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Maß P durch Verteil. bestimmt: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 27.05.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei P ein WMaß auf [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR)), [/mm] d.h. [mm] P(\IR)=1, [/mm] und sei [mm] F:\IR \to [/mm] [0,1] mit
[mm] F(x):=P((-\infty,x]), [/mm] x [mm] \in \IR [/mm]
die zu P gehörige Verteilungsfunktion. z.z. P durch F bereits eindeutig bestimmt.

Hallo,

mir ist hier etwas unklar, was überhaupt genau gezeigt werden soll, ich würde nun folgendes machen :

Subtraktivität für a<b:
[mm] P((a,b])=F(b)-F(a)=P((-\infty,b])+P((-\infty,a]), [/mm]
da wachsende und Stetigkeit von oben.

P durch F eindeutig [mm] (P(\IR)=\limes_{x \to \infty}F(x)=1): [/mm]
Mit Stetigkeit von unten folgt
[mm] P(\IR)=\limes_{n \to \infty}P((-n,n])=\limes_{n \to \infty}(F(n)-F(-n))=\limes_{n \to \infty}F(n)- \underbrace{\limes_{n \to \infty}F(-n)}_{=0}=1, [/mm]

also ist P ein WMaß und
[mm] F(x)=P((-\infty,x])=\limes_{n \to \infty}P((-n,x])=F(x)- \limes_{n \to \infty}F(-n)=F(x) [/mm]

Da mir das allerdings ein wenig zu trivial scheint, frage ich nach dem richtigen Lösungsansatz. Soll hier noch explizit die Stetigkeit von oben und unten gezeigt werden?

        
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Mi 27.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> mir ist hier etwas unklar, was überhaupt genau gezeigt werden soll

Das $P$ eindeutig bestimmt ist ;-)
Das ist gar nicht so klar, denn: P ist durch F bisher ja nur auf den halboffenen Intervallen [mm] $(-\infty,x]$ [/mm] fixiert.
Wieso sollte P durch die Fixierung auf diese halboffenen Intervalle sofort auf ganz [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] eindeutig bestimmt sein?

Darum geht es in der Frage: Durch eine Festlegung auf einer bestimmten Teilmenge, ist ein Maß bereits auf der kompletten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] definiert.

Welche Voraussetzungen muss das Maß und die Teilmenge erfüllen, damit das stimmt? (Maßeindeutigkeitssatz)

> Soll hier noch explizit die Stetigkeit von oben und unten gezeigt werden?

Nein, das folgt sofort daraus, dass P ein Maß ist, und das ist ja gegeben.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:20 Do 28.05.2020
Autor: TS85

Es handelt sich also dementsprechend (mal wieder) um eine Aufgabe, die sich (weit) jenseits des Skriptes befindet (wobei man bestimmt alles irgendwie herleiten kann..)

Also P ein WMaß ist mit dem Ereignisraum [mm] X=\IR [/mm] und der [mm] Borel-\sigma [/mm] -Algebra  [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] auf X.
Dann heißt Abbildung P: [mm] \mathcal{B}(\IR) \to [/mm] [0,1]
mit den Eigenschaften der Normiertheit und [mm] \sigma- [/mm] Additivität
Wahrscheinlichkeitsmaß.

Es liegt die Algebra [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B}(\IR) [/mm] mit dem Erzeuger [mm] \mathcal{E}=\IR [/mm] vor.

[mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] A = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}\underbrace{((a_i,b_i])}_{paarw. disjunkt} [/mm]

[mm] P(A)=\summe_{i=1}^{n}P((a_i,b_i])=\summe_{i=1}^{n}F(a_i)-F(b_i) [/mm]

Nach Satz von Caratheodory über Fortsetzung von WMaßen dann P WMaß auf [mm] \mathcal{B}(\IR)? [/mm]

Hilfe wäre hilfreich, weil mir der gesamte Beweis relativ neuartig ist..


Bezug
                        
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 30.05.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Mo 01.06.2020
Autor: TS85

Jo danke, hat sich schon erledigt. Meine "Hysterie" hat sich als falsch herausgestellt.

Bezug
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