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Maß und Dynkinsystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Fr 20.11.2020
Autor: Flowbro

Aufgabe
a)
Es sei m ∈ N und [mm] B_{m} [/mm] die Borel σ-Algebra [mm] B_{m} [/mm] über [mm] R^{m} [/mm]
i) Zeigen Sie, dass fur  α ∈ (0, ∞) durch µ : [mm] B_{m} [/mm] → [0, ∞],
µ(A) := 0, falls A abzählbar & µ(A) := α, falls A nicht abzählbar
(A ∈ [mm] B_{m}) [/mm] kein Maß auf [mm] B_{m} [/mm] definiert ist.
ii) Stimmt die Aussage in i) auch für  α = ∞ ?

b)
Es sei (Ω, A) ein Messraum und µ : A → [0, ∞] ein Maß auf (Ω, A). Ferner sei
D := {A ⊂ Ω | µ(A) ∈ [mm] N_{0} [/mm] ∪ {∞} }
Überprüfen Sie, welche Eigenschaften (i)-(iii) eines Dynkin-Systems erfüllt sind.

Hallo,

bei obigen zwei Teilaufgaben bräuchte ich Hilfe.

a i) hier muss man ja die zwei Voraussetzungen für ein Maß nachrechnen, wobei man ja eine Fallunterscheidung machen muss, falls Omega (also hier  [mm] B_{m}?!) [/mm] abzählbar oder nicht abzählbar ist, oder?
hierbei gilt dann doch, dass µ das Nullmaß ist, wenn [mm] B_{m} [/mm] abzählbar und die Abbildung ansonten wohldefiniert ist auf der Borel-Algebra

und weiter gilt, dass die leere Menge abzählbar ist, wodurch gilt, dass µ [mm] (\emptyset)=0 [/mm]

Beim zweiten Schritt, dass die Vereinigung von nicht(abzählbaren) Folgen [mm] A_{n} [/mm] wieder in der Borelalgebra liegen muss, müsste nun doch irgendwie ein Widerspruch kommen, allerdings weiß ich nicht, wie man das hier zeigen soll.
ii) dementsprechend weiß ich auch nicht, wie das im Fall α = ∞ aussieht

b) Hier muss man ja eigentlich nur die 3 Axiome nachrechnen, da ich dies für Dynkinsysteme aber noch nie gemacht habe, tue ich mich schwer damit.
Vor allem die Existenz des Maßes in der Menge irritiert mich, und hier muss man doch auch wieder eine Fallunterscheidung vornehmen, oder irre ich?

Auf jeden Fall muss Ω [mm] \in [/mm] D gelten, außerdem muss [mm] A^c \in [/mm] D gelten und für eine p.d. Folge muss die Vereinigung wieder in D liegen


        
Bezug
Maß und Dynkinsystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Fr 20.11.2020
Autor: fred97


> a)
>  Es sei m ∈ N und [mm]B_{m}[/mm] die Borel σ-Algebra [mm]B_{m}[/mm] über
> [mm]R^{m}[/mm]
>  i) Zeigen Sie, dass fur  α ∈ (0, ∞) durch µ : [mm]B_{m}[/mm]
> → [0, ∞],
>  µ(A) := 0, falls A abzählbar & µ(A) := α, falls A
> nicht abzählbar
>  (A ∈ [mm]B_{m})[/mm] kein Maß auf [mm]B_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

definiert ist.

>  ii) Stimmt die Aussage in i) auch für  α = ∞ ?
>  
> b)
>  Es sei (Ω, A) ein Messraum und µ : A → [0, ∞] ein
> Maß auf (Ω, A). Ferner sei
>  D := {A ⊂ Ω | µ(A) ∈ [mm]N_{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

∪ {∞} }

>  Überprüfen Sie, welche Eigenschaften (i)-(iii) eines
> Dynkin-Systems erfüllt sind.
>  Hallo,
>  
> bei obigen zwei Teilaufgaben bräuchte ich Hilfe.
>  
> a i) hier muss man ja die zwei Voraussetzungen für ein
> Maß nachrechnen, wobei man ja eine Fallunterscheidung
> machen muss, falls Omega (also hier  [mm]B_{m}?!)[/mm] abzählbar
> oder nicht abzählbar ist, oder?

Hoppla ! Ist $x [mm] \in \IR^m$, [/mm] so ist [mm] $\{x\} \in B_m.$ [/mm] Daran erkennt man, dass [mm] B_m [/mm] überabzählbar ist.

>  hierbei gilt dann doch, dass µ das Nullmaß ist, wenn
> [mm]B_{m}[/mm] abzählbar und die Abbildung ansonten wohldefiniert
> ist auf der Borel-Algebra
>  
> und weiter gilt, dass die leere Menge abzählbar ist,
> wodurch gilt, dass µ [mm](\emptyset)=0[/mm]
>  
> Beim zweiten Schritt, dass die Vereinigung von
> nicht(abzählbaren) Folgen [mm]A_{n}[/mm] wieder in der Borelalgebra
> liegen muss, müsste nun doch irgendwie ein Widerspruch
> kommen, allerdings weiß ich nicht, wie man das hier zeigen
> soll.
>  ii) dementsprechend weiß ich auch nicht, wie das im Fall
> α = ∞ aussieht


Wieso nicht (abzählbare) Folgen ? Ist [mm] $A_1,A_2,A_3,....$ [/mm] eine Folge in [mm] B_m, [/mm] so ist  [mm] $\bigcup_{n \in \IN} A_n \in B_m$. [/mm]

Höchstens abzählbare Folgen !!

>  
> b) Hier muss man ja eigentlich nur die 3 Axiome
> nachrechnen,

So ist es.

> da ich dies für Dynkinsysteme aber noch nie
> gemacht habe, tue ich mich schwer damit.
>  Vor allem die Existenz des Maßes in der Menge irritiert
> mich,


Was irritiert Dich daran ??

>  und hier muss man doch auch wieder eine
> Fallunterscheidung vornehmen, oder irre ich?

Keine Fallunterscheidung.

>  
> Auf jeden Fall muss Ω [mm]\in[/mm] D gelten

Ja


> , außerdem muss [mm]A^c \in[/mm] ,
> D gelten

ja, falls A [mm] \in [/mm] D

> und für eine p.d. Folge muss die Vereinigung
> wieder in D liegen

Ja, das sind die Axiome eines solchen Systems.

>  


Bezug
                
Bezug
Maß und Dynkinsystem: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:37 Fr 20.11.2020
Autor: Flowbro

Hallo :)

bei der a)i) meinte ich auch (nicht) abzählbare Folgen, wobei man ja eine Fallunterscheidung zwischen abzählbaren und nicht abzählbaren Folgen machen muss, oder?
Wie könnte man denn jetzt dort den Widerspruch konstruieren, ich habe da leider gerade keine richtige Idee?

bei der b) weiß ich halt nicht genau, wie ich die Axiome in dem konkreten Fall nachrechnen soll, wobei ich bspw. schonmal nicht weiß, was genau hier das Ω ist, oder wie man die zwei nachfolgenenden Schritte zeigen kann. Wäre für Hilfe, oder zumindest einen Ansatz schon sehr dankbar :)

Bezug
                        
Bezug
Maß und Dynkinsystem: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 22.11.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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