Maß, ja oder nein? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 04.04.2012 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Ist es ein Maß oder nicht?
a) [mm] \mu(A)=\begin{cases} 11, & \mbox{falls } \IQ \subset A \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
b) [mm] \mu(A)=\begin{cases} 11, & \mbox{falls } 5 \in A \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls} 5 \not\in A \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] c)\mu(A)=\integral_{A}^{}{sin(x) dx}
[/mm]
d) [mm] \mu(A)=\integral_{A}^{}{e^{x} d\mu}
[/mm]
[mm] e)\mu(A)=\mu(A\cap (-\infty,0])
[/mm]
[mm] f)\mu(A)=1 [/mm] für alle A |
Hallöchen,
ich wirklich Probleme bei der Aufgabe,also ich sehe einfach nicht ob es sich um ein Maß handelt oder nicht.
Ich weiß das [mm] \mu(\emptyset)=0 [/mm] gelten soll und [mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})=\summe_{i=1}^{\infty}\mu (A_{i}).
[/mm]
Hat jemand ein Tipp wie man das besser bzw überhaupt erkennen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 04.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo simplify,
> Ist es ein Maß oder nicht?
> a) [mm]\mu(A)=\begin{cases} 11, & \mbox{falls } \IQ \subset A \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> b) [mm]\mu(A)=\begin{cases} 11, & \mbox{falls } 5 \in A \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls} 5 \not\in A \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> [mm]c)\mu(A)=\integral_{A}^{}{sin(x) dx}[/mm]
> d)
> [mm]\mu(A)=\integral_{A}^{}{e^{x} d\mu}[/mm]
> [mm]e)\mu(A)=\mu(A\cap (-\infty,0])[/mm]
>
> [mm]f)\mu(A)=1[/mm] für alle A
Bitte poste doch die komplette Aufgabenstellung. Aus welchem messbaren Raum sollen die Mengen A stammen?
Insbesondere bei e) wird das nicht die volle Aufgabenstellung sein und außerdem wird nicht auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens [mm] $\mu$ [/mm] stehen.
> ich wirklich Probleme bei der Aufgabe,also ich sehe
> einfach nicht ob es sich um ein Maß handelt oder nicht.
> Ich weiß das [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] gelten soll und
> [mm]\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i})=\summe_{i=1}^{\infty}\mu (A_{i}).[/mm]
Außerdem muss [mm] $\mu$ [/mm] eine Abbildung nach [mm] $[0,\infty]$ [/mm] sein.
Sind dir die Definitionen der Abbildungen [mm] $\mu$ [/mm] soweit klar? Wenn ja, dürfte es ja kein Problem sein, jeweils zu gucken, ob [mm] $\mu(\emptyset)=0$ [/mm] gilt.
> Hat jemand ein Tipp wie man das besser bzw überhaupt
> erkennen kann?
Ich schlage folgendes Vorgehen vor:
1. Prüfe, ob [mm] $\mu\ge0$ [/mm] und [mm] $\mu(\emptyset)=0$ [/mm] gilt.
Das ist nämlich am einfachsten zu überprüfen. Wenn eine der Abbildungen schon diesen Eigenschaften nicht genügt, kann sie kein Maß sein.
Als nächstes: Ihr wisst doch sicherlich, dass Maße nicht nur sigma-additiv, sondern auch endlich additiv sind. Daher:
2. Prüfe, ob für disjunkte Mengen [mm] $A_1, A_2$ [/mm] stets gilt: [mm] $\mu(A_1\cup A_2)=\mu(A_1)+\mu(A_2)$. [/mm] Berechne dazu [mm] $\mu(A_1\cup A_2)$.
[/mm]
Falls dies nicht für alle disjunkten [mm] $A_1, A_2$ [/mm] gilt, kann wiederum kein Maß vorliegen.
3. Prüfe, ob Sigma-Additivität vorliegt. Berechne dazu für paarweise disjunkte Mengen [mm] $A_i, i\in\IN$ [/mm] den Wert [mm] $\mu(\bigcup_{i\in\IN}A_i)$.
[/mm]
Punkt 2. ist natürlich eigentlich überflüssig. Aber er erscheint mir etwas einfacher als Punkt 3. Möglicherweise bist du nach 2. schon fertig. Anderenfalls war 2. immerhin eine gute Vorübung für 3.
Soweit mein Vorschlag zur Vorgehensweise. Noch ein paar Hinweise zu 2. bei einzelnen Teilaufgaben (für 3. gelten ähnliche Hinweise):
b): Hier sind beispielsweise bei 2. Fallunterscheidungen danach, ob [mm] $5\in A_1$ [/mm] oder nicht bzw. [mm] $5\in A_2$ [/mm] oder nicht, nötig. (Beachte dabei, dass [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] disjunkt sein sollen.) Gilt jeweils [mm] $5\in A_1\cup A_2$?
