Maß < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Do 20.10.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich weiß bei der folgenden Aufgabe wie ich da vorgehen soll. Ich hoffe es kann mir jemand weiter helfen.
Ich soll zeigen, dass es genau ein endliches Maß [mm] \mu: [/mm] B( [mm] \IR) \to \IR [/mm] mit [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: \mu(]- \infty,x]) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+ y^{2}} [/mm] dy} existiert. Dabei ist B( [mm] \IR) [/mm] die von [mm] \IR [/mm] erzeugte Borel-Algebra.
Für die Existenz muss ich doch die Eigenschaften eines Maßes nachweisen oder? Also dass [mm] \mu( \emptyset) [/mm] = 0 und dass für alle Folgen ( [mm] A_{n})_{n \in \IN} [/mm] von paarweise disjunkten Mengen [mm] A_{n} \in \cal{A} [/mm] gilt: [mm] \mu( \bigcup_{n \in \IN} A_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{n \in \IN} \mu(A_{n}), [/mm] also die sigma-Additivität.
Aber ich kann doch die leere Menge nicht in das Integral einsetzen zur Überprüfung der ersten Eigenschaft. Ich weiß nicht, wie ich die Eigenschaften mit dem gegebenen Integral nachweisen soll.
Ich hoffe deshalb, dass mir jemande einen Tipp gehen kann, wie ich da vorzugehen habe.
Danke, Moe007
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> Ich soll zeigen, dass es genau ein endliches Maß [mm]\mu:[/mm] B(
> [mm]\IR) \to \IR[/mm] mit [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR: \mu(]- \infty,x])[/mm]
> = [mm] \integral_{-\infty}^{x} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+ y^{2}} [/mm] dy}
> existiert. Dabei ist B( [mm]\IR)[/mm] die von [mm]\IR[/mm] erzeugte
> Borel-Algebra.
>
> Für die Existenz muss ich doch die Eigenschaften eines
> Maßes nachweisen oder?
Hallo,
daß müßtest Du schon tun.
Nur - dazu mußt Du erstmal etwas in der Hand haben: ein Ding [mm] \mu, [/mm] von dem Du nachweisen willst, daß es ein Maß ist. Was Du bisher hast, ist ja nur eine Eigenschaft, die Dein Maß-Kandidat erfüllen soll, nämlich [mm] \mu(]- \infty,x]) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{x}{ \bruch{1}{1+ y^{2}} dy}.
[/mm]
Aber Du müßtest Dir erstmal ein [mm] \mu [/mm] definieren auf ganz B([mm]\IR)[/mm].
Dann habe ich in meinem Skript - dort, wo wir noch nicht sind - einen Satz gefunden.
Der sagt, daß es zu jeder monoton wachsenden, linksseitig stetigen Funktion F: [mm] \IR \to \IR [/mm] genau ein Maß [mm] \mu [/mm] auf [mm] B(\IR) [/mm] gibt mit [mm] \mu([a,b]]= [/mm] F(b)-F(a). Sicher gibt es so etwas auch in Deinen Unterlagen. Durch das Studium dieses Satzes könnte man sich gewiß inspirieren lassen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da die Mengen [mm] $]-\infty,x]$, [/mm] $x [mm] \in \IR$ [/mm] die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra ${\cal B}(\IR)$ [/mm] erzeugen und die Familie dieser Mengen durchschnittsstabil ist, ist [mm] $\mu$ [/mm] durch die gegebene Bedingung auf jeden Fall eindeutig bestimmt. Zu zeigen bleibt die Existenz von [mm] $\mu$ [/mm] (wenn du nicht den Satz von Angela zur Verfügung hast).
Definiere dir:
[mm] $\mu(\emptyset):=0$,
[/mm]
[mm] $\mu(]a,b]):= \mu(]-\infty,b]) [/mm] - [mm] \mu(]-\infty,a])$,
[/mm]
setze so [mm] $\mu$ [/mm] auf endliche Vereinigungen linkshalboffener Intervalle kanonisch fort und zeige, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Prämaß auf dem Ring [mm] ${\cal R}$, [/mm] dem System aller Vereinigungsmengen von je endlich vielen linkshalboffenen Mengen, darstellt. Dann folgt die Aussage aus dem Fortsetzungssatz von Carathéodory.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 23.10.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
vielen Dank für eure Antwort. Ich hab versucht, die Aufgabe nach Angelas Antwort zu machen. Die Stammfunktion von dem Integral [mm] \integral_{- \infty}^{x} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+y^{2}} [/mm] dy} ist doch der arctan y. Also:
[mm] \integral_{- \infty}^{x} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+y^{2}} [/mm] dy} = [arctan [mm] y]^{x}_{-\infty}
[/mm]
Aus dem ersten Semester ist bekannt, dass der arctan monoton wachsend ist und auch linksseitig stetig.
Aber wie berechne ich [mm] \mu(]-\infty,x]) [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{x} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+y^{2}} [/mm] dy} = arctan x - [mm] arctan(-\infty) [/mm] ?
[mm] arctan(-\infty) [/mm] geht gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Kann ich dann, nachdem ich das berechnet hab, dann die Behauptung schließen, also dass es genau ein endliches Maß gibt?
Danke für eure Hilfe,
Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moe!
Der [mm] $\arctan(x)$ [/mm] geht für [mm] $x\rightarrow \pm \infty$ [/mm] aber nicht gegen [mm] $+\infty$ [/mm] bzw. [mm] $-\infty$ [/mm] .
Sieh Dir mal diese Skizze an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gilt also: [mm] $\limes_{x\rightarrow - \infty}\arctan(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{-\bruch{\pi}{2}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:27 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ups, stimmt. Hab ich total vergessen.... tut mir leid, ich hab das Bild vom arctan falsch vor Augen gehabt  Danke für die Korrektur.
Ist das Maß also [mm] \mu(]-\infty,x]) [/mm] = arctan x + [mm] \bruch{-\pi}{2}?
[/mm]
Ist dann jetzt die Behauptung bewiesen mit Hilfe vom Satz, den Angela angegeben hat?
Gruß Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 So 30.10.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Moe!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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