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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 So 30.05.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich bereite mich auf eine Prüfung vor und habe zum Beweis eines Lemmas Fragen. Leider ist der Beweis recht kurz und für mich unübersichtlich beschrieben und mir fehlt da irgendwie der "rote" Leitfaden :-(
Lemma :
Seien [mm] f,g \ge 0 [/mm].
(a) [mm] f = g , \ \mu [/mm] f.ü. [mm] \Rightarrow \ f \mu = g \mu [/mm]
(b) Ist f oder g integrierbar, so gilt die Umkehrung von (a).
Beweis :
(a) [mm] f 1_{A} = g 1_{A} \ \ \mu [/mm] f.ü.
[mm] \integral f 1_{A} d\mu = \integral g 1_{A} d \mu [/mm]
(b) [mm] \integral_{ \Omega} f d \mu = \integral_{\Omega} g d \mu [/mm] beide Funktionen integrierbar.
Ab hier verlier ich den Faden:
[mm] ( N = \{ f > g \} ) \Rightarrow 0 \le ( f - g) 1_{N} [/mm] intgrierbar
Warum betrachtet man die Menge N, steht das N für eine Nullmenge ?
[mm] 0 \le \integral ( f- g ) 1_N d \mu = \integral_{N} f d \mu -
\integral_{N} g d \mu = 0 [/mm]
Warum gilt die Gleichheit = 0 ?
[mm] ( f - g ) 1_{N} = 0 \ \mu [/mm] f.ü. [mm] \Rightarrow \mu ( N) = 0 [/mm]
Analog: [mm] \mu ( \{ f < g \} ) = 0 \ \Rightarrow \mu ( \{ f \ne g \} ) = 0 [/mm]
Bedeutet Analog hier, dass man als nächstes die Menge [mm] N = \{ f < g \} [/mm] betrachtet? Und dann ?
Ich sehe irgendwie nicht ganz die Beweisidee :-(...
Vielen dank schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Irmchen,
> Seien [mm]f,g \ge 0 [/mm].
> (a) [mm]f = g , \ \mu[/mm] f.ü. [mm]\Rightarrow \ f \mu = g \mu[/mm]
>
> (b) Ist f oder g integrierbar, so gilt die Umkehrung von
> (a).
>
> Beweis :
>
> (a) [mm]f 1_{A} = g 1_{A} \ \ \mu[/mm] f.ü.
> [mm]\integral f 1_{A} d\mu = \integral g 1_{A} d \mu [/mm]
>
> (b) [mm]\integral_{ \Omega} f d \mu = \integral_{\Omega} g d \mu[/mm]
> beide Funktionen integrierbar.
>
> Ab hier verlier ich den Faden:
>
> [mm]( N = \{ f > g \} ) \Rightarrow 0 \le ( f - g) 1_{N}[/mm]
> intgrierbar
> Warum betrachtet man die Menge N, steht das N für eine
> Nullmenge ?
Nein, noch nicht. N ist zunächst der Name für die Menge [mm] $\{f>g\}$, [/mm] also für [mm] $\{\omega\in\Omega\ :\ f(\omega)>g(\omega)\}$. [/mm] Diese Menge besteht sozusagen aus allen "Stellen", an denen der Graph von f oberhalb von g verläuft.
Dass es sich um eine Nullmenge handelt, wird hier gerade erst gezeigt und darf solange natürlich nicht vorweg genommen werden.
> [mm]0 \le \integral ( f- g ) 1_N d \mu = \integral_{N} f d \mu -
\integral_{N} g d \mu = 0[/mm]
>
> Warum gilt die Gleichheit = 0 ?
Nach Voraussetzung. Die Voraussetzung ist doch hier [mm] $f\mu=g\mu$, [/mm] also [mm] $\int_A [/mm] f [mm] d\mu=\int_A [/mm] g [mm] d\mu$ [/mm] für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$. [/mm] Daher doch auch [mm] $\int_N [/mm] f [mm] d\mu=\int_N [/mm] g [mm] d\mu$, [/mm] da [mm] $N=\{f>g\}\in\mathcal{A}$ [/mm] (ich nehme an, dass das Lemma im Kontext der Borelschen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] steht, also [mm] $\mathcal{A}=\mathcal{B}$ [/mm] gilt).
> [mm]( f - g ) 1_{N} = 0 \ \mu[/mm] f.ü. [mm]\Rightarrow \mu ( N) = 0[/mm]
>
> Analog: [mm]\mu ( \{ f < g \} ) = 0 \ \Rightarrow \mu ( \{ f \ne g \} ) = 0[/mm]
>
> Bedeutet Analog hier, dass man als nächstes die Menge [mm]N = \{ f < g \}[/mm]
> betrachtet? Und dann ?
Genau, das heißt es. Diese Menge ist natürlich im allgemeine eine andere als die eben, daher sollte man sie eher mit [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] bezeichnen.
Beide Mengen sind Nullmengen, daher auch ihre Vereinigung [mm] $N:=N_1\cup N_2$.
[/mm]
(Mein) N ist damit aber gerade die Menge aller Stellen, an denen f und g unterschiedlich sind, denn [mm] $\{f\not=g\}=\{fg\}$, [/mm] das heißt, f und g unterscheiden sich auf einer Nullmenge oder noch anders gesagt: Außerhalb der Nullmenge N sind f und g gleich, und das ist die Bedeutung von f=g [mm] $\mu$-f.ü.
[/mm]
> Ich sehe irgendwie nicht ganz die Beweisidee :-(...
Ich hoffe, es ist ein bisschen klarer geworden, sonst frag' bitte nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 08.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Marc,
vielen lieben Dank für die Antwort  !
Viele Grüße
irmchen
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