[/mm]
a): Hier gilt analoges mit [mm] $\IQ\subseteq$ [/mm] statt [mm] $5\in$.
[/mm]
c) und/oder d): Berücksichtige [mm] $1_{A_1}+1_{A_2}=1_{A_1\cup A_2}$ [/mm] (Indikatorfunktionen) für [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] disjunkt.
Für 3. könnte der Satz von der monotonen Konvergenz nützlich sein...
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 05.04.2012 | | Autor: | simplify |
Danke für die ausführliche Antwort.Hab mal probiert nach dem Schema zu arbeiten und könnte schon paar Maße als nicht-Maße entlarven, denke ich zumindest.
Also a) bereitet mir irgendwie anschaulich bzw auch zum überprüfen Probleme.
Punkt 1 ist auf jeden Fall erfüllt.
Ich denke, dass b) ein Maß ist.Egal wie ich die disjunkten Mengen wähle, sie erfüllen 2. und 3..
c) ist kein Maß. Ich habe mal die disjunkten Mengen [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] und [mm] (\bruch{\pi}{2},\pi] [/mm] und dann ist 2. nicht erfüllt.
d) würde ich für ein Maß halten. Das ist aber mehr oder weniger geraten bzw ein Gefühl nachdem ich schon paar mal jetzt rumgerechnet habe.
e)Das ist ein Maß.
f) Das ist auf keinen Fall ein Maß, weil es 1. schon nicht erfüllt.
Sieht das erstmal gut aus soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Fr 06.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Bitte liefere noch die fehlenden Teile der Aufgabenstellung nach. Insbesondere bei c) und e) kann ich sonst nur raten, was gemeint ist und so nicht sicher sagen, ob ein Maß vorliegt.
> Also a) bereitet mir irgendwie anschaulich bzw auch zum
> überprüfen Probleme.
> Punkt 1 ist auf jeden Fall erfüllt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Was hast du denn bei der Untersuchung von 2. herausgefunden?
Seien also [mm] $A_1,A_2$ [/mm] disjunkt.
Wenn z.B. [mm] $\IQ\subseteq A_1$ [/mm] gilt: Gilt dann [mm] $\IQ\subseteq A_2$? [/mm] Gilt dann [mm] $\IQ\subseteq A_1\cup A_2$? [/mm] Wie sehen also [mm] $\mu(A_1)$, $\mu(A_2)$ [/mm] und [mm] $\mu(A_1\cup A_2)$ [/mm] aus?
(Mit [mm] $\IQ\subseteq A_2$ [/mm] statt [mm] $\IQ\subseteq A_1$ [/mm] funktioniert alles analog.)
Nimm nun mal [mm] $\IQ\not\subseteq A_1$ [/mm] und [mm] $\IQ\not\subseteq A_2$ [/mm] an. Was weißt du dann darüber, ob [mm] $\IQ\subseteq A_1\cup A_2$ [/mm] gilt? Gilt also stets [mm] $\mu(A_1\cup A_2)=\mu(A_1)\cup\mu(A_2)$?
[/mm]
> Ich denke, dass b) ein Maß ist.Egal wie ich die
> disjunkten Mengen wähle, sie erfüllen 2. und 3..
Stimmt. Beweis?
> c) ist kein Maß. Ich habe mal die disjunkten Mengen
> [mm][0,\bruch{\pi}{2}][/mm] und [mm](\bruch{\pi}{2},\pi][/mm] und dann ist 2.
> nicht erfüllt.
Doch. Nennen wir deine beiden disjunkten Mengen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$. [/mm] Es gilt
[mm] $\mu(A_1\cup A_2)=\integral_{A_1\cup A_2}{sin(x) dx}=\integral{1_{A_1\cup A_2}(x)sin(x) dx}=\integral{(1_{A_1}+1_{A_2})(x)sin(x) dx}=\ldots=\mu(A_1)+\mu(A_2)$
[/mm]
(Den Rest der Rechnung überlasse ich dir.)
Was ergab denn die Untersuchung von Punkt 1.? (Das hängt von der Frage ab, aus welcher Sigma-Algebra A stammt.)
> d) würde ich für ein Maß halten. Das ist aber mehr oder
> weniger geraten bzw ein Gefühl nachdem ich schon paar mal
> jetzt rumgerechnet habe.
Was sagt denn die Untersuchung der einzelnen Punkte? 2. und 3.: Ähnliche Rechnung wie bei c).
> e)Das ist ein Maß.
Begründung?
> f) Das ist auf keinen Fall ein Maß, weil es 1. schon
> nicht erfüllt.
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