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Maß des Schnitts muss 0 sein: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 So 25.10.2020
Autor: Jellal

Guten Abend!

Ich soll folgendes zeigen: Sei [mm] (X,\Sigma,\mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] E_{n}\in \Sigma [/mm] eine Folge von Mengen mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty. [/mm]

Ich soll zeigen, dass dann [mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})=0. [/mm]
Dabei wird auf die Linearität des Lebesgue-Integrals für nicht-negative messbare Funktionen verwiesen, und auf die Tatsache, dass mit solchen Funktionen über
[mm] \nu(E)=\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)} [/mm] neue Maße definiert werden.

Ich glaube aber, diesen Hinweis nicht zu brauchen.
Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty, [/mm] dann muss [mm] \mu(E_{n}) [/mm] eine Nullfolge sein (die Maße sind nichtnegativ und die Reihe muss daher konvergieren). Dann folgt doch
[mm] \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \mu(E_{n}) [/mm] für alle n wegen Monotonie, und daher auch 0 [mm] \le \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(E_{n}) [/mm] = 0.

Stimmt was nicht? Wie würde der Hinweis helfen?

vG.
Jellal

        
Bezug
Maß des Schnitts muss 0 sein: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mo 26.10.2020
Autor: fred97


> Guten Abend!
>  
> Ich soll folgendes zeigen: Sei [mm](X,\Sigma,\mu)[/mm] ein Maßraum
> und [mm]E_{n}\in \Sigma[/mm] eine Folge von Mengen mit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty.[/mm]
>  
> Ich soll zeigen, dass dann
> [mm]\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})=0.[/mm]
>  Dabei wird auf die Linearität des Lebesgue-Integrals für
> nicht-negative messbare Funktionen verwiesen, und auf die
> Tatsache, dass mit solchen Funktionen über
> [mm]\nu(E)=\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)}[/mm] neue Maße definiert
> werden.
>  
> Ich glaube aber, diesen Hinweis nicht zu brauchen.
>  Wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(E_{n})<\infty,[/mm] dann muss
> [mm]\mu(E_{n})[/mm] eine Nullfolge sein (die Maße sind nichtnegativ
> und die Reihe muss daher konvergieren). Dann folgt doch
>  [mm]\mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \mu(E_{n})[/mm] für alle
> n wegen Monotonie, und daher auch 0 [mm]\le \mu(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty} \mu(E_{n})[/mm]
> = 0.
>  
> Stimmt was nicht?

Deine Argumentation ist richtig.

> Wie würde der Hinweis helfen?
>  
> vG.
>  Jellal


Bezug
                
Bezug
Maß des Schnitts muss 0 sein: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 So 01.11.2020
Autor: Jellal

Vielen Dank, Fred!!

Bezug
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