matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieMaß P durch Verteil. bestimmt
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Maßtheorie" - Maß P durch Verteil. bestimmt
Maß P durch Verteil. bestimmt < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Maß P durch Verteil. bestimmt: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 27.05.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei P ein WMaß auf [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR)), [/mm] d.h. [mm] P(\IR)=1, [/mm] und sei [mm] F:\IR \to [/mm] [0,1] mit
[mm] F(x):=P((-\infty,x]), [/mm] x [mm] \in \IR [/mm]
die zu P gehörige Verteilungsfunktion. z.z. P durch F bereits eindeutig bestimmt.

Hallo,

mir ist hier etwas unklar, was überhaupt genau gezeigt werden soll, ich würde nun folgendes machen :

Subtraktivität für a<b:
[mm] P((a,b])=F(b)-F(a)=P((-\infty,b])+P((-\infty,a]), [/mm]
da wachsende und Stetigkeit von oben.

P durch F eindeutig [mm] (P(\IR)=\limes_{x \to \infty}F(x)=1): [/mm]
Mit Stetigkeit von unten folgt
[mm] P(\IR)=\limes_{n \to \infty}P((-n,n])=\limes_{n \to \infty}(F(n)-F(-n))=\limes_{n \to \infty}F(n)- \underbrace{\limes_{n \to \infty}F(-n)}_{=0}=1, [/mm]

also ist P ein WMaß und
[mm] F(x)=P((-\infty,x])=\limes_{n \to \infty}P((-n,x])=F(x)- \limes_{n \to \infty}F(-n)=F(x) [/mm]

Da mir das allerdings ein wenig zu trivial scheint, frage ich nach dem richtigen Lösungsansatz. Soll hier noch explizit die Stetigkeit von oben und unten gezeigt werden?

        
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Mi 27.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> mir ist hier etwas unklar, was überhaupt genau gezeigt werden soll

Das $P$ eindeutig bestimmt ist ;-)
Das ist gar nicht so klar, denn: P ist durch F bisher ja nur auf den halboffenen Intervallen [mm] $(-\infty,x]$ [/mm] fixiert.
Wieso sollte P durch die Fixierung auf diese halboffenen Intervalle sofort auf ganz [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] eindeutig bestimmt sein?

Darum geht es in der Frage: Durch eine Festlegung auf einer bestimmten Teilmenge, ist ein Maß bereits auf der kompletten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] definiert.

Welche Voraussetzungen muss das Maß und die Teilmenge erfüllen, damit das stimmt? (Maßeindeutigkeitssatz)

> Soll hier noch explizit die Stetigkeit von oben und unten gezeigt werden?

Nein, das folgt sofort daraus, dass P ein Maß ist, und das ist ja gegeben.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:20 Do 28.05.2020
Autor: TS85

Es handelt sich also dementsprechend (mal wieder) um eine Aufgabe, die sich (weit) jenseits des Skriptes befindet (wobei man bestimmt alles irgendwie herleiten kann..)

Also P ein WMaß ist mit dem Ereignisraum [mm] X=\IR [/mm] und der [mm] Borel-\sigma [/mm] -Algebra  [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] auf X.
Dann heißt Abbildung P: [mm] \mathcal{B}(\IR) \to [/mm] [0,1]
mit den Eigenschaften der Normiertheit und [mm] \sigma- [/mm] Additivität
Wahrscheinlichkeitsmaß.

Es liegt die Algebra [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B}(\IR) [/mm] mit dem Erzeuger [mm] \mathcal{E}=\IR [/mm] vor.

[mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: [/mm] A = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}\underbrace{((a_i,b_i])}_{paarw. disjunkt} [/mm]

[mm] P(A)=\summe_{i=1}^{n}P((a_i,b_i])=\summe_{i=1}^{n}F(a_i)-F(b_i) [/mm]

Nach Satz von Caratheodory über Fortsetzung von WMaßen dann P WMaß auf [mm] \mathcal{B}(\IR)? [/mm]

Hilfe wäre hilfreich, weil mir der gesamte Beweis relativ neuartig ist..


Bezug
                        
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 30.05.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Maß P durch Verteil. bestimmt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:55 Mo 01.06.2020
Autor: TS85

Jo danke, hat sich schon erledigt. Meine "Hysterie" hat sich als falsch herausgestellt.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]