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| Aufgabe 1 | | Berechne das Lebesgue-Maß vom Rand des Simplex mit Ecken 0, [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] in [mm] \IR³ [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Berechne das Lebesgue-Maß des Rotationskörpers {(x,y,z) [mm] \in \IR³ [/mm] : 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi, [/mm] y²+z² [mm] \le [/mm] x} |
Hallo,
ich habe bei beiden Aufgaben das Problem, dass ich nicht so viele Bedingungen wie Variablen habe:
Für ein Simplex gilt: [mm] e_{i} \ge [/mm] 0 und [mm] \summe_{i=1}^{n}e_{i} \le [/mm] 1
Aber wie bekomme ich damit vernünftige Integrale?
Ebenso der Rotationskörper: für x ist es klar, aber für y und z habe ich ja praktisch nur eine Bedingung! Ich kann doch nicht [mm] \integral_{- \wurzel{x-z²}}^{\wurzel{x-z²}}{\integral_{- \wurzel{x-y²}}^{\wurzel{x-y²}}{1_{M} dzdy}} [/mm] rechnen!
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Hallo und guten Morgen,
zum Simplex: die Punkte sind die Ecken des Simplex, also
0 = (0,0,0),
[mm] e_1=(1,0,0), \: e_2=(0,1,0),\: e_3=(0,0,1)
[/mm]
und es ist
[mm] x=(x_1,x_2,x_3)\in [/mm] Rand(Simplex) genau dann, wenn x Konvekkombination von
dreien der vier Randpunkte ist, also
[mm] x=\lambda_0\cdot [/mm] (0,0,0) [mm] +\sum_{i=1}^3\lambda_i\cdot e_i
[/mm]
mit [mm] \sum_{i=0}^3\lambda_i=1, \:\: \lambda_j\geq 0\; [/mm] (j=0,1,2,3)
und mindestens ein [mm] \lambda_j [/mm] =0.
Gruss,
Mathias
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Hallo madde_dong,
das oberflächenmaß des simplexes kann man mit Sicherheit auch elementargeometrisch bestimmen, oder? (Summe von dreiecken)
zur zweiten aufgabe: die kannst du doch sehr ähnlich rechnen wie die aufgabe gestern. $x$ läuft von 0 bis [mm] $\pi$, [/mm] y (maximal!) von [mm] $-\wurzel{x}$ [/mm] bis [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] und $z$ so, wie du es schon geschrieben hast.
VG
Matthias
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Hallo Matthias,
danke für deine Hilfe! Die Idee für das Simplex klingt gut, zumal wir in der Klausur eh nur Ergebnisse angeben sollen.
Aber die zweite Aufgabe durchaue ich trotzdem noch nicht: wieso kannst du einfach sagen, dass [mm] -\wurzel{x} \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{x}? [/mm] Was machst du mit dem z? Darf man das dann einfach vernachlässigen?
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Hallo Madde_dong,
also die bedingung ist ja [mm] $y^2+z^2\le [/mm] x$. die frage ist jetzt, in welchem intervall kann $y$ maximal (!) liegen. Und wenn $z=0$ ist, kann $y$ nun mal in dem von mir genannten range liegen, oder?
das heißt, wir lassen im ersten integral $y$ in diesen grenzen laufen.
den $z$-Wert wählen wir dann aber in abhängigkeit von $y$, so dass die bedingung auf jeden fall erfüllt ist. Für [mm] $y=\pm\wurzel{x}$ [/mm] zB. bleibt für $z$ nur der $0$-Wert.
Jetzt klarer?
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Fr 03.02.2006 | | Autor: | madde_dong |
Hallo Matthias,
danke! Da hatte ich aber ein mächtiges Brett vorm Kopf. Aber jetzt sollte mir die Aufgabe keine Probleme mehr bereiten. Vielen Dank für deine Hilfe!
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