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Hallo,
ich habe eine Aufgabe.
Leider habe ich keine Idee, wie die Loesung ueberhaupt anfangen koennte.
Hier die Aufgabe:
Die Menge [mm] \IQ [/mm] der rationalen Zahlen ist abzaehlbar und laesst sich als Folge [mm] (q_n| [/mm] n [mm] \in \IN) [/mm] darstellen.
Zu zeigen ist: [mm] \cup_{n \in \IN} [q_n [/mm] - [mm] 2^{-n}, q_n [/mm] + [mm] 2^{-n}) \not= \IR.
[/mm]
Als Hinweis wird gegeben, dass man erst zeigen sollte, dass das Mass [mm] \lambda,
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] ( [mm] \cup_{n \in \IN} [q_n [/mm] - [mm] 2^{-n}, q_n [/mm] + [mm] 2^{-n}) [/mm] ) [mm] \le [/mm] 2
Kann mir jemand helfen, erst einmal die Beweisschritte festzulegen?
Das wuerde, glaube ich, ein bisschen helfen.
Waere sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo margarita!
Man muss hier die Subadditivität des Maßes ausnutzen:
[mm] $\lambda \left( \bigcup\limits_{n \in \IN} [q_n - 2^{-n}, q_n + 2^{-n}] \right)$
[/mm]
[mm] $\le \sum\limits_{n \in \IN} \lambda([q_n [/mm] - [mm] 2^{-n}, q_n [/mm] + [mm] 2^{-n}])$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] 2 [mm] \cdot 2^{-n}$.
[/mm]
Den Rest kriegst du selber hin, oder? 
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan!
Vielen Dank fuer Deine Antwort!
Ich habe da weitergemacht, wo Du aufgehoert hast:
[mm] $\lambda \left( \bigcup\limits_{n \in \IN} [q_n - 2^{-n}, q_n + 2^{-n}] \right)$ [/mm]
[mm] $\le \sum\limits_{n \in \IN} \lambda([q_n [/mm] - [mm] 2^{-n}, q_n [/mm] + [mm] 2^{-n}])$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] 2 [mm] \cdot 2^{-n}$. [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{-n}$
[/mm]
$= 2$
Okay, nun zum Rest der Aufgabe.
Ich weiss, dass [mm] \IR [/mm] ueberabzaehlbar ist. Ist das in diesem Fall nuetzlich?
Man kann ja nicht sagen, dass fuer eine ueberabzaehlbare Menge das Mass
unbedingt [mm] \infty [/mm] ist.
Hmm...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo margarita!
Nein, das kann man nicht sagen, aber man weiß ja, dass $[-n,n] [mm] \subset \IR$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, und daher wegen der Monotonie des Maßes:
[mm] $\lambda(\IR) \ge \lambda([-n,n]) [/mm] = 2n$ für alle $n [mm] \in \IN$,
[/mm]
also:
[mm] $\lambda(\IR) [/mm] = + [mm] \infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 27.10.2005 | | Autor: | margarita |
Ach so....
Upps...stimmt!!
Konnte leider nicht drauf kommen...
Vielen vielen Dank und Liebe Gruesse
margarita
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