{k}|, [/mm] wobei [mm] (X_{k})_{k\in\IN} [/mm] ein Martingal ist.
Das Integral rechts wird im Buch nun weiter abgeschaetzt, wobei benutzt wird, was im Eingangspost genannt wird, naemlich dass
[mm] \lambda \widetilde{P}(\lambda)\le \integral_{\{X>\lambda\}}{}{|X_n|dP}. [/mm]

Man erhaelt:
[mm] p\int_{(0,\infty)}{}{\widetilde{P}(\lambda)\lambda^{p-1}d\lambda} \le \bruch{p}{p-1}E(|X_n|^p)^{\bruch{1}{p}}E(X^p)^{\bruch{p-1}{p}}. [/mm]


Wenn ich nun weiß, dass der rechte Term endlich ist, und auch [mm] E(X^p) [/mm] selbst endlich ist, dann folgt daraus, dass auch [mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty}\lambda^{p}\widetilde{P}(\lambda)=0 [/mm] sein muss (sonst waere der ganze Ausdruck fuer [mm] E(X^p) [/mm] oben ja [mm] -\infty). [/mm]

Aber wer sagt, dass [mm] E(X^p) [/mm] endlich ist?
Ich weiß nur, dass [mm] E(|X_i|)<\infty [/mm] fuer alle i (Definition Martingal), aber das reicht nicht, wenn p>1.


VG

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Martingal E-Wert umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Sa 06.05.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Legitimitaet des Arguments verstehe ich noch nicht  ganz.

Ich glaube du hast die Aussage mißverstanden.
Ich habe nicht behauptet, dass [mm] $E[X^p]$ [/mm] endlich sei, ich sagte nur, dass die Argumentationskette sich im endlichen Fall begründen lässt.

Im Fall von [mm] $E[X^p] [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm]  gilt die Identität vermutlich trivialerweise, weil dann auf beiden Seiten schlicht [mm] +\infty [/mm] steht… ich habe das jetzt aber nicht nachgerechnet.

> Aber wer sagt, dass $ [mm] E(X^p) [/mm] $ endlich ist?

niemand

Unter den gegebenen Voraussetzungen weiß man nur, dass $E[X] < [mm] +\infty$ [/mm] gilt.
Wie du korrekt erkannt hast, kann eine Aussage über [mm] $E[X^p]$ [/mm] für p>1 nicht getroffen werden.

Gruß,
Gono

PS: Du kannst die Bearbeitungsdauer deine Fragen auch einfach länger einstellen, dann funkt matux nicht immer dazwischen…

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Martingal E-Wert umschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:34 Di 09.05.2023
Autor: Jellal

Danke dir Gono,

dann verstehe ich!

Jellal

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Martingal E-Wert umschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Sa 29.04.2023
Autor: Jellal

Fuers System: Ich bin immer noch an einer Antwort interessiert :)

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