Martingal/Martingalmaß < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 19.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo Stefan, hallo an alle anderen Spezialisten  ,
ich kämpfe gerade mit dem Vorkurs zur Finanzmathematik des letzten WS in Darmstadt....
Im Binomialmodell wird das "Martingalmaß" definiert als dasjenige, für das der Erwartungswert des morgigen Aktienkurses risikoneutral ist. (Skript S.10)
Im Skript des Vorkurses wird auf S. 13 das "Martingal" bzgl. einer Filtration eingeführt als stochastischer Prozeß mit bestimmten Eigenschaften.
Ich sehe noch nicht ganz die "Gemeinsamkeit" der beiden Begriffe in den verschiedenen Zusammenhängen. Kannst du mir dabei vielleicht helfen?
Vielen Dank
Astrid
P.S. Muß ich immer eine Fälligkeit angeben?
Gruß, A.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Di 20.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
Der Zusammenhang ist der Folgende:
Das Martingalmaß $Q$ ist im Binomialmodell dasjenige Maß, bezüglich dessen der Prozess
[mm] $\left( \frac{S_t}{B_t}\right)_{t=0,1}$
[/mm]
mit
[mm] $S_0=s$,
[/mm]
[mm] $S_1=sZ$ [/mm] (zur Definition von $Z$ vergleiche das Skript),
[mm] $B_0=1$,
[/mm]
[mm] $B_1=1+R$,
[/mm]
also der sogenannte diskontierte Preisprozess der Aktie ("diskontieren" im Sinne von "abzinsen"), bezüglich der kanonischen Filtration [mm] (${\cal F}_0 [/mm] = [mm] \sigma(S_0)$ [/mm] , [mm] ${\cal F}_1 [/mm] = [mm] \sigma(S_0,S_1)$) [/mm] ein Martingal ist.
Denn was ist denn zu überprüfen, damit [mm] $\left( \frac{S_t}{B_t}\right)_{t=0,1}$ [/mm] ein Martingal ist?
Die Messbarkeitsbedingungen?
Nein, die gelten nach Konstruktion der Filtration.
Die Integrabilitätsbedingungen?
Nein, [mm] $S_1$ [/mm] nimmt nur zwei Werte an, der Rest ist konstant.
Also nur die "Martingalbedingung".
Und diese beschränkt sich hier auf eine Gleichung:
[mm] $\frac{S_0}{B_0} [/mm] = [mm] E^Q \left[ \frac{S_1}{B_1}\, \vert \, {\cal F}_0 \right]$.
[/mm]
Setzt man ein und Zieht die Konstante [mm] $\frac{1}{1+R}$ [/mm] vor die bedingte Erwartung, so folgt:
[mm] $S_0 =\frac{1}{1+R}\, E^Q \left[ S_1\, \vert \, S_0 \right]$.
[/mm]
(Oder auch, faktorisiert:
$s = [mm] \frac{1}{1+R}\, E^Q \left[ S_1\, \vert \, S_0 =s\right]$.)
[/mm]
Und dies war genau die Bedingung dafür, dass $Q$ ein Martingalmaß ist.
Alles klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Stefan,
vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Das heißt, in der Definition des Martingals auf dem W-Raum (Vorkurs 1, S.13) wäre dann das Wahrscheinlichkeitsmaß P sozusagen das Martingalmaß?
Viele Grüße,
Astrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
> Das heißt, in der Definition des Martingals auf dem W-Raum
> (Vorkurs 1, S.13) wäre dann das Wahrscheinlichkeitsmaß P
> sozusagen das Martingalmaß?
Nein, das würde ich so nicht sagen. Klar, man könnte es so nennen, und die Bezeichnung würde im Prinzip auch Sinn machen. Aber eigentlich ist der Namen Martingalmaß nur im Kontext der Finanzmathematik gebräuchlich (mit dem diskontierten Preisprozess als Martingal), während der Martingalbegriff auch im allgemeineren (stochastischen) Rahmen eine große Bedeutung hat. Insofern wäre ich in diesem allgemeineren Rahmen mit der Bezeichnung "Martingalmaß" vorsichtig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Ok, vielen Dank. Ich denke, ich habe es soweit verstanden.
Ich komme bestimmt bald mit neuen Fragen auf dich zu... Habe bald die Prüfung...
Gruß,
Astrid
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