Maß-Bedingungen nachrechnen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine beliebige Menge und f: X [mm] \to [/mm] [0, [mm] \infty] [/mm] eine beliebige Abbildung auf X. Für A [mm] \subset [/mm] X wird definiert:
[mm] \varphi_{f}(A) [/mm] := [mm] \underbrace{sup}_{E \subset A, \# E < \infty} \summe_{x \in E}^{} [/mm] f(x)
Zeigen Sie: [mm] \varphi_{f} [/mm] : [mm] \mathcal{P}(X) \to [/mm] [0, [mm] \infty] [/mm] ist ein Maß auf X. |
hallo
hänge bei dieser aufgabe an der letzten bedingung und bin mir nicht 100% sicher ob ich die anderen so stehen lassen kann. hier mal was ich bis jetzt habe:
- [mm] \varphi (\emptyset) [/mm] = 0; summe über die funktion auf der leeren menge ist null.
- [mm] \varphi(A) \ge [/mm] 0; da f definiert ist auf [0, [mm] \infty] [/mm] sind alle funktionenwerte größer bzw gleich null, insbesondere also auch die summe über die funktionenswerte.
- [mm] \varphi(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \varphi (A_{k}); [/mm] die vereinigung über die teilmengen (abzählbar viele und paarweise disjunkt) ergibt irgendwann die ganze menge X. als tipp wurde mir gesagt ich könnte die mengen zb so wählen: $ [mm] B_1=A_1, B_2=A_2\setminus A_1, B_3=A_3\setminus (A_1\cup A_2) [/mm] $, so ergibt die summe irgendwann auch die ganze menge X.
nur hier weiß ich dann nicht wie ich mein [mm] \underbrace{sup}_{E \subset A, \# E < \infty} \summe_{x \in E}^{} [/mm] f(x) einbringen kann
danke schonmal im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 07.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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