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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 So 30.12.2007 | | Autor: | Savoyen |
Guten Abend. Ich arbeite gerade das Skript meines Professors durch und da steht eine Übungsaufgabe drin, die mir zu schnell geht
| Aufgabe |
Sei F(X) := 0 , wenn x <0 und F(x) := 1, wenn x [mm] \ge [/mm] 1
Die Funktion F: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist nichtfallend, aber nicht linksstetig an der STelle 0.
Es sei noch einmal an die Definitionen erinnert
[mm] \mu([a,b[) [/mm] := F(b) - F(A) [mm] \forall [/mm] - [mm] \infty [/mm] < a [mm] \le [/mm] b < [mm] \infty
[/mm]
[mm] $\mu\*(T) [/mm] := [mm] inf(\sum_{n \in \IN_0} \mu (I_n) [/mm] : [mm] (I_n)_{n\ge 0}$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $\mathcal{I}, [/mm] T [mm] \subset \bigcup_{n\in \IN} I_n)$
[/mm]
a) Sei a < 0. Geben Sie eine Folge [mm] (I_n)_{n \ge 1} [/mm] in [mm] \mathcal{I} [/mm] an, sodaß [mm] sup(I_n) [/mm] < 0 für alle n [mm] \ge [/mm] 1 und [a, 0[ = [mm] \bigcup_{n \in \IN} \mathcal{I}_n
[/mm]
Lösung: [mm] I_n [/mm] = [a, - [mm] \frac{1}{n}] [/mm]
b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe a, dass [mm] \mu \* [/mm] ([a,b[) = 0 für alle - [mm] \infty [/mm] < a [mm] \le [/mm] b < [mm] \infty
[/mm]
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Hier ist die Lösung, bei der ich gerne den letzten Schritt erklärt haben möchte
[mm] \
[/mm]
a, b < 0
[mm] \mu (I_n) [/mm] = 0
[mm] \mu\* [/mm] ([a,b[) =0
a,b > 0
[mm] \mu \*([a,b[) [/mm] = 0
a < 0 [mm] \le [/mm] b
[a,b[ = [a,0 [ [mm] \cup [/mm] [0, b[
[mm] \bigcup I_{2n} [/mm] = [a,0[
[mm] \bigcup I_{2n+1} [/mm] = [0,b[
[mm] \Rightarrow \mu*([a,b[) [/mm] = 0
wo ich das gerade so abtippe. Da fällt mir auf, ich weiß auch nicht bei den ersten drei Schritten, wie man immer auf Null kommt. [mm] \mu \* [/mm] ist doch das Infimum, ich hatte es bei den ersten beiden Fällen aber so gerechnet:
[mm] \mu\* [/mm] ([a,b[) = [mm] \mu [/mm] ([a,b[) = F(b) - F(a).
Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass ist ja gar nicht das Gleiche. Kann mir jemand mal erläutern, wie das gerechnet wurde?
Grüße
Savoyen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 17.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Guten Abend. Ich arbeite gerade das Skript meines
> Professors durch und da steht eine Übungsaufgabe drin, die
> mir zu schnell geht
>
>
> Sei F(X) := 0 , wenn x <0 und F(x) := 1, wenn x [mm]\ge[/mm] 1
> Die Funktion F: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nichtfallend, aber nicht
> linksstetig an der STelle 0.
> Es sei noch einmal an die Definitionen erinnert
> [mm]\mu([a,b[)[/mm] := F(b) - F(A) [mm]\forall[/mm] - [mm]\infty[/mm] < a [mm]\le[/mm] b <
> [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\mu\*(T) := inf(\sum_{n \in \IN_0} \mu (I_n) : (I_n)_{n\ge 0}[/mm]
> ist eine Folge in [mm]\mathcal{I}, T \subset \bigcup_{n\in \IN} I_n)[/mm]
>
> a) Sei a < 0. Geben Sie eine Folge [mm](I_n)_{n \ge 1}[/mm] in
> [mm]\mathcal{I}[/mm] an, sodaß [mm]sup(I_n)[/mm] < 0 für alle n [mm]\ge[/mm] 1 und [a,
> 0[ = [mm]\bigcup_{n \in \IN} \mathcal{I}_n[/mm]
>
> Lösung: [mm]I_n[/mm] = [a, - [mm]\frac{1}{n}][/mm]
>
> b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe a, dass [mm]\mu \*[/mm] ([a,b[)
> = 0 für alle - [mm]\infty[/mm] < a [mm]\le[/mm] b < [mm]\infty[/mm]
>
>
> Hier ist die Lösung, bei der ich gerne den letzten Schritt
> erklärt haben möchte
> [mm]\[/mm]
> a, b < 0
>
> [mm]\mu (I_n)[/mm] = 0
> [mm]\mu\*[/mm] ([a,b[) =0
>
> a,b > 0
>
> [mm]\mu \*([a,b[)[/mm] = 0
>
> a < 0 [mm]\le[/mm] b
>
> [a,b[ = [a,0 [ [mm]\cup[/mm] [0, b[
>
> [mm]\bigcup I_{2n}[/mm] = [a,0[
>
> [mm]\bigcup I_{2n+1}[/mm] = [0,b[
>
> [mm]\Rightarrow \mu*([a,b[)[/mm] = 0
>
> wo ich das gerade so abtippe. Da fällt mir auf, ich weiß
> auch nicht bei den ersten drei Schritten, wie man immer auf
> Null kommt. [mm]\mu \*[/mm] ist doch das Infimum, ich hatte es bei
> den ersten beiden Fällen aber so gerechnet:
>
> [mm]\mu\*[/mm] ([a,b[) = [mm]\mu[/mm] ([a,b[) = F(b) - F(a).
>
> Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass ist ja gar nicht das
> Gleiche. Kann mir jemand mal erläutern, wie das gerechnet
> wurde?
Wenn a und b gleiches Vorzeichen haben, dann ist [mm]\mu([a,b[)=F(b) - F(a)=0[/mm].
Für die Folge [mm]I_n=[a,b[[/mm] (alle Folgenglieder gleich dem halboffenen Intervall) ist die Summe [mm]\summe \mu(I_n)=0[/mm]. Kleiner als 0 kann sie nicht werden, da [mm]\mu[/mm] nicht negativ werden kann. Also ist das Infimum 0.
Viele Grüße
Rainer
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