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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:53 Sa 29.05.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Ich habe ein paar kleine Verständnisfragen zur Integration mit Maßen auf der reellen Achse.
1)
Eine wachsende (also nicht fallende) rechtsstetige Funktion [mm]F[/mm] definiert ein Maß [mm]\mu_F[/mm]
[mm]\mu_F(B):=\integral_\IR 1_B(t)dF(t)=:\integral_B dF(t)[/mm] (im Lebesgue-Stieltjesschen Sinne)
Wenn [mm]F[/mm] bei [mm]t=a[/mm] einen Sprung der Höhe [mm]\Delta_F(a):=F(a)-F(a-)[/mm] enthält [mm]\integral_B g d\mu_F[/mm] den Anteil [mm]g(a)\Delta_F(a)[/mm], wenn [mm]a\in B[/mm]. So habe ich es gelernt.
Was muss denn dann für [mm]g[/mm] an der Stelle [mm]t=a[/mm] gelten? Was ist, wenn [mm]g[/mm] dort nicht stetig ist? Welchen Einfluß hat die Art (rechtsseitig, linksseitig, isolierter Funktionswert) der Unstetigkeit dort?
2)
Sei [mm] \mu [/mm] ein Maß auf [mm] \IR. [/mm] Ich habe gelernt, dass [mm] \mu [/mm] i.A. aus drei Anteilen besteht, nämlich aus dem
absolut stetigen [mm] \mu_{as},
[/mm]
dem singulär stetigen [mm] \mu_{ss}
[/mm]
und dem diskreten [mm] \mu_{d}.
[/mm]
Wenn man [mm] F(x):=1_{(0,\infty)}\mu((0,x])-1_{(-\infty,0]}\mu((x,0]) [/mm] setzt gilt ja mit [mm] \mu_F((a,b]):=F(b)-F(a), [/mm] dass [mm] \mu=\mu_F
[/mm]
(a)
Wenn ich von F mittels [mm] F_d(t):=F(t)-F(t-) [/mm] den diskreten Anteil abspalte, also [mm] F_s:=F-F_d, [/mm] erhalte ich dann durch [mm] lim_{s\to t} (F_s(t)-F_s(s))/(t-s) [/mm] automatisch die Dichte des absolut stetigen Anteils in F und damit auch [mm] \mu_{as}?
[/mm]
(b)
Wo muss ich bei der Art (offen, abgeschlossen) der Intervallgrenzen und der "Limesrichtung" aufpassen bzw. paßt das so, wie ich es hingeschrieben habe?
LG und vielen Dank im Voraus
gfm
BTW: Über Mathe poste ich nur hier...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 31.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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