Martingale < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:31 Do 17.07.2008 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | | Seien [mm] (X_n, \mathcal{F}_n)_{n\in \IN}, (Y_n, \mathcal{F}_n)_{n\in \IN} [/mm] Supermartingale. Dann gilt: [mm] (min(X_n,Y_n), \mathcal{F}_n)_{n\in \IN} [/mm] ist ein Supermartingal |
Hallo zusammen!
Hoffe jemand kann mir hierbei einen weiterhelfen!
Muss ja zeigen: [mm] E(min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\le min(X_n,Y_n)
[/mm]
und ich weiß, dass gilt:
[mm] E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n)\le X_n [/mm] sowie
[mm] E(Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\le Y_n
[/mm]
weiß mir aber leider nicht zu helfen!
liebe grüße, die kittie
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Fr 18.07.2008 | | Autor: | kittie |
hallo nochmal!
es gibt ja auch noch andere möglichkeiten, zb gilt ja:
[mm](X_n, \mathcal{F}_n)_{n\in \IN}, (Y_n, \mathcal{F}_n)_{n\in \IN}[/mm]
Supermartingale [mm] \gdw (-X_n, \mathcal{F}_n)_{n\in \IN}, (-Y_n, \mathcal{F}_n)_{n\in \IN} [/mm] submartingale.
nun gilt: ist [mm] f:\IR \to \IR [/mm] nicht fallend und [mm] f\circ (-X_n) [/mm] intbar, dann ist [mm] (f\circ -X_n)_{n\in \IN} [/mm] ein Submartingal.
Komme aber dabei auch nicht so ganz zurecht!
Kann mir jemand bei meinem Problem helfen?
liebe Grüße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $\min(X_{n+1},Y_{n+1})\leq X_{n+1}$
[/mm]
und
[mm] $\min(X_{n+1},Y_{n+1})\leq Y_{n+1}$
[/mm]
Damit folgt mit der Monotonie des bedingten Erwartungswerts (die Du evtl. beweisen sollst) die Behauptung:
$ [mm] E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\le E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le X_n$
[/mm]
und analog:
[mm] $E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n) \leq Y_n$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 So 20.07.2008 | | Autor: | kittie |
hallo stefan!
> Damit folgt mit der Monotonie des bedingten Erwartungswerts
> (die Du evtl. beweisen sollst) die Behauptung:
>
> [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\le E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le X_n[/mm]
>
> und analog:
> [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n) \leq Y_n[/mm]
Das ist meiner Meinung nach nicht richtig da nicht zwingend gilt:
[mm] min(X_{n+1},Y_{n+1})=X_{n+1} \Rightarrow min(X_n,Y_n)=X_n
[/mm]
Analoges für [mm] Y_{n+1}
[/mm]
Darum glaube ich, dass man so nicht argumentieren darf!Oder?
Viele GRüße, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 So 20.07.2008 | | Autor: | Blech |
> hallo stefan!
>
> > Damit folgt mit der Monotonie des bedingten Erwartungswerts
> > (die Du evtl. beweisen sollst) die Behauptung:
> >
> > [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\le E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le X_n[/mm]
Es gilt ja nicht nur, daß der Ausdruck kleiner gleich [mm] $X_n$ [/mm] ist, sondern auch:
> >
> > und analog:
> > [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n) \leq Y_n[/mm]
Du kannst ja oben anstatt [mm] $X_{n+1}$ [/mm] und [mm] $X_n$ [/mm] auch [mm] $Y_{n+1}$ [/mm] und [mm] $Y_n$ [/mm] einsetzen.
Wenn [mm] $A\leq [/mm] B$ und [mm] $A\leq [/mm] C$, dann ist auch [mm] $A\leq \min\{B,C\}$.
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 20.07.2008 | | Autor: | kittie |
hallo nochmal!
> > > [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\le E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le X_n[/mm]
>
> Es gilt ja nicht nur, daß der Ausdruck kleiner gleich [mm]X_n[/mm]
> ist, sondern auch:
>
> > >
> > > und analog:
> > > [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n) \leq Y_n[/mm]
>
> Du kannst ja oben anstatt [mm]X_{n+1}[/mm] und [mm]X_n[/mm] auch [mm]Y_{n+1}[/mm] und
> [mm]Y_n[/mm] einsetzen.
>
> Wenn [mm]A\leq B[/mm] und [mm]A\leq C[/mm], dann ist auch [mm]A\leq \min\{B,C\}[/mm].
Aber folgendes kann eintreten:
annahme: [mm] min(X_{n+1},Y_{n+1})= X_{n+1}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)= E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le X_n \ge Y_n [/mm] falls [mm] min(X_n,Y_n)=Y_n
[/mm]
und das würde mir ja nichts bringen!
Verstehst du was ich meine?oder stehe ich grade völlig aufm schlau
lieben gruß, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 20.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Dann gilt:
>
> [mm]E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)= E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le X_n \ge Y_n[/mm]
aber es gilt auch
[mm] $E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)\leq E(Y_{n+1}|\mathcal{F}_n) \le Y_n$
[/mm]
weil Du ja gerade vorausgesetzt hast, daß [mm] $\min(X_{n+1},Y_{n+1})\leq Y_{n+1}$ [/mm] und weil Y ein Supermartingal ist.
Ob jetzt [mm] $X_n$ [/mm] oder [mm] $Y_n$ [/mm] größer ist, kann uns gleichgültig sein, solange [mm] $E(\min(X_{n+1},Y_{n+1})|\mathcal{F}_n)$ [/mm] kleiner ist als beide.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 20.07.2008 | | Autor: | kittie |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Sa 19.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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