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Hallo zusammen,
wieder eher eine Verständnis- bzw. "Vorstellungs"frage:
Wir haben eine Stoppzeit als ZV [mm]T:\Omega\to\IN_{\infty}[/mm] definiert, für die gilt [mm]\{T\le n\}\in\mathcal F_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]. (bzw. äquivalent [mm]\{T=n\}\in\mathcal F_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm])
Nun habe ich in einem schlauen Buch gelesen, dass man sich die Stoppzeit vorstellen kann als "eine Strategie, ein Spiel zu einem bestimmten vom Zufall abhängigen Zeitpunkt zu beenden. Die Bedingung [mm]\{T=n\}[/mm] stellt sicher, dass dazu kein Wissen aus der Zukunft verwendet wid, sondern die Entscheidung nur auf Grund der bis zum Zeitpunkt n bekannten Information [mm]\mathcal F_n[/mm] getroffen wird."
Als Beispiel einer Stoppzeit haben wir die Eintrittszeit definiert:
Seien [mm]X_1,X_2,\ldots[/mm] ZV. Die Eintrittszeit in [mm]B\in\mathcal B[/mm] ist [mm]T:=\inf\{n:X_n\in B\}[/mm]. [mm]T[/mm] ist Stoppzeit bzgl. [mm]\mathcal F_n=\sigma(X_1,\ldots,X_n)[/mm]
Das weist man geradeheraus und leicht nach.
Ich habe Schwierigkeiten, die Stoppzeit zu verstehen.
Da spielen doch in der Definition keine konkreten Ereignisse oder Beobachtungen (zB wie bei der Eintrittzeit durch die [mm]X_i[/mm] realisiert) ein.
Irgendwie habe ich einen Knoten im Hirn.
Kann mir bitte jemand anschaulich die Stoppzeit erklären?
Vielen Dank schonmal!
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
eine "Stoppzeit" ist, wie der Name schon sagt, ein Zeitpunkt, zu dem ein bestimmter Prozess gestoppt wird und ab da an konstant ist.
Die Bedingung $ [mm] \{T\le n\}\in\mathcal F_n [/mm] $ stellt dabei sicher, dass zu jedem Zeitpunkt n festgestellt werden kann, ob du deine Stoppzeit bereits erreicht hast, oder nicht.
Wäre diese Menge irgendwann nicht meßbar, gäbe es ja einen Zeitpunkt bei dem du keine Aussagen darüber treffen könntest, ob du deinen Prozess nun stoppen sollst, oder eben nicht.
Anschaulich und kurz zusammengefasst kannst du eben einfach sagen, dass eine Stoppzeit genau das ist, was du dir im realen Leben darunter auch feststellst: Eine Bedingung, wann etwas beendet sein soll. So eine Bedingung muss natürlich auch immer entscheidbar sein (ansonsten macht sie keinen Sinn).
Beim Roulette bspw. kannst du dir doch vornehmen, du beendest das Spiel, wenn du 100 € gewonnen oder verloren hast. Das kannst du nach jedem Spiel entscheiden.
Eine Bedingung wie "ich höre auf, wenn im übernächsten Wurf rot fällt", wäre sinnlos (und nicht [mm] $\mathcal{F_n}$-meßbar).
[/mm]
Ein kleiner Tipp noch zum Abschluß: Die Definitionen $ [mm] \{T\le n\}\in\mathcal F_n [/mm] $ und $ [mm] \{T = n\}\in\mathcal F_n [/mm] $ sind nur im diskreten Fall äquivalent! Es ist zwar gut, dass einem das bei diskreten Stoppzeiten klar ist (weil es vieles vereinfacht), verinnerlichen sollte man sich aber nur die erste Definition, da sie im stetigen Fall genauso verwendet wird.
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
auch für diese gute Antwort danke ich tüchtig!
Liebe Grüße
schachuzipus
